北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼2 勾股定理的逆定理

试卷更新日期：2023-10-24 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中错误的是（）

A、如果a²=b²−c² ，那么△ABC是直角三角形且∠A=90° B、如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，那么△ABC是直角三角形 C、如果 $a^{2} ： b^{2} ： c^{2} = 9 ： 16 ： 25$ ，那么△ABC是直角三角形 D、如果 $∠ A - ∠ B = ∠ C$ ，那么△ABC是直角三角形

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2. 在下列条件中：① $∠ A + ∠ B = ∠ C$ ；② $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 1 ： 2 ： 3$ ；③ $A B ： B C ： A C = 3 ： 4 ： 5$ ；④ $∠ A = ∠ B = ∠ C$ ，能确定 $△ A B C$ 是直角三角形的条件有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边分别是a，b，c，下列条件中不能说明 $△ A B C$ 是直角三角形是（）

A、 $b^{2} = (a + c) (a - c)$ B、 $a ： b ： c = 1 ： \sqrt{3} ： 2$ C、 $∠ C = ∠ A - ∠ B$ D、 $∠ A ： ∠ B ： ∠ C = 3 ： 4 ： 5$

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4. 将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（）

A、同加一个相同的数 B、同减一个相同的数 C、同乘以一个相同的正整数 D、同时平方

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5. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A ， ∠ B ， ∠ C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$ ，下列所给数据中，能判断 $△ A B C$ 是直角三角形的是（）

A、 $a = 3^{2} ， b = 4^{2} ， c = 5^{2}$ B、 $a^{2} - b^{2} = c^{2}$ C、 $∠ A = 2 ∠ B = 3 ∠ C$ D、 $∠ A ∶ ∠ B ∶ ∠ C = 2 ∶ 5 ∶ 2$

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6. 如图，在边长为1的正方形方格中，A，B，C，D均为格点，构成图中三条线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ .现在取出这三条线段 $A B$ ， $B C$ ， $C D$ 首尾相连拼三角形.下列判断正确的是（）

A、能拼成一个锐角三角形 B、能拼成一个直角三角形 C、能拼成一个钝角三角形 D、不能拼成三角形

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7. 在△ABC中，它的三边分别为a，b，c，条件：①∠A＝∠C-∠B；②∠A＝∠B＝2∠C；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝1： $\sqrt{2}$ ： $\sqrt{2}$ ；中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图折叠直角三角形纸片 $A B C$ ，使直角边 $A C$ 落在斜边 $A B$ 上 $($ 折痕为 $A D$ ，点 $C$ 落到点 $E$ 处 $)$ ，已知 $A C = 6$ ， $B C = 8$ ， $A B = 10$ ，则 $B D$ 的长是（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9. 如图，在4个均由16个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这4个正方形网格中不是直角三角形的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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二、填空题

11. 已知一个三角形的三边长分别是4cm、7cm、6cm，该三角形的形状（填“是”或“不是”）直角三角形．

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12. 如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为度．

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13. 下列条件：①∠C＝∠A－∠B；②∠A：∠B：∠C＝5∶2∶3；③a＝ $\frac{3}{5}$ c，b＝ $\frac{4}{5}$ c；④a∶b∶c＝1∶2： $\sqrt{3}$ ，则能确定△ABC是直角三角形的条件有个．

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14. 三角形的三边长a，b，c满足2ab=(a+b)²-c² ，则此三角形的形状是三角形.

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15. 定义：在平面直角坐标系中，把从点P出发沿横或纵方向到达点Q（至多拐一次弯）的路径长称为P，Q的“实际距离”.如图，若 $P (- 1 ， 1)$ ， $Q (2 ， 3)$ ，则P，Q的“实际距离”为5，即 $P S + S Q = 5$ 或 $P T + T Q = 5$ .环保低碳的公共自行车，逐渐成为市民出行喜欢的交通工具.设A，B，C三个小区的坐标分别为 $A (- 3 ， - 1)$ ， $B (- 5 ， 3)$ ， $C (1 ， 5)$ ，若点M表示公共自行车停放点，且满足M到A，B，C的“实际距离”相等，则点M的坐标是.

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三、作图题

16. 如图是5×5的网格，每个小正方形的边长均为1，分别在图1、图2中各画一个以AB为斜边的的直角三角形.（要求：所画三角形顶点都在格点上，两个三角形面积不同）.

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四、解答题

17. 已知 $△ A B C$ 的三条边长分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，其中 $a = m - n$ ， $b = 2 \sqrt{m n}$ ， $c = m + n$ ，且 $m > n > 0 . △ A B C$ 是直角三角形吗？请证明你的判断.

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18. 为庆祝中华人民共和国成立73周年，喜迎党的二十大胜利召开，学校组织了“献礼二十大”小制作展示活动．小彬计划制作一架飞机模型，如图的四边形材料是飞机垂直尾翼的雏形．小彬测量发现 $A B = 25 c m$ ， $B C = 18 c m$ ， $A D = 7 c m$ ， $C D = 30 c m$ ．根据设计要求，还需保证 $A D ∥ B C$ ．由于手头工具有限，小彬只能测得 $B D = 24 c m$ ．根据以上数据，请你判断该材料是否符合设计要求，并说明理由．

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五、综合题

19. 如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．

(1)、线段AB的长度是，线段CD的长度是．

(2)、若EF的长为 $\sqrt{5}$ ，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．

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20. 已知 $△ A B C$ 的三边 $a = m^{2} - 1 (m > 1)$ ， $b = 2 m$ ， $c = m^{2} + 1$ .

(1)、求证： $△ A B C$ 是直角三角形.

(2)、利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数.

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21. 先阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点坐标 $P_{1} (x_{1} ， y_{1}) ， P_{2} (x_{2} ， y_{2})$ ，其两点间距离公式为 $p_{1} p_{2} = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(y_{1} - y_{2})}^{2}}$ ．
例如：点 $(3 ， 2)$ 和 $(4 ， 0)$ 的距离为 $\sqrt{{(3 - 4)}^{2} + {(2 - 0)}^{2}} = \sqrt{5}$ ．同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于x轴或平行于y轴距离公式可简化成 $p_{1} p_{2} = | x_{1} - x_{2} |$ 或 $p_{1} p_{2} = | y_{1} - y_{2} |$ ．

(1)、已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5，点B的纵坐标为2，则A，B两点的距离为；

(2)、已知 $A (3 ， 5) ， B (- 4 ， 4)$ ，试求A，B两点的距离；

(3)、已知 $△ A B C$ 三个顶点坐标为 $A (3 ， 4) ， B (0 ， 5) ， C (- 1 ， 2)$ ，请判断此三角形的形状，并说明理由．

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