湖北省广水市2023-2024学年九年级上学期数学第一阶段考试试卷

试卷更新日期：2023-10-20 类型：月考试卷

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一、选择题（每小题3分，共30分）

1. 用配方法解方程 $x^{2} - 2 x - 6 = 0$ ，原方程变形为（）

A、 $(x + 1)^{2} = 7$ B、 $(x - 1)^{2} = 7$ C、 $(x + 2)^{2} = 10$ D、 $(x - 2)^{2} = 10$

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2. 下列垃圾分类标识的图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 二次函数 $y = x^{2} + 2$ 图像向左平移1个单位长度，得到的二次函数解析式为（）

A、 $y = x^{2} + 3$ B、 $y = (x - 1)^{2} + 2$ C、 $y = x^{2} + 1$ D、 $y = (x + 1)^{2} + 2$

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4. 关于 $x$ 的方程 $(a - 2) x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 有实数根，则 $a$ 满足（）

A、 $a ⩾ - \frac{1}{4}$ B、 $a > - 1$ ，且 $a \neq 2$ C、 $a ⩾ - \frac{1}{4}$ 且 $a \neq 2$ D、 $a \neq 2$

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5. 已知二次函数 $y = - 3 (x - h)^{2} + 5$ ，当 $x > - 2$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小，则有（）

A、 $h ⩾ - 2$ B、 $h ⩽ - 2$ C、 $h > - 2$ D、 $h < - 2$

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6. 一个三角形的两边长分列为3和6，第三边长是方程 $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ 的根，则这个三角形的周长是（）

A、11 B、11或13 C、13 D、都不对

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7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数 $y = a x + c$ 和二次函数 $y = a x^{2} + c$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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8. 如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米?若设小道的宽为 $x$ 米，则根据题意，列方程为（）

A、 $35 \times 20 - 35 x - 20 x + 2 x^{2} = 600$ B、 $35 \times 20 - 35 x - 2 + 20 x = 600$ C、 $(35 - 2 x) (20 - x) = 600$ D、 $(35 - x) (20 - x) = 600$

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9. 如图，正方形四个顶点的坐标依次为 $(1 ， 1) ， (3 ， 1) ， (3 ， 3) ， (1 ， 3)$ .若抛物线y=ax²与正方形有公共点，则实数a的取值范围是（）

A、 $\frac{1}{9} ⩽ a ⩽ 3$ B、 $\frac{1}{9} ⩽ a ⩽ 1$ C、 $\frac{1}{3} ⩽ a ⩽ 3$ D、 $\frac{1}{3} ⩽ a ⩽ 1$

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10. 如图是二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图像一部分， $x = - 1$ 是对称轴，有下列判断：① $b - 2 a = 0$ ；② $4 a - 2 b + c < 0$ ；③ $a - b + c = - 9 a$ ；④若 $(- 3 ， y_{1}) ， (\frac{3}{2} ， y_{2})$ 是抛物线上两点，则 $y_{1} > y_{2}$ ，其中正确的是（）

A、①②③ B、①③④ C、①②④ D、②③④

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二、填空题(每小题3分,共18分)

11. 二次函数 $y = - {(x - 6)}^{2} + 8$ 的最大值是．

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12. 若m，n是方程 $x^{2} - x - 2021 = 0$ 的两个实数根，则 $m^{2} + m + 2 n$ 的值为.

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13. 某药品原价每盆25元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在售价每盒16元，则该药品平均每次降价的百分率是.

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14. 对于实数p，q，我们用符号 $m i n {p ， q}$ 表示p，q两数中较小的数，如min ${1 ， 2} =$ $1 ， m i n {- \sqrt{2} ， - \sqrt{3}} = - \sqrt{3}$ .若， $m i n {(x - 1)^{2} ， x^{2}} = 1$ ，则 $x$ 值为.

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 4 2^{°}$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 顺时针旋转得到 $△ A^{^{'}} B^{^{'}} C^{^{'}}$ ，点C的对应点 $C^{^{'}}$ 落在BC边上，且B' $A / / B C$ ，则 $∠ B A C^{^{'}}$ 的度数为.

