北师大版数学八年级（上）复习微专题精炼1 勾股定理

试卷更新日期：2023-10-24 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，则BC的长为（　　）

A、6 B、8 C、10 D、12

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2. 已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长为（）

A、3 B、6 C、8 D、5

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3. 已知直角三角形两边的长分别为 $3$ 和 $4$ ，则此三角形的周长为（）

A、 $12$ B、 $7 + \sqrt{7}$ C、 $12$ 或 $7 + \sqrt{7}$ D、 $14$

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4. 如图在一个高为 $3$ 米，长为 $5$ 米的楼梯表面铺地毯，则地毯至少需要（）

A、 $3$ 米 B、 $4$ 米 C、 $5$ 米 D、 $7$ 米

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5. 如图，在2×2的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C均为格点，以点A为圆心，AB长为半径作弧，交格线于点D，则CD的长为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5} - 2$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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6. 如图，四个全等的直角三角形和中间的小正方形可以拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b，大正方形面积为S₁ ，小正方形面积为S₂ ，则（a+b）²可表示为（）

A、S₁-S₂ B、2S₁-S₂ C、S₁+S₂ D、S₁+2S₂

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7. 将一个等腰三角形 $ABC$ 纸板沿垂线段 $AD$ ， $DE$ 进行剪切，得到三角形 $① ② ③$ ，再按如图2方式拼放，其中 $EC$ 与 $BD$ 共线.若 $BD = 6$ ，则 $AB$ 的长为（）

A、 $\frac{22}{3}$ B、 $\frac{15}{2}$ C、 $\sqrt{50}$ D、7

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8. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形ABCD的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为S₁ ， S₂ ， S₃ ， S₄ ．若S₁＝48，S₂+S₃＝135，则S₄＝（）

A、183 B、87 C、119 D、81

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9. 如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D'处，若AB=3，AD=4，则ED的长为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、3 C、1 D、 $\frac{4}{3}$

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10. 已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）

A、 $3 {cm}^{2}$ B、 $4 {cm}^{2}$ C、 $6 {cm}^{2}$ D、 $12 {cm}^{2}$

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二、填空题

11. 如图，四边形ABCD ，连接BD ， AB⊥AD ， CE⊥BD ， AB＝CE ， BD＝CD ．若AD＝5，CD＝7，则BE＝．

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12. 已知如图：小正方形边长为 $1$ ，连接小正方形的三个顶点，可得 $△ A B C$ ，则 $△ A B C$ 的周长为．

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13. 在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8，D、E分别是边AC、BC上的点，将△ABC沿着DE进行翻折，点A和点C重合，则EC＝.

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $P$ 是 $B C$ 边上除 $B$ ， $C$ 点外的任意一点，则 $A P^{2} + P B \cdot P C =$ ．

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15. 阅读材料：在直角三角形中，斜边和两条直角边满足定理：两条直角边的平方和，等于斜边的平方，因此如果已知两条边的长，根据定理就能求出第三边的长，例如：在 $R t △ A B C$ 中，已知 $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，由定理得 $A C^{2} + B C^{2} = A B^{2}$ ，代入数据计算求得 $A B = 5$ ．
请结合上述材料和已学几何知识解答以下问题：
已知：如图， $∠ C = 90 °$ ， $A B ∥ C D$ ， $A B = 5$ ， $C D = 11$ ， $A C = 8$ ，点 $E$ 是 $B D$ 的中点，那么 $A E$ 的长为．

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三、解答题

16. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ， AD平分∠BAC交BC于点D，分别以点A和点C为圆心，大于 $\frac{1}{2} A C$ 的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，连接MN，交AD于点E，求AE的长．

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 ° ， A B = A D = 24 c m ， B C = 16 c m ， C D = 8 c m$ ，E为 $B C$ 上一点．将四边形沿 $A E$ 折叠，使点 $B ， D$ 重合，求折痕 $A E$ 的长．

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18. 如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 10 ， A D = 6$ ， E为 $B C$ 上一点，把 $△ C D E$ 沿 $D E$ 折叠，使点C落在 $A B$ 边上的F处．

(1)、求 $A F$ 的长；

(2)、求 $C E$ 的长．

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19. 如图1，将射线 $O X$ 按逆时针方向旋转β角，得到射线 $O Y$ ，如果点P为射线 $O Y$ 上的一点，且 $O P = a ，$ ，那么我们规定用 $(a ， β)$ 表示点P在平面内的位置，并记为 $P (a ， β)$ ，例如，图2中，如果 $O M = 8$ ， $∠ X O M = 110 °$ ，那么点M在平面内的位置，记为 $M (8 ， 110)$ ，根据图形，解答下面的问题：

(1)、如图3，如果点N在平面内的位置记为 $N (6 ， 30)$ ，那么 $O N =$ ； $∠ X O N =$ ．

(2)、如果点A、B在平面内的位置分别记为 $A (5 ， 30) ， B (12 ， 120)$ ，试求A、B两点之间的距离并画出图．

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20. 为了探索代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 25}$ 的最小值，
小张巧妙的运用了数学思想．具体方法是这样的：如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作 $A B ⊥ B D ， E D ⊥ B D$ ，连结AC、EC．已知AB=1，DE=5，BD=8，设BC=x．则 $A C = \sqrt{x^{2} + 1}$ ， $C E = \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 25}$ 则问题即转化成求AC+CE的最小值．

(1)、我们知道当A、C、E在同一直线上时，AC+CE的值最小，于是可求得 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(8 - x)}^{2} + 25}$ 的最小值等于，此时x=；

(2)、题中“小张巧妙的运用了数学思想”是指哪种主要的数学思想；
（选填：函数思想，分类讨论思想、类比思想、数形结合思想）

(3)、请你根据上述的方法和结论，试构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{(12 - x)^{2} + 9}$ 的最小值．

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