北师版数学七年级上册周测卷（第三章第4--5节）培优卷

试卷更新日期：2023-10-22 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列运算正确的是（　　）

A、3a²+5a²＝8a⁴ B、（-a³）⁴÷（-a⁴）³＝1 C、（-2a²）³-（-a⁴）（3a）²＝-17a⁶ D、（a-b）（a²+ab+b²）＝a³-b³

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2. 如果a+b=-2，那么代数式8a+7-b-6(a- $\frac{1}{2}$ b)的值为（）

A、3 B、11 C、-3 D、-11

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3. 若单项式 $2 x^{2} y^{a + b}$ 与 $3 x^{a - b} y^{4}$ 是同类项，则 $a$ ， $b$ 的值分别是（）

A、 $a = 3$ ， $b = 1$ B、 $a = - 3$ ， $b = 1$
C、 $a = 3$ ， $b = - 1$ D、 $a = - 3$ ， $b = - 1$

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4. 已知 ${x^{a}}^{+ 3} y^{3} + (- \frac{1}{3} x y^{3}) = \frac{2}{3} x y^{3}$ ，则a的值是（）

A、 $- 3$ B、 $- 4$ C、0 D、 $- 2$

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5. 某同学在计算 $- 3 x$ 加上一个多项式时错将加法做成了乘法，得到的答案是 $3 x^{3} - 3 x^{2} + 3 x$ ，由此可以推断出原题正确的计算结果是（）

A、 $- x^{2} - 2 x - 1$ B、 $x^{2} + 2 x - 1$ C、 $- x^{2} + 4 x - 1$ D、 $x^{2} - 4 x + 1$

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6. 已知 $a = m + 2020$ ， $b = m + 2021$ ， $c = m + 2022$ ，则代数式 $2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} - 2 a b - 2 b c - 2 a c$ 的值为（）

A、4 B、10 C、8 D、6

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7. 按一定规律排列的单项式： $\frac{a}{3}$ ， $- \frac{a^{2}}{5}$ ， $\frac{a^{3}}{9}$ ， $- \frac{a^{4}}{17}$ ， $\dots$ ，第 $n$ 个单项式是（）

A、 $\frac{(- 1)^{n} a^{n}}{2^{n} + 1}$ B、 $\frac{(- 1)^{n} a^{n}}{2^{n + 1} + 1}$ C、 $\frac{(- 1)^{n + 1} a^{n}}{2^{n} + 1}$ D、 $\frac{(- 1)^{n + 1} a^{n}}{2^{n + 1} + 1}$

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8. 若“ $！$ ”是一种数学运算符号，并且 $1 ！ = 1$ ， $2 ！ = 2 \times 1 = 2$ ， $3 ！ = 3 \times 2 \times 1 = 6$ ， $4 ！ = 4 \times 3 \times 2 \times 1$ ， $\dots$ 且公式 $C_{n}^{m} = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - m + 1)}{m!}$ ，则 $C_{12}^{5} + C_{12}^{6} =$ （）

A、 $C_{13}^{5}$ B、 $C_{13}^{6}$ C、 $C_{13}^{11}$ D、 $C_{12}^{7}$

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9. 如图是由相同的菱形按一定规律摆放而成，第 $1$ 个图形有 $3$ 个菱形，第 $2$ 个图形有 $7$ 个菱形，第 $3$ 个图形有 $13$ 个菱形，按此规律排列下去，第 $9$ 个图形的菱形个数为（）

A、 $73$ B、 $81$ C、 $91$ D、 $109$

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10. 已知整数a₁ ， a₂ ， a₃ ， a₄ ， …满足下列条件：a₁＝0，a₂＝-|a₁+1|．a₃＝-|a₂+2|，a₄＝-|a₃+3|，…依此类推，则a₂₀₂₂的值为（）

A、2022 B、-2022 C、-1011 D、1011

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二、填空题

11. 如果 $(x + 1) (x^{2} + 5 m x + 3)$ 的乘积中不含 $x^{2}$ 项，则 $m =$ ．

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12. 若 $- x^{m} y^{2}$ 和 $3 x^{3} y^{2 m + n}$ 的积与 $2 x^{5} y^{3}$ 是同类项，则 $m + n$ 的值为．

