江苏省镇江市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-10-20 类型：中考真卷

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一、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）

1. $- 100$ 的相反数是．

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2. 使分式 $\frac{1}{x - 5}$ 有意义的x的取值范围是．

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3. 因式分解：x²+2x=

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4. 如图，一条公路经两次转弯后，方向未变．第一次的拐角 $∠ A B C$ 是 $140 °$ ，第二次的拐角 $∠ B C D$ 是°．

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5. 一组数据 $2$ ， $x$ ， $4$ ， $3$ ， $3$ 的平均数是 $3$ ，则 $x$ 的值是．

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6. 若 $x = 1$ 是关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x - 6 = 0$ 的一个根，则m的值为．

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7. 若点 $A (2 ， y_{1})$ 、 $B (3 ， y_{2})$ 都在反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象上，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“<”、“>”或“=”）．

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8. 如图，用一个卡钳 $(A D = B C ， \frac{O C}{O B} = \frac{O D}{O A} = \frac{1}{3})$ 测量某个零件的内孔直径 $A B$ ，量得 $C D$ 的长为 $6 c m$ ，则 $A B$ 的长为cm．

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9. 二次函数 $y = - 2 x^{2} + 9$ 的最大值为．

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10. 如图，扇形 $O A B$ 的半径为1，分别以点A、B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧相交于点P， $∠ B O P = 35 °$ ，则 $\overset{⌢}{A B}$ 的长 $l =$ （结果保留π）．

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11. 《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于步．（注：“步”为长度单位）

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12. 已知一次函数 $y = k x + 2$ 的图像经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心、r为半径作 $⊙ O$ ．若对于符合条件的任意实数k，一次函数 $y = k x + 2$ 的图像与 $⊙ O$ 总有两个公共点，则r的最小值为．

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二、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）

13. 圆锥的侧面展开图是（）

A、三角形 B、菱形 C、扇形 D、五边形

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14. 下列运算中，结果正确的是（）

A、 $2 m^{2} + m^{2} = 3 m^{4}$ B、 $m^{2} · m^{4} = m^{3}$ C、 $m^{4} \div m^{2} = m^{2}$ D、 $(m^{2})^{4} = m^{6}$

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15. 据国家统计局公布，2023年第一季度，全国居民人均可支配收入10870元．数据10870用科学记数法表示为（）

A、 $1.087 \times 1 0^{4}$ B、 $10.87 \times 1 0^{4}$ C、 $10.87 \times 1 0^{3}$ D、 $1.087 \times 1 0^{3}$

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16. 如图，桌面上有3张卡片，1张正面朝上．任意将其中1张卡片正反面对调一次后，这3张卡片中出现2张正面朝上的概率是（）．

A、1 B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{9}$

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17. 小明从家出发到商场购物后返回，如图表示的是小明离家的路程 $s$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $m i n$ ）之间的函数关系．已知小明购物用时 $30 m i n$ ，从商场返回家的速度是从家去商场速度的 $1.2$ 倍，则 $a$ 的值为（）

A、46 B、48 C、50 D、52

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18. 如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，先从甲袋中取出 $2^{x}$ 个球放入乙袋，再从乙袋中取出 $(2^{x} + 2^{y})$ 个球放入丙袋，最后从丙袋中取出 $2^{y}$ 个球放入甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则 $2^{x + y}$ 的值等于（）

A、128 B、64 C、32 D、16

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三、解答题（本大题共10小题，共78分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.

(1)、计算： $\sqrt{8} - 4 s i n 45 ° + {(\frac{1}{3})}^{0}$ ；

(2)、化简： $(1 - \frac{2}{a}) \div \frac{a^{2} - 4}{a}$ ．

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20.

(1)、解方程： $\frac{2 x + 1}{x + 3} = \frac{1}{x + 3} + 1$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 x - 2 < x ， \\ 3 (x + 1) \geq 6 . \end{array}$

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21. 如图，B是AC的中点，点D，E在 $A C$ 同侧， $A E = B D$ ， $B E ＝ C D$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ ≌ $△ B C D$ ．

(2)、连接 $D E$ ，求证：四边形 $B C D E$ 是平行四边形．

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22. 一只不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，从中任意摸出1个球后，不放回，将袋中剩余的球搅匀，再从中任意摸出1个球．用画树状图或列表的方法，求2次都摸到红球的概率．

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23. 香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表．
风味
偏甜
适中
偏酸
含量/ $(m g / 100 m L)$
71.2
89.8
110.9
某超市销售不同包装（塑料瓶装和玻璃瓶装）的以上三种风味的香醋，小明将该超市 $1 - 5$ 月份售出的香醋数量绘制成如下条形统计图．
已知 $1 - 5$ 月份共售出150瓶香醋，其中“偏酸”的香醋占 $40 %$ ．

