【每日15min】18 勾股定理的应用—浙教版数学八（上）微专题精炼

试卷更新日期：2023-10-22 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度 $B E = 1 m$ ，将它往前推4m至C处时（即水平距离 $C D = 4 m$ ），踏板离地的垂直高度 $C F = 3 m$ ，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（　　）

A、4m B、5m C、6m D、8m

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2. 如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度x(罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计)范围是（）

A、12≤x≤13 B、12≤x≤15 C、5≤x≤12 D、5≤x≤13

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3. 将四个全等的直角三角形作为叶片按图1摆放成一个风车形状，形成正方形 $A B C D$ 和正方形 $E F G H$ ．现将四个直角三角形的较长直角边分别向外延长，且 $A^{'} E = M E$ ， $B^{'} F = N F$ ， $C^{'} G = P G$ ， $D^{'} H = H Q$ ，得到图2所示的“新型数学风车”的四个叶片，即 $△ A^{'} E F$ ， $△ B^{'} F G$ ， $△ C^{'} G H$ ， $△ D^{'} H E$ ．若 $F M$ 平分 $∠ B F E$ ，正方形 $A B C D$ 和正方形 $E F G H$ 的边长比为 $1 ： 5$ ，若“新型数学风车”的四个叶片面积和是 $m$ ，则正方形EFGH的面积是（）

A、 $\frac{7}{6} m$ B、 $\frac{5}{3} m$ C、 $3 m$ D、 $\frac{9}{5} m$

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4. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米.若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（）

A、1米 B、 $\sqrt{2}$ 米 C、2米 D、4米

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5. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．如图以直角三角形纸片的各边分别向外作正三角形纸片，再把较小的两张正三角形纸片按如图的方式放置在最大正三角形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（）

A、直角三角形纸片的面积 B、最大正三角形纸片的面积 C、最大正三角形与直角三角形的纸片面积和 D、较小两个正三角形纸片重叠部分的面积

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6. 如图，斜靠在墙上的一根竹竿，AB＝10m，BC＝6m，若A端沿垂直于地面的方向AC下移2m，则B端将沿CB方向移动的距离是（）米.

A、1.6 B、1.8 C、2 D、2.2

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7. 图1是第七届国际数学教育大会(ICME.7)的会徽，主体图案是由图2的一连串直角三角形演化而成，其中 $O A_{1} = A_{1} A_{2} = A_{2} A_{3} = ⋯ = A_{n - 1} A_{n} = 1$ ，若 $O A_{5} \cdot O A_{n}$ 的值是整数，且1≤n≤50，则符合条件的n有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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8. 如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）

A、 $10 \sqrt{89}$ B、 $50 \sqrt{5}$ C、120 D、130

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二、填空题

9. 某工程队负责挖掘一处通山隧道，为了保证山脚A，B两处出口能够直通，工程队在工程图上留下了一些测量数据（此为山体俯视图，图中测量线拐点处均为直角，数据单位：米）．据此可以求得该隧道预计全长米．

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10. 如图，长方体的长 $B E = 15 c m$ ，宽 $A B = 10 c m$ ，高 $A D = 20 c m$ ，点M在 $C H$ 上，且 $C M = 5 c m$ ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点N，需要爬行的最短距离是 $c m$ .

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11. 如图1是一个起钉器示意图，其中ABCD为矩形点M，D，E，G四点共线，点M，C，F，G四点共线，点G在AB中点处.点E，G，F为硬直管ME，EG，GF，FN的连接点并在连接点处可转动，点G处有可卡住钉子的装置，钉子PQ垂直于AB.拔钉子时，我们先把钉子一头P卡在点G处，然后把ME和MF分别绕着点D，C以相同速度向下转动随着ME，NF的转动，EP，FP向上提升，这样就可拔出钉子PQ，若 $G E = G F = 2$ ， $A D = B C = 3$ ， $A G = B G = 4$ .如图2，当M，E，F，N四点在同一直线时，钉子被拔起的长度为.这个起钉器从图1位置开始起钉，能拔出钉子的最大长度为.

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12. 如图，假设秋千的绳索始终保O持直线状态，OA是秋千的静止状态，A是踏板，CD是地面，点B是推动两步后踏板的位置，弧AB是踏板移动的轨迹，已知AC=1尺，CD=EB=10尺，人的身高BD=5尺.设绳索长OA=OB=x尺，则可列方程为.

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三、解答题

13. 印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：
“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；

能算诸君请解题，湖水如何知深浅”

请用学过的数学知识回答这个问题．

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14. 八（1）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得下图风筝CE的高度，他们进行了如下操作：
①测得BD的长度为24米；

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为30米；

③牵线放风筝的小明身高AB为1.68米．

(1)、求风筝的高度CE；

(2)、若小亮让风筝沿CD方向下降了8米到点M（即CM=8米），则他往回收线多少米？

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15. 阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为 $x = a$ 的形式.求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想--转化，把未知转化为已知.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.

例如，一元三次方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ ，可以通过因式分解把它转化为 $x (x^{2} + x - 2) = 0$ ，解方程 $x = 0$ 和 $x^{2} + x - 2 = 0$ ，可得方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解.

(1)、问题：方程 $x^{3} + x^{2} - 2 x = 0$ 的解是 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} =$ ， $x_{3} =$ ；

(2)、拓展：用“转化”思想求方程 $\sqrt{2 x + 3} = x$ 的解；

(3)、应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长 $A D = 8 m$ ，宽 $A B = 3 m$ ，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点 $C .$ 求AP的长.

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