吉林省松原市前郭一中、三中、蒙中2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

试卷更新日期：2023-10-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 一元二次方程 $5 x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的一次项系数是（）

A、5 B、 $- 2$ C、2 D、0

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2. 一元二次方程 $x^{2} - 5 x + 2 = 0$ 根的判别式的值是（）

A、33 B、23 C、17 D、 $\sqrt{17}$

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3. 抛物线 $y = - 2 (x - 2)^{2} - 5$ 的顶点坐标是（）

A、 $(- 2 ， 5)$ B、 $(2 ， 5)$ C、 $(- 2 ， - 5)$ D、 $(2 ， - 5)$

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4. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 3 = 0$ ，配方后的方程是（）

A、 $(x - 2)^{2} = 7$ B、 $(x + 2)^{2} = 7$ C、 $(x - 2)^{2} = 1$ D、 $(x + 2)^{2} = 1$

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5. 如图所示，直线 $l$ 为二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象的对称轴，则下列说法正确的是（）

A、 $b$ 恒大于 $0$ B、 $a$ ， $b$ 同号 C、 $a . b$ 异号 D、以上说法都不对

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6. “抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（）

A、 $w = (99 - x) [200 + 10 (x - 50)]$ B、 $w = (x - 50) [200 + 10 (99 - x)]$ C、 $w = (x - 50) (200 + \frac{x - 99}{5} \times 10)$ D、 $w = (x - 50) (200 + \frac{99 - x}{5} \times 10)$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7. 小华在解一元二次方程 $x^{2} = x$ 时，只得出一个根是 $x = 1$ ，则被他漏掉的一个根是．

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8. 二次函数 $y = (k + 2) x^{2}$ 的图象如图所示，则 $k$ 的取值范围是．

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9. 将抛物线 $y = - 2 x^{2}$ 向上平移3个单位长度，所得抛物线解析式为.

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10. 二次函数 $y = - x^{2} - 3 x + 4$ 的最大值是．

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11. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ ， $B (x_{2} ， y_{2})$ 在抛物线 $y = x^{2} - 3$ 上，且 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ ．（填“<”或“>”或“=”）

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12. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与 $x$ 轴相交于 $(- 2 ， 0)$ 和 $(4 ， 0)$ 两点，当函数值 $y > 0$ 时，自变量 $x$ 的取值范围是．

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13. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴相交于点 $A (1 ， 0)$ 、点 $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，点 $D$ 在抛物线上，当 $C D / / x$ 轴时， $C D =$ ．

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14. 如图，有一张长方形桌子的桌面长 $130 c m$ ，宽 $60 c m$ ．有一块长方形台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相等．若设台布垂下的长度为 $x c m$ ，则可列出x满足的方程为．（不必化简）

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三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 解方程： $2 {(x - 1)}^{2} = 8$

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16. 解方程： $x^{2} + 3 x - 2 = 0$ .

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17. 解方程： $x^{2} - 1 = 2 (x + 1)$

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18. 已知抛物线 $y = a (x - 3)^{2} + 2$ 经过点 $(1 ， - 2)$ ．

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若点 $A (m ， y_{1})$ 、 $B (n ， y_{2}) (m < n < 3)$ 都在该抛物线上，试比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $k x^{2} - (2 k + 4) x + k - 6 = 0$ 有两个不相等的实数根．

(1)、求 $k$ 的取值范围；

(2)、当 $k = 1$ 时，用配方法解方程．

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20. 如图，已知抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 的部分图象， $A (1 ， 0)$ ， $B (0 ， 3)$ ．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、若抛物线与 $x$ 轴的另一个交点是 $C$ 点，求 $△ A B C$ 的面积．

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21. 今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一 $. 4$ 月 $29$ 日，五一商圈累计客流量将近 $120$ 万人次，其中外地游客占比 $65 %$ 左右 $.$ 长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友 $5$ 天接待客人约 $30$ 万人次．

(1)、请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确 $. ($ 对的打“ $\sqrt$ ”，错的打“ $\times$ ” $)$
$① 4$ 月 $29$ 日当天，长沙五一商圈本地游客占比 $45 %$ 左右；
$②$ 今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约 $6$ 万人次；

(2)、另据一报道：长沙 $2021$ 年五一假期，共接待游客约 $200$ 万大次，在 $2023$ 年五一假期，共接待游客约 $288$ 万人次 $.$ 若 $2021$ 年至 $2023$ 年的年平均增长率保持相同，求出长沙 $2021$ 年至 $2023$ 年五一假期接待游客人次的年平均增长率．

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22. 已知二次函数 $y = 2 x^{2} - 4 x - 6$ ．

(1)、用配方法将 $y = 2 x^{2} - 4 x - 6$ 化成 $y = a (x - h)^{2} + k$ 的形式；并写出对称轴和顶点坐标．

(2)、在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的草图；

(3)、当 $0 < x < 4$ 时，直接写出y的取值范围.

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23. $2023$ 年 $5$ 月 $28$ 日， $C 919$ 商业首航完成 $— —$ 中国民航商业运营国产大飞机正式起步12时 $31$ 分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼” $($ 寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪 $) .$ 如图 $①$ ，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分 $.$ 如图 $②$ ，当两辆消防车喷水口 $A$ ， $B$ 的水平距离为 $80$ 米时，两条水柱在抛物线的顶点 $H$ 处相遇 $.$ 此时相遇点 $H$ 距地面 $20$ 米，喷水口 $A$ ， $B$ 距地面均为 $4$ 米 $.$ 若两辆消防车同时后退 $10$ 米，两条水柱的形状及喷水口 $A'$ ， $B'$ 到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点 $H'$ 距地面多少米．

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24. 【观察思考】
【规律发现】
请用含 $n$ 的式子填空：

(1)、第 $n$ 个图案中“ $◎$ ”的个数为；

(2)、第 $1$ 个图案中“ $★$ ”的个数可表示为 $\frac{1 \times 2}{2}$ ，第 $2$ 个图案中“ $★$ ”的个数可表示为 $\frac{2 \times 3}{2}$ ，第 $3$ 个图案中“ $★$ ”的个数可表示为 $\frac{3 \times 4}{2}$ ，第 $4$ 个图案中“ $★$ ”的个数可表示为 $\frac{4 \times 5}{2}$ ， $\dots \dots$ ，第 $n$ 个图案中“ $★$ ”的个数可表示为．

(3)、【规律应用】
结合图案中“ $★$ ”的排列方式及上述规律，求正整数 $n$ ，使得连续的正整数之和 $1 + 2 + 3 + \dots \dots + n$ 等于第 $n$ 个图案中“ $◎$ ”的个数的 $2$ 倍．

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25. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 16 cm$ ， $B C = 6 cm$ ，动点P、Q分别以 $3 cm/s$ ， $2 cm/s$ 的速度从点A ， C同时出发，沿规定路线移动．

(1)、若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P ， Q两点之间的距离是 $10 cm$ ？

(2)、若点P沿着 $A B \to B C \to C D$ 移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间 $△ P B Q$ 的面积为 $12 {cm}^{2}$ ？

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26. 如图，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ， $B$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 1 ， 0)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(3 ， 0)$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、当 $a - 2 \leq x \leq a + 1$ 时，抛物线有最小值 $5$ ，求 $a$ 的值．

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