福建省福州十九中2023-2024学年八年级上册数学开门考试卷

试卷更新日期：2023-10-20 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列实数中，无理数是（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt[3]{27}$ C、 $0.213$ D、 $\frac{22}{7}$

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3. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（）

A、60° B、65° C、75° D、85°

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4. 下列说法正确的是（）

A、从全校 $1500$ 名学生中抽取 $100$ 名调查了解寒假阅读情况，抽取的样本容量为 $1500$ B、了解北京冬奥会的收视率适合用抽样调查 C、调查某批次汽车的抗撞击能力适合用全面调查 D、旅客乘坐飞机前的安检适合用抽样调查

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5. 如图，将三角形 $A B C$ 沿着 $P Q$ 方向平移得到三角形 $A' B' C'$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $A B / / A' B'$ ． B、 $A A' = B B'$ C、 $A A' / / B B'$ D、 $A A' = A B$

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6. 如果 $m > n$ ，则下列结论中正确的是（）

A、 $\frac{m}{5} < \frac{n}{5}$ B、 $m - 3 < n - 3$ C、 $m + c > n + c$ D、 $- 2 m > - 2 n$

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7. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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8. 能说明命题“对于任何实数 $a$ ， $| a | = a$ ”，是假命题的一个反例可以是（）

A、 $a = 0$ B、 $a = \sqrt{2023}$ C、 $a = 2023$ D、 $a = - 2023$

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9. 我国古代数学著作 $《$ 九章算术 $》$ 卷七“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：几个人合伙买一件物品，每人出 $8$ 元，则余 $3$ 元；若每人出 $7$ 元，则少 $4$ 元，问几人合买？这件物品多少钱？若设有 $x$ 人合买，这件物品 $y$ 元，则根据题意列出的二元一次方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} 8 x = y - 3 \\ 7 x = y + 4 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 8 x = y + 4 \\ 7 x = y - 3 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 3 x = y + 8 \\ 4 x = y - 7 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 8 x = y + 3 \\ 7 x = y - 4 \end{array}$

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10. 如图， $∠ C = 90 °$ ，点 $M$ 是 $B C$ 的中点， $D M$ 平分 $∠ A D C$ ，且 $C B = 8$ ，则点 $M$ 到线段 $A D$ 的最小距离为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 9的算术平方根是．

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12. 如图， $B D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $A B = 8 c m$ ， $B C = 6 c m$ ，那么 $△ A B D$ 的周长比 $△ C B D$ 的周长多 $c m$ ．

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13. 若点 $P (6 - 3 a ， a + 1)$ 在 $y$ 轴上，则 $a =$ ．

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14. 如图，已知 $B (2 ， 0)$ ， $C (0 ， 1)$ ， $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B C$ ，则点 $A$ 的坐标是．

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15. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $a + b = 8$ ， $c - a = 10 .$ 若 $a \geq - 2 b$ ，则 $a + b + c$ 的最大值为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 ° (∠ A B C > ∠ A)$ ，角平分线 $B D$ 、 $C E$ 交于点 $O$ ， $O F ⊥ A B$ 于点 $F .$ 下列结论：
$① S_{△ B O C}$ ： $S_{△ B O E} = B C$ ： $B E$ ；
      $② ∠ E O F = ∠ A B C - ∠ A$ ；
      $③ B E + C D = B C$ ；
      $④ S_{四边形 B E D C} = 2 S_{△ B O C} + S_{△ E D O}$ ，
其中正确结论是．

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三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

17.

(1)、解二元一次方程组 ${\begin{array}{l} x + y = 1 \\ x + 2 y = 4 \end{array}$ ．

(2)、若上述方程组的解是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $a x + b y = 2$ 的一组解，求代数式 $\sqrt{6 b - 4 a}$ 的值．

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四、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

18. 计算： $\sqrt{25} - \sqrt[3]{27} + | 2 - \sqrt{5} |$ ．

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19. 解不等式： $\frac{x - 1}{2} - 1 \leq x$ ，并将解集在数轴上表示出来．

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20. 如图， $A B / / C D$ ， $A B = C D$ ，点 $E$ 、 $F$ 在线段 $B C$ 上，且 $B E = C F$ ，连接 $A F$ 、 $D E$ ．
求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B > ∠ B$ ．

(1)、尺规作图，在 $A B$ 上求作一点 $D$ ，使 $∠ B C D = ∠ B . ($ 不要求写作法，保留作图痕迹 $)$ ；请你根据所学的三角形全等的有关知识，作图依据是 $. ($ 提示： $S S S$ 、 $S A S$ 、 $A S A$ 、 $A A S)$