(1)、求出a，b的值．

(2)、售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为 $m g / 100 m L$ ，中位数为 $m g / 100 m L$ ．

(3)、根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）

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24. 如图，正比例函数 $y = - 3 x$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于A， $B (1 ， m)$ 两点，点C在x轴负半轴上， $∠ A C O = 45 °$ ．

(1)、 $m =$ ， $k =$ ，点C的坐标为．

(2)、点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与 $△ A O C$ 相似，求点P的坐标．

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25. 如图，将矩形 $A B C D$ $(A D > A B)$ 沿对角线 $B D$ 翻折， $C$ 的对应点为点 $C^{'}$ ，以矩形 $A B C D$ 的顶点 $A$ 为圆心、 $r$ 为半径画圆， $⊙ A$ 与 $B C^{'}$ 相切于点 $E$ ，延长 $D A$ 交 $⊙ A$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ 交 $A B$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $B E = B G$ ．

(2)、当 $r = 1$ ， $A B = 2$ 时，求 $B C$ 的长．

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26. 小磊安装了一个连杆装置，他将两根定长的金属杆各自的一个端点固定在一起，形成的角大小可变，将两杆各自的另一个端点分别固定在门框和门的顶部．
如图1是俯视图， $O A ， O B$ 分别表示门框和门所在位置，M，N分别是 $O A ， O B$ 上的定点， $O M = 27 c m ， O N = 36 c m$ ， $M F ， N F$ 的长度固定， $∠ M F N$ 的大小可变．

(1)、图2是门完全打开时的俯视图，此时， $O A ⊥ O B$ ， $∠ M F N = 180 °$ ，求 $∠ M N B$ 的度数．

(2)、图1中的门在开合过程中的某一时刻，点F的位置如图3所示，请在图3中作出此时门的位置 $O B$ ．
（用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(3)、在门开合的过程中， $s i n ∠ O N M$ 的最大值为．（参考数据： $s i n 37 ° \approx 0.60 ， c o s 37 ° \approx 0.80 ， t a n 37 ° \approx 0.75$ ）

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27. 已知，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A的坐标为 $(3 ， 0)$ ，点B的坐标为 $(m ， n)$ ，点C与点B关于原点对称，直线 $A B ， A C$ 分别与y轴交于点E，F，点F在点E的上方， $E F = 2$ ．

(1)、分别求点E，F的纵坐标（用含m，n的代数式表示），并写出m的取值范围．

(2)、求点B的横坐标m，纵坐标n之间的数量关系．（用含m的代数式表示n）

(3)、将线段 $E F$ 绕点 $(0 ， 1)$ 顺时针旋转 $90 °$ ， E，F的对应点分别是 $E^{'}$ ， $F^{'}$ ．当线段 $E^{'} F^{'}$ 与点B所在的某个函数图象有公共点时，求m的取值范围．

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28. 【发现】如图1，有一张三角形纸片 $A B C$ ，小宏做如下操作：
⑴取 $A B$ ， $A C$ 中点D，E，在边 $B C$ 上作 $M N = D E$ ；
⑵连接 $E M$ ，分别过点D，N作 $D G ⊥ E M$ ， $N H ⊥ E M$ ，垂足为G，H；
⑶将四边形 $B D G M$ 剪下，绕点D旋转 $180 °$ 至四边形 $A D P Q$ 的位置，将四边形 $C E H N$ 剪下，绕点E旋转 $180 °$ 至四边形 $A E S T$ 的位置；
⑷延长 $P Q$ ， $S T$ 交于点F．
小宏发现并证明了以下几个结论是正确的：
①点Q，A，T一条直线上；
②四边形 $F P G S$ 是矩形；
③ $△ F Q T ≌ △ H M N$ ；
④四边形 $F P G S$ 与 $△ A B C$ 的面积相等．

(1)、【任务1】请你对结论①进行证明．

(2)、【任务2】如图2，在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ， P，Q分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点，连接 $P Q$ ．求证： $P Q = \frac{1}{2} (A D + B C)$ ．

(3)、【任务3】如图3，有一张四边形纸 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = 2$ ， $B C = 8$ ， $C D = 9$ ， $s i n ∠ D C B = \frac{4}{5}$ ，小丽分别取 $A B$ ， $C D$ 的中点P，Q，在边 $B C$ 上作 $M N = P Q$ ，连接 $M Q$ ，她仿照小宏的操作，将四边形 $A B C D$ 分割、拼成了矩形．若她拼成的矩形恰好是正方形，求 $B M$ 的长．

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风味	偏甜	适中	偏酸
含量/ $(m g / 100 m L)$	71.2	89.8	110.9