期中微专题提分精炼3正方形的性质与判定-2023-2024学年北师大版九年级（上）数学

试卷更新日期：2023-10-19 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 下列说法中错误的是（）

A、两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形 B、两条对角线相等的四边形是矩形 C、两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形 D、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

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2. 如图，正方形ABCD外侧作等边三角形ADE，则∠AEB的度数为（）

A、30° B、20° C、15° D、10°

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3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A、对角线互相垂直 B、对角线相等 C、对角线互相平分 D、每一条对角线平分一组对角

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4. 如图所示，在正方形ABCD中，E是AC上的一点，且 $AB = AE$ ，则 $∠ EBC$ 的度数是（）

A、45度 B、30度 C、 $22.5$ 度 D、20度

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，延长 $A B$ 到点 $E$ ，使 $A E = A C$ ，则 $∠ B C E$ 的度数是（）

A、 $62.5 °$ B、 $45 °$ C、 $32.5 °$ D、 $22.5 °$

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6. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，E为 $A D$ 上一点，连接 $B E$ ， $B E$ 交对角线 $A C$ 于点F，连接 $D F$ ，若 $∠ A B E = 30 °$ ，则 $∠ C F D$ 的度数为（）．

A、 $45 °$ B、 $70 °$ C、 $75 °$ D、 $80 °$

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7. 正方形具有而矩形不一定有的性质是（）

A、对角线互相垂直 B、对角线相等 C、对角互补 D、四个角相等

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 的面积为 $2$ ，菱形 $A E C F$ 的面积为 $1$ ，则 $E$ ， $F$ 两点间的距离为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\sqrt{2}$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 是 $C D$ 的中点，点 $F$ 是 $A D$ 的中点， $B E$ 与 $C F$ 相交于点 $P$ ，设 $A B = a$ .得到以下结论：① $B E ⊥ C F$ ；② $A P = a$ ；③ $C P = \frac{\sqrt{5}}{5} a$ 则上述结论正确的是（）

A、①② B、①③ C、②③ D、①②③

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 3$ ，点E，F分别在边 $A B ， C D$ 上， $∠ E F D = 60 °$ ，若将四边形 $E B C F$ 沿 $E F$ 折叠，点 $B^{'}$ 恰好落在 $A D$ 边上，则 $B E$ 的长度为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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二、填空题

11. 正方形的对角线长为10 cm，则正方形的周长是

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12. 如图，点E为正方形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点，且 $B E = B A$ ，则 $∠ D C E$ 的度数为.

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13. 已知正方形ABCD的对角线长为8cm，则正方形ABCD的面积为cm².

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14. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点O，添加一个条件，使菱形 $A B C D$ 是正方形．

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15. 如图所示，在正方形ABCD中，点P在AC上， $P E ⊥ A B$ ， $P F ⊥ B C$ ，垂足分别为E，F， $E F = 3$ ，则DP的长为．

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三、解答题

16. 如图，四边形 $A B C D$ 是正方形，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点F， $∠ E = 90 °$ ， $E D = E C$ .求证：四边形 $D F C E$ 是正方形.

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17. 如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE=AF．连接DE、DF．求证：DE=DF．

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18. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE．

(1)、求证：四边形AEBD是矩形；

(2)、当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．

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19.
已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足．
求证：AP=EF．

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20. 如图，在矩形 $A B C D$ 中，点E，F分别在边 $A B ， B C$ 上， $A F ⊥ D E$ ，且 $A F = D E$ ， $A F$ 与 $D E$ 相交于点G．求证：矩形 $A B C D$ 为正方形；

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21. 如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．

(1)、当点F与点C重合时如图1，证明：DF+BE=AF；

(2)、当点F在DC的延长线上时如图2，当点F在CD的延长线上时如图3，线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

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四、综合题

22. 已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E ， G ， H分别在矩形ABCD的边AB ， CD ， AD上，AH＝2，连接CF ．

(1)、当四边形EFGH为正方形时，求DG的长；

(2)、当DG＝6时，求△FCG的面积；

(3)、求△FCG的面积的最小值．

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23. 如图，已知菱形ABCD，点E、F是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED=45°，DF=BE，连接CE、AF、CF，得四边形AECF．

(1)、求证四边形AECF是正方形；

(2)、若BD=4，BE=3，求菱形ABCD的面积．

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24.
如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE顺时针旋转△ABF的位置．

(1)、旋转中心是点，旋转角度是度；

(2)、若连结EF，则△AEF是三角形；并证明；

(3)、若四边形AECF的面积为25，DE=2，求AE的长．

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25. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $G$ 在对角线 $B D$ 上（不与点 $B$ ，点 $D$ 重合）， $G E ⊥ D C$ 于点 $E$ ， $G F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连结 $A G$ ，

(1)、写出线段 $A G$ ， $G E$ ， $G F$ 长度之间的数量关系，并说明理由．

(2)、若正方形 $A B C D$ 的边长为 $\sqrt{6}$ ， $∠ B A G = 75 °$ ，求线段 $B G$ 的长．

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