(2)、若(1)中 $∠ A = 65 °$ ， $∠ A C B = 75 °$ ，求 $∠ A D C$ 的度数．

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22. 某校组织

2000

名学生参加“展示我美丽祖国”庆国庆的自拍照片的评比活动，随机取一些学生在评比中的成绩制成的统计图表如下：

频数分布表

分数段	频数	百分比
$80 \leq x < 85$	$a$	$20 %$
$85 \leq x < 90$	$80$	$b$
$90 \leq x < 95$	$60$	$30 %$
$95 \leq x < 100$	$20$	$c$

根据以上图表提供的信息，解答下列问题：

(1)、该调查的样本容量是．

(2)、

a =

，

b =

，

c =

；补全频数分布直方图；

(3)、如果评比成绩在

90

分及以上

(

含

90

分

)

的可以获奖，试估计该校参加此次活动获奖的人数．

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23. “绿水青山就是金山银山”，为保护生态环境，A，B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱，每村参加清理人数及总开支如下表：

村庄	清理养鱼网箱人数/人	清理捕鱼网箱人数/人	总支出/元
A	15	9	57000
B	10	16	68000

(1)、若两村清理同类渔具的人均支出费用一样，求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元；

(2)、在人均支出费用不变的情况下，为节约开支，两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱，要使总支出不超过102000元，且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数，则有哪几种分配清理人员方案？

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24.
    （一）阅读材料
若关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $a x + b y = c$ 有一组整数解 ${\begin{array}{l} x = x_{0} \\ y = y_{0} \end{array}$ ，则方程 $a x + b y = c$ 的全体整数解可表示为 ${\begin{array}{l} x = x_{0} + b t \\ y = y_{0} - a t \end{array} (t$ 为整数 $)$ ．
例题：求关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $5 x + 11 y = 136$ 的所有正整数解．
小明参考阅读材料，解决该例题如下：
解： $∵ 5 x + 11 y = 136$ ， $∴ x = (136 - 11 y) \div 5 = 27 - 3 y + (1 + 4 y) \div 5$ ，
$∵ x$ ， $y$ 要取整数， $∴$ 当 $y = 1$ 时， $x = 25$ ，
      $∴$ 该方程一组整数解为 ${\begin{array}{l} x_{0} = 25 \\ y_{0} = 1 \end{array}$ ， $∴$ 其全体整数解为 ${\begin{array}{l} x = 25 + 11 t \\ y = 1 - 5 t \end{array} (t$ 为整数 $)$ ．
      $∵ {\begin{array}{l} 25 + 11 t > 0 \\ 1 - 5 t > 0 \end{array}$ ， $∴ - \frac{25}{11} < t < \frac{1}{5}$ ．
      $∵ t$ 为整数， $∴ t = - 2$ 、 $- 1$ 或 $0$ ．
      $∴$ 该方程的正整数解为 ${\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 11 \end{array}$ 、 ${\begin{array}{l} x = 14 \\ y = 6 \end{array}$ 和 ${\begin{array}{l} x = 25 \\ y = 1 \end{array}$ ．
     （二）解决问题

(1)、关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $3 x + 5 y = 14$ 的全体整数解表示为 ${\begin{cases} x = a + 5 t \\ y = 1 - 3 t \end{cases}$ （t为整数），则 $a =$ ；

(2)、请参考阅读材料，直接写出关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $19 x - 7 y = 155$ 的一组整数解和它对应的全体整数解；

(3)、请你参考小明的解题方法，求关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程 $3 x + 2 y = 23$ 的全体正整数解．

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25. 已知：平面直角坐标系中，如图 $1$ ，点 $A (a ， b)$ ， $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，并且满足 $\sqrt{2 a + b + 6} + (a - b + 12)^{2} = 0$ ．

(1)、试判断 $△ A O B$ 的形状并说明理由．

(2)、如图 $2$ ，若点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点，连 $O C$ 并作 $O D ⊥ O C$ ，且 $O D = O C$ ，连 $A D$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，试求点 $E$ 的坐标．

(3)、如图 $3$ ，若点 $M$ 为点 $B$ 的左边 $x$ 轴负半轴上一动点，以 $A M$ 为一边作 $∠ M A N = 45 °$ 交 $y$ 轴负半轴于点 $N$ ，连 $M N$ ，在点 $M$ 运动过程中，试猜想式子 $O M + M N - O N$ 的值是否发生变化？若不变，求这个不变的值；若发生变化，试求它变化的范围．

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