2023-2024学年北师大版数学九年级上学期期中仿真模拟试卷（三）

试卷更新日期：2023-10-23 类型：期中考试

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一、单选题

1. 一元二次方程 ${(3 x -1)}^{2} = 5 x$ 化简成一般式后，二次项系数为9，其一次项系数为（）

A、1 B、-1 C、-11 D、11

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2. 解下面方程：（1）（x-2）²=5，（2）x²-3x-2=0，（3）x²+x-6=0，较适当的方法分别为（）

A、（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法 B、（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 C、（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法 D、（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法

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3. 如果 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{x + y}{x - y}$ 的值是（）

A、5 B、1 C、﹣5 D、﹣1

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D 、 E 、 F$ 分别在 $A B 、 A C 、 B C$ 边上，连接 $D E 、 E F$ ，若 $D E / / B C ， E F / / A B$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $\frac{A E}{E C} = \frac{B F}{F C}$ B、 $\frac{A D}{B F} = \frac{A B}{B C}$ C、 $\frac{E F}{A B} = \frac{D E}{B C}$ D、 $\frac{C E}{C F} = \frac{E A}{B F}$

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5. 小兰和小潭分别用掷A、B两枚骰子的方法来确定 $P (x ， y)$ 的位置，她们规定：小兰掷得的点数为x，小谭掷得的点数为y，那么，她们各掷一次所确定的点落在已知直线 $y = - 2 x + 6$ 上的概率为 $($ $)$

A、 $\frac{6}{36}$ B、 $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{1}{12}$ D、 $\frac{1}{9}$

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6. 在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD的中点，连接AE交BC的延长线于F点，P为BC上一点，当∠PAE=∠DAE时，AP的长为（）

A、4 B、 $\frac{17}{4}$ C、 $\frac{9}{2}$ D、5

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7. 用一条长为40cm的绳子围成一个面积为acm²的长方形，a的值不可能为（）

A、20 B、40 C、100 D、120

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8. 下列说法中，正确的是（）

A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B、关于x的方程 $k x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 有两个不相等实根，则k的取值范围 $k < 4$ 且 $k \neq 0$ C、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴它有2条对称轴 D、点P是线段 $A B$ 的一个黄金分割点（ $A P > P B$ ），若 $A B = 2$ ，则 $A P = 3 - \sqrt{5}$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $D A$ ， $A B$ 上，且 $D E = A F$ ，作 $A G ⊥ E F$ 于点H，交 $B C$ 于点G.若 $A B = 6$ ， $E F ： A G = 2 ： 3$ ，则 $B G$ 的长为（）.

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足 $B E$ =AD ，连接CE并延长交AD于点F ，连接AE ，过点B作 $B G ⊥ A E$ 于点G ，延长BG交AD于点H ．在下列结论中：① $A H = D F$ ；② $∠ A E F = 45 °$ ；③ $S_{四边形 E F H G} = S_{△ D E F} + S_{△ A G H}$ . 其中错误的结论有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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二、填空题

11. 已知关于x的一元二次方程x²﹣4x+k=0有两个不相等的实数根，且该方程与x²+mx﹣1=0有一个相同的根．当k为符合条件的最大整数时，m的值为．

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12. 在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共20个，这些球除颜色外都相同. 小明通过多次实验发现，摸出红球的频率稳定在0.3左右，则袋子中红球的大约有个.

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13. 如图，四边形 $A B C D ， C D F E ， E F H G$ 是三个正方形、 $∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 =$

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若 $C D = 2 B E$ ， $∠ D A E = ∠ D E A$ ， $E O = 1$ ，则线段AE的长为．

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15. 已知由8个边长为1的正方形组成的L型模板如图放置，其顶点E，F，G，H，I都在矩形ABCD的边上，则矩形ABCD的面积为.

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三、解答题

16. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$

(2)、 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$

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17. 如图，矩形ABCD中，AB=6，点E在AB上，且BE=2，四边形EFGH为菱形，且点F ， H分别在边BC ， AD上．

(1)、当点F的位置如图1所示，请用尺规作出菱形EFGH ．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、若菱形EFGH为正方形，求四边形EFGH的面积．

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18. 我市某中学举行“中国梦·我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题.

(1)、参加比赛的学生人数共有名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为度，图中m的值为；

(2)、补全条形统计图；

(3)、组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率.

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19. 如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE于F点，交AC于H点，交CD于G点．

(1)、求证：△BGC∽△DGF；

(2)、求证： $G D \cdot A B = D F \cdot B G$ ；

(3)、若点G是DC中点，求 $\frac{G F}{C E}$ 的值．

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20. 富强村2020年的人均收入为3.6万元，2022年的人均收入为4.356万元．

(1)、求富强村人均收入的年平均增长率；

(2)、如果该村人均收入的年平均增长率不变，请估计今年富强村的人均收入为多少万元．

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21. 【问题背景】如图1，在矩形 $A B C D$ 中，点M，N分别在边 $B C$ ， $A D$ 上，且 $\frac{B M}{M C} = \frac{1}{m}$ ，连接 $B N$ ，点P在 $B N$ 上，连接 $P M$ 并延长至点Q，使 $\frac{P M}{M Q} = \frac{1}{m}$ ，连接 $C Q$ .

(1)、【尝试初探】求证： $C Q ∥ B N$ ；

(2)、【深入探究】若 $A N = B M = A B$ ， $m = 2$ ，点P为 $B N$ 中点，连接 $N C$ ， $N Q$ ，求证： $N C = N Q$ ；

(3)、【拓展延伸】如图2，在正方形 $A B C D$ 中，点P为对角线 $B D$ 上一点，连接 $P C$ 并延长至点Q，使 $\frac{P C}{Q C} = \frac{1}{n} (n > 1)$ ，连接 $D Q$ ，若 $n^{2} B P^{2} + D Q^{2} = (n^{2} + 1) A B^{2}$ ，求 $\frac{B P}{B D}$ 的值（用含n的代数式表示）

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22. 已知：在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = - x + 2$ 与x轴，y轴分别交于A、B两点，直线 $l_{2}$ 经过点A，与y轴交于点 $C (0 ， - 4)$ ．

(1)、求直线 $l_{2}$ 的解析式；

(2)、如图1，点P为直线 $l_{1}$ 一个动点，是否存在以点P、C、A为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似，若存在请求出点P的坐标及此时 $△ P A C$ 的面积．

(3)、如图2，将 $△ A B C$ 沿着x轴平移，平移过程中的 $△ A B C$ 记为 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请问在平面内是否存在点D，使得以 $A_{1}$ 、 $C_{1}$ 、C、D为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标．

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