吉林省白城市通榆九中、育才学校2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

试卷更新日期：2023-10-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 方程 $3 x (x - 1) = 5 (x + 2)$ 的一般式为 $a x^{2} - 8 x - 10 = 0$ 时， $a$ 的值为（）

A、 $- 3$ B、 $1$ C、 $3$ D、 $5$

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2. 用配方法解一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 时，配方正确的是（）

A、 $(x + 2)^{2} = 1$ B、 $(x + 2)^{2} = 7$ C、 $(x - 2)^{2} = 7$ D、 $(x - 2)^{2} = 1$

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3. 一元二次方程 $x^{2} = 3 x$ 的根是（）

A、 $x = 3$ B、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = - 3$ C、 $x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 3$ D、 $x = 0$

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4. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手 $10$ 次，设有 $x$ 人参加这次聚会，则列出方程正确的是（）

A、 $x (x - 1) = 10$ B、 $\frac{1}{2} x (x - 1) = 10$ C、 $x (x + 1) = 10$ D、 $\frac{1}{2} x (x + 1) = 10$

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5. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则 $a + b + c$ 与 $0$ 的大小关系是（）

A、 $=$ B、 $>$ C、 $<$ D、不确定

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6. 如图，在长为 $100 m$ ，宽为 $50 m$ 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是 $3600 m^{2}$ ，则小路的宽是（）

A、 $5 m$ B、 $70 m$ C、 $5 m$ 或 $70 m$ D、 $10 m$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7. 已知 $x^{m - 2} + 6 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $m$ 的值为．

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8. 将抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 向上平移 $1$ 个单位长度，所得抛物线的解析式为．

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9. 一元二次方程 $x^{2} + 3 x + 1 = 0$ 的根的判别式的值为．

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10. 二次函数 $y = x^{2} - 2$ 的顶点坐标是．

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11. 抛物线 $y = a (x - 1)^{2} + k$ 的部分图象如图所示，则 $a + k =$ ．

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12. 某村 $2020$ 年的人均收入为 $4$ 万元， $2022$ 年的人均收入为 $5.76$ 万元，则人均收入的年平均增长率为．

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13. 坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点 $P$ ， $Q$ 均在 $x$ 轴上，且有一条水平线与两图象相交于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四点，各点位置如图所示，若 $A B = 10$ ， $B C = 5$ ， $C D = 6$ ，则 $P Q$ 的长度为．

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14. 已知二次函数 $y = - a x^{2} + 2 a x + 3 (a > 0)$ ，若点 $P (m ， 3)$ 在该函数的图象上，且 $m \neq 0$ ，则 $m$ 的值为.

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三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 请你用直接开平方法解方程： $(x - 2)^{2} = 9$ ．

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16. 请你用公式法解方程： $3 x^{2} - 4 x - 1 = 0$ ．

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17. 已知抛物线 $y = a x^{2} + 3$ 过点 $(1 ， 4)$ ．

(1)、求此抛物线的解析式．

(2)、当函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而增大时，直接写出 $x$ 的取值范围．

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18. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + (4 m + 1) = 0$ 有两个相等的实数根，求m的值．

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19. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？

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20. 已知二次函数 $y = (x - 1)^{2} + k$ ，其图象过点 $(2 ， - 3)$ ．

(1)、求此二次函数的解析式，并写出顶点 $C$ 的坐标．

(2)、设此二次函数与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，直接写出 $△ A B C$ 的面积．

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21. 设二次函数

y = a x^{2} + b x + 1 (a \neq 0 ， b

是实数

) .

已知函数值

y

和自变量

x

的部分对应取值如表所示：

$x$	$\dots$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$\dots$
$y$	$\dots$	$4$	$1$	$0$	$m$	$n$	$\dots$

(1)、求此二次函数的解析式．

(2)、

m =

▲ ，

n =

▲ ，并在图中画出二次函数的大致图象．

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22. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 中， $b = \sqrt{c - 1} + \sqrt{1 - c} - 2$ ．

(1)、解： $∵ c - 1 \geq 0$ ， $1 - c \geq 0$ ，
$∴ 1 \leq c \leq 1$ ，
$∴ c =$ ，此时 $b =$ ．

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个相等的实数根，求方程的根．

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23. 如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加 $1.5 m / s$ ．

(1)、写出滚动的距离 $s ($ 单位： $m)$ 关于滚动的时间 $t ($ 单位： $s)$ 的函数关系式 $. ($ 提示：本题中，距离 $=$ 平均速度 $\bar{v} \times$ 时间 $t$ ， $\bar{v} = \frac{v_{0 + v_{1}}}{2}$ ，其中 $v_{0}$ 是开始时的速度 $.)$

(2)、如果斜面的长度是 $3 m$ ，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？

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24. 阅读材料：
材料 $1$ ：若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}$ ；
材料 $2$ ：已知一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ，求 $m^{2} n + m n^{2}$ 的值．
解： $∵$ 一元二次方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $m$ ， $n$ ，
$∴ m + n = 1$ ， $m n = - 1$ ，
则 $m^{2} n + m m^{2} = m n (m + n) = - 1 \times 1 = - 1$
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)、材料理解：一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两个根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} =$ ， $x_{1} x_{2} =$ ；

(2)、类比应用：已知一元二次方程 $2 x^{2} - 3 x - 1 = 0$ 的两根分别为 $m$ 、 $n$ ，求 $\frac{n}{m} + \frac{m}{n}$ 的值；

(3)、思维拓展：已知实数 $s$ 、 $t$ 满足 $2 s^{2} - 3 s - 1 = 0$ ， $2 t^{2} - 3 t - 1 = 0$ ，且 $s \neq t$ ，求 $\frac{1}{s} + \frac{1}{t}$ 的值．

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25. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

(1)、若商场想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

(2)、商场有可能每天平均盈利1300元吗？若有可能，应降价多少元？

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26. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过 $A (- 1 ， 0)$ 、 $C (0 ， 3)$ 两点，并交 $x$ 轴于另一点 $B$ ，点 $M$ 是抛物线的顶点，直线 $A M$ 与 $y$ 轴交于点 $D$ ．

(1)、求此抛物线的解析式及顶点 $M$ 的坐标．

(2)、点 $Q$ 是对称轴上的一点．
$①$ 当四边形 $C O Q M$ 为平行四边形时，求点 $Q$ 的坐标．
$②$ 点 $D$ 的坐标为 ▲ ．
$③$ 若点 $P$ 是抛物线上一动点，当以 $D$ ， $M$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有满足条件的点 $Q$ 的坐标．

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