福建省福州十九中2023-2024学年九年级上册数学开学试卷

试卷更新日期：2023-10-20 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各数 $- 1$ ， $2$ ， $- 3$ ， $0$ ， $- 2$ 中，负数的个数有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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2. 2023年政府工作报告提出：确保粮食产量保持在 $130000000$ 斤以上，将 $130000000$ 这个数用科学记数法表示为（）

A、 $13 \times 1 0^{8}$ B、 $1.3 \times 1 0^{8}$ C、 $1.3 \times 1 0^{9}$ D、 $0.13 \times 1 0^{10}$

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $(2 a^{4})^{3} = 6 a^{12}$ B、 $5 a - 4 a = 1$ C、 $3 a \cdot a^{2} = 3 a^{2}$ D、 $(a + 3) (a - 3) = a^{2} - 9$

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4. $《$ 义务教育课程标准 $(2022$ 年版 $) 》$ 首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并作出明确规定 $.$ 某班有 $7$ 名学生已经学会炒的菜品的种数依次为： $2$ ， $4$ ， $3$ ， $2$ ， $5$ ， $2$ ， $3 .$ 则这组数据的众数和中位数分别是（）

A、 $2$ ， $2$ B、 $2$ ， $2.5$ C、 $2$ ， $3$ D、 $3$ ， $3$

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5. 在下列一次函数中，其图象过点 $(- 1 ， 2)$ 且 $y$ 随 $x$ 的增大而减小的是（）

A、 $y = 2 x + 5$ B、 $y = x + 2$ C、 $y = - 2 x + 1$ D、 $y = - x + 1$

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6. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速， $2023$ 年 $1$ 月至 $3$ 月，新能源车月销量由 $33.2$ 万辆增加到 $54.6$ 万辆，设 $2023$ 年 $1$ 月至 $3$ 月新能源车销量的月平均增长率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $33.2 (1 + 2 x) = 54.6$ B、 $33.2 \times 2 \cdot (1 + x) = 54.6$ C、 $33.2 [1 + (1 + x) + (1 + x)^{2}] = 54.6$ D、 $33.2 (1 + x)^{2} = 54.6$

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7. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 8 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根，则 $m$ 的值可能是（）

A、 $15$ B、 $16$ C、 $17$ D、 $18$

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8. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章 $A B C D E$ 上，若直尺的下沿 $M N ⊥ D E$ 于点 $O$ ，且经过点 $B$ ，上沿 $P Q$ 经过点 $E$ ，则 $∠ A B M$ 的度数为（）

A、 $152 °$ B、 $126 °$ C、 $120 °$ D、 $108 °$

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9. 如图，在▱ $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ， $E$ 为 $A B$ 的中点，连接 $O E$ ，过 $D$ 点作 $D F ⊥ A B$ 于点 $F$ ，若 $O E = 4$ ， $∠ D A B = 60 °$ ，则 $A F$ 的长为（）

A、 $3$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $4 \sqrt{3}$

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} - b x (a > 0)$ 经过这两点 $(- 3 - n ， - 1)$ 与 $(n + 1 ， - 1)$ ，若点 $P (1 ， h)$ 在抛物线上，则 $h$ 可能的值是（）

A、 $2$ B、 $2.4$ C、 $2.8$ D、 $3.2$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 若 $\sqrt{x - 3}$ 有意义，则x的取值范围是

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12. 因式分解： $2 a^{2} - 8$ =

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13. 已知 $3 a - b = 0 (b \neq 0)$ ，则分式 $\frac{3 a + 2 b}{b}$ 的值为．

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14. 如图，直线 $l$ 经过正方形 $A B C D$ 的顶点 $A$ ，分别过正方形的顶点 $B$ 、 $D$ 作 $B F ⊥ l$ 于点 $F$ ， $D E ⊥ l$ 于点 $E$ ，若 $D E = 3$ ， $A D = 5$ ，则 $E F$ 的长为．

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15. 在现今互联网的时代，密码与我们的生活密不可分 $.$ 数学老师请同学们通过数学知识自己设置五位数密码，现由小明、小亮两位同学轮流从 $1 ～ 9$ 中任选一个数字，规则是小明先选，小明选的数会使这 $5$ 个数据平均数最小，小亮选的数会使这 $5$ 个数据中位数最大，密码的 $5$ 个数据不能重复，若五位数密码第一个数字是 $6$ ，要使这个五位数最大，用上述方法产生的密码是．

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16. 如图，在等边 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ 分别在边 $A C$ 和 $B C$ 上，连接 $D E$ ，点 $C$ 关于 $D E$ 的对称点是点 $F$ ，连接 $D F$ 和 $E F$ 分别交 $A B$ 于点 $M$ 和 $N$ ，若 $D M = 2$ ， $E N = \sqrt{3}$ ，若 $△ C D E$ 和四边形 $A D E B$ 面积相等，则 $M N$ 的长为．

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三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 解方程：

(1)、 $x^{2} + 6 x = 0$ ；

(2)、 $\frac{1}{x - 1} = 1 + \frac{2}{x - 1}$ ．

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18. 如图，已知 $A D / / B C$ ， $A D = C B$ ， $A F = C E$ ，求证： $∠ D = ∠ B$ ．