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16. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (2 ， - 4)$ 在找物线 $y = a x^{2}$ 上，过点 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交抛物线于另一点B，点C、D在线段AB上，且C、D两点关于 $y$ 轴对称，过点C作 $x$ 轴的垂线交抛物线于点 $E$ .连接 $E D$ ，当 $△ C D E$ 是等腰三角形时，线段CD的长为.

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三、解答题（共9小题，合计72分）

17. 解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 5 x - 10 = 0$

(2)、 $3 x^{2} - 7 x + 4 = 0$

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18. 如图，在等腰三角形ABC中， $A C = A B ， ∠ C A B = 9 0^{°}$ ， $E$ 是 $B C$ 上一点，将AE绕点A逆时针旋转 $9 0^{°}$ 得到AD，连接DE，CD.

(1)、求证△ABE≌△ACD；

(2)、当BC=6，CE=2时，求DE的长.

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19. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} + 6 x + (2 m + 1) = 0$ 有实数根.

(1)、求 $m$ 的取值范围：

(2)、如果该方程的两个实数根为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $2 x_{1} x_{2} - x_{1} - x_{2} ⩾ 8$ ，求 $m$ 的取值范围.

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20. 如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用度度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于 $A B)$ 的长方形花圃.

(1)、设花园的一边AB为xm，则BC的长可用含 $x$ 的代数式表示为m.

(2)、当AB的长度是多少米时，围成的花圃面积为3平方米?

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21. 阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：(x²-6)³-(x²-6)-2=0.
分析：本题实际上为一元四次方程，若展开按常规方法解答，对同学们来说具有一定的挑战性.解高次方程的基本方法是“降次”，我们发现本方程是以 $x^{2} - 6$ 为基本结构搭建的，所以我们可以把 $x^{2} - 6$ 视为一个整体，设为另外一个未知数，就可以把原方程降次为一元二改方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.
解：设 $x^{2} - 6 = m$ ，则原方程换元为 $m^{2} - m - 2 = 0$ .
$∴ (m - 2) (m + 1) = 0 ，$ $∴ m - 2 = 0$ 或 $m + 1 = 0 .$
解得 $m_{1} = 2 ， m_{2} = - 1 ，$
$∴ x^{2} - 6 = 2$ 或 $x^{2} - 6 = - 1$
解得： $x_{1} = 2 \sqrt{2} ， x_{2} = - 2 \sqrt{2} ， x_{3} = \sqrt{5} ， x_{4} = - \sqrt{5} .$
请参考例题解法，解下列方程：

(1)、 $x^{4} - 5 x^{2} + 6 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} + 3 x - \sqrt{x^{2} + 3 x} - 2 = 0$ .

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22. 国庆假期一部《长津湖》带给我们极大的震撼，面对美军的先进武器，志愿军不怕牺牲，以一敌百，更是有很多技术精湛的“神投手”．某志愿军身负重伤，不轻易放弃，用最后一丝力气投出一枚手榴弹，如果把该志愿军投出的手榴弹轨迹作为一抛物线，如图所示，手榴弹的最大高度为10米，此时水平飞行距离为9米，手榴弹离手点离地面高度为1.9米.

(1)、求此抛物线解析式；

(2)、求志愿军同志的手榴弹扔了多远?

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23. 某商场销售一款小商品，进货价为40元/件．当销售单价为60元时，每天的销售量为300件．在销售过程中发现：销售单价每上涨2元，每天的销售量就减少20件．设销售单价上涨x元(x为偶数)，每天的销售量为y件.

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、设每天的销售利润为w元，为了减少库存，则该商品的销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大?最大利润是多少?

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24. 某商店购进了一种消毒用品，进价为每件8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(单位：件)与每件售价x(单位：元)之间存在一次函数关系(其中8≤x≤15，且x为整数)．当每件消毒用品售价为9元时，每天的销售量为105件；当每件消毒用品售价为11元时，每天销售量为95件.

(1)、求y与x之间的函数关系式：

(2)、若该商店销售这种消毒用品每天获得425元的利润，则每件消毒用品的售价为多少元?

(3)、设该商店销售这种消毒用品每天获得w元，当每件消毒用品的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?

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25. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B (3 ， 0)$ 两点，过点 $A$ 的直线 $l$ 交抛物线于点 $C (2 ， m)$ .

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、P是线段AC上的一个动点(点P不与端点A，C重合)，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标；

(3)、F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形?如果存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由.

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