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13. 定义：若 $a + b = a b$ ，则称a、b是“西溪数”，例如： $3 + 1.5 = 3 \times 1.5$ ，因此3和1.5是一组“西溪数”，若m、n是一组“西溪数”，则 $2 m n - (3 m n - m - n - 6)$ 的值为．

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14. 若关于a，b的多项式 $5 (a^{2} - 2 a b + b^{2}) - (a^{2} + m a b - b^{2})$ 中不含有 $a b$ 项，则m= ．

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15. 对于正数x，规定 $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ ，例如 $f (4) = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5} ， f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5}$ ，则 $f (2021) + f (2020) + ⋯ + f (2) + f (1) + f (\frac{1}{2}) + ⋯ + f (\frac{1}{2020}) + f (\frac{1}{2021})$ 的结果是= ．

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16. a是不为1的有理数，我们把 $\frac{1}{1 - a}$ 称为a的差倒数．如：2的差倒数是 $\frac{1}{1 - 2}$ ＝-1，-1的差倒数 $\frac{1}{1 - (- 1)} = \frac{1}{2}$ ，已知a₁＝- $\frac{1}{3}$ ， a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，则a₂₀₂₀＝．

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三、解答题

17. 化简求值： $3 x^{2} y - [2 xy - 2 (xy - \frac{3}{2} x^{2} y) + xy]$ ，其中x＝3， $y = - \frac{1}{3}$ ．

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18. 先化简，再求值：3x²y-[2xy²-2（xy- $\frac{3}{2}$ x²y）]+3xy²-xy，其中x＝3，y＝- $\frac{1}{3}$ ．

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19. 先化简再求值．
已知 $| a + 2 | + {(b - 1)}^{2} = 0$ ．求 $(4 a^{2} b + 2 a b + 2) - [3 - 2 (a b - 2 a^{2} b)]$ 的值．

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20. 已知关于 $x$ 的多项式 $A$ ， $B$ ，其中 $A = m x^{2} + 2 x - 1$ ， $B = x^{2} - n x + 2$ （ $m$ ， $n$ 为有理数）.

(1)、化简 $2 B - A$ ；

(2)、若 $2 B - A$ 的结果不含 $x$ 项和 $x^{2}$ 项，求 $m$ 、 $n$ 的值.

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21. 观察下列式子：
第1个式子： $f (1) = \frac{1}{2^{2}} < \frac{1}{1 \times 2} = \frac{1}{1} - \frac{1}{2}$ ；

第2个式子： $f (2) = \frac{1}{3^{2}} < \frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$ ；

第3个式子： $f (3) = \frac{1}{4^{2}} < \frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$ ；

第4个式子： $f (4) = \frac{1}{5^{2}} < \frac{1}{4 \times 5} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5}$ ；

……

根据上述规律，解决下列问题：

(1)、写出第5个式子：；

(2)、写出第 $n$ （ $n$ 为正整数）个式子，并说明： $f (1) + f (2) + f (3) + \cdot \cdot \cdot + f (n) < 1$ ．

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22. 阅读下列材料，完成相应的任务：

三角形数

古希腊著名数学家的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，．．．，这样的数称为“三角形数”，第n个“三角形数”可表示为： $1 + 2 + 3 + \cdot \cdot \cdot + n = \frac{n (n + 1)}{2}$ ．

发现：每相邻两个“三角形数”的和有一定的规律．如： $1 + 3 = 4$ ； $3 + 6 = 9$ ； $6 + 10 = 16$ ；…

(1)、第5个“三角形数”与第6个“三角形数”的和为；

(2)、第n个“三角形数”与第

(n + 1)

个“三角形数”的和的规律可用下面等式表示：+= ，请补全等式并说明它的正确性．

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23. ［观察思考］用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有12个棋子，第4个图形中有15个棋子，以此类推．

(1)、［规律总结］
第5个图形中有个圆形棋子．

(2)、第n个图形中有个圆形棋子．（用含n的代数式表示）

(3)、［问题解决］
现有2025个圆形棋子，若将这些棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完，则可摆放出第几个图形，请说明理由．

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北师版数学七年级上册周测卷（第三章 第4--5节） 培优卷

一、选择题

二、填空题

三、解答题

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