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19. 先化简，再求值： $(\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{a - 2}) \div \frac{6}{a^{2} - 4}$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ ．

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20. 如图，在菱形 $A B C D$ 中， $G$ 为边 $C B$ 延长线上一点，连接 $D G$ 分别交 $A C$ 和 $A B$ 于 $E$ 和 $F$ 两点．

(1)、求证： $∠ A D E = ∠ A B E$ ；

(2)、已知 $E F = 1$ ， $E G = 3$ ，求 $B E$ 的长．

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21. 国家利益高于一切，国家安全人人有责， $2023$ 年 $4$ 月 $15$ 日是第八个全民国家安全教育日，某校开展了“树牢总体国家安全观，感悟新时代国家安全成就”的国安知识竞赛，现从七、八年级中各随机抽取 $20$ 名学生的竞赛成绩 $(100$ 分制 $)$ 进行整理、描述和分析 $($ 成绩用 $x$ 表示，共分成四组：不合格 $0 \leq x < 60$ ，合格 $60 \leq x < 80$ ，良好 $80 \leq x < 100$ ，优秀 $x = 100)$ ，下面给出部分信息：
七年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是： $80$ ， $82$ ， $85$ ， $90$ ， $95$ ， $98$ ．
八年级抽取的学生竞赛成绩在良好组的数据是： $80$ ， $82$ ， $86$ ， $86$ ， $86$ ， $88$ ， $94$ ， $98$ ．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的统计量

七年级
          $82$
          $100$
          $a$
          $25 %$
八年级
          $82$
          $b$
          $87$
          $35 %$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、直接写出 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、根据上述数据，你认为该校七八年级中哪个年级学生对“国安知识”学握较好？请说明理由 $($ 写出一条理由即可 $)$ ；

(3)、该校七、八年级各有 $1000$ 人参加此活动，估计参加此活动成绩优秀的学生人数是多少？

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22. 三坊七巷作为“十大历史文化古街”之一，其悠久的历史吸引了许多游客，景点内的 $A$ 、 $B$ 两种纪念品深受广大游客们的喜爱 $.$ 若买 $1$ 件 $A$ 种纪念品和 $3$ 件 $B$ 种纪念品花费 $50$ 元，买 $4$ 件 $A$ 种纪念品和 $2$ 件 $B$ 种纪念品花费 $70$ 元．

(1)、求两种纪念品的单价；

(2)、游客决定要购买 $A$ 、 $B$ 两种纪念品共 $300$ 件，设购进 $A$ 种纪念品 $x$ 件，购进这 $300$ 件纪念品所需总费用为 $y$ 元 $.$ 若要求购进 $A$ 种纪念品的数量不超过 $B$ 种纪念品的一半，试问如何购进 $A$ 、 $B$ 两种纪念品使得所需总费用最低，最低的费用是多少元？

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23. 问题背景：
在平面直角坐标系中，任意直线 $l / / y$ 轴，直线 $l$ 上的任意两点 $A$ 的坐标为 $(m ， n_{1})$ ，点 $B$ 的坐标为 $(m ， n_{2})$ 且满足 $n_{1} > n_{2}$ ，则可以构成函数 $h = n_{1} - n_{2}$ ．
问题解决：

(1)、已知点 $C (m ， k m + 2)$ ， $D (m ， 3 m)$ ，点 $C$ 在点 $D$ 的上方，若点 $E (4 ， 6)$ 在函数 $h$ 图象上，求 $h$ 的函数解析式；

(2)、已知点 $M (m ， m^{2} + 2 m + 6)$ ，点 $N (m ， t)$ 且 $t < 5$ ，当 $2 \leq m \leq 4$ 时，函数 $h$ 的最大值是 $3$ ，求 $t$ 的值．

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24. 如图 $1$ ， $△ A C B$ 和 $△ A M N$ 均为等腰直角三角形， $∠ A C B = ∠ A M N = 90 °$ ，点 $M$ 在 $B C$ 边上，延长 $A C$ 和 $N M$ 交于点 $F$ ， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ，交 $A M$ 于点 $E$ ．

(1)、求证： $① △ C M E$ ∽ $△ N F A$ ；
$②$ 若 $A M = 20$ ， $C M = 12$ ，求 $E M$ 的值；

(2)、如图 $2$ ，点 $P$ 是 $C N$ 的中点， $A B = 2 C M$ ，求证： $C P$ 垂直平分 $D M$ ．

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25. 已知抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点 $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， - 6)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、点 $B$ 和抛物线顶点所在的直线与 $A C$ 的延长线交于点 $D$ ，求 $∠ A D B$ 的度数；

(3)、作直线 $l / / B C$ 与抛物线交于 $E (x_{1} ， y_{1})$ ， $F (x_{2} ， y_{2})$ 两点且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，点 $C$ 、 $E$ 和点 $B$ 、 $F$ 所在的直线相交于点 $M$ ，证明：点 $M$ 在定直线上运动．

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七年级	$82$	$100$	$a$	$25 %$
八年级	$82$	$b$	$87$	$35 %$