山东省聊城市重点中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试卷（9月）

试卷更新日期：2023-10-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列各组图形中，一定是相似图形的是（）

A、两个等腰梯形 B、两个矩形 C、两个直角三角形 D、两个等边三角形

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2. 如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，CD＝2，则AB的长是（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3. 如图，给出下列条件： $① ∠ B = ∠ A C D$ ； $② ∠ A D C = ∠ A C B$ ； $③ \frac{A C}{C D} = \frac{A B}{B C}$ ； $④ A C^{2} = A D \cdot A B$ ，其中不能判定 $△ A B C$ ∽ $△ A C D$ 的条件为（）

A、 $①$ B、 $②$ C、 $③$ D、 $④$

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4. 如图，矩形 $O A B C$ 与矩形 $O D E F$ 是位似图形，点 $P$ 是位似中心．若点 $B$ 的坐标为 $(2 ， 3)$ ，点 $E$ 的横坐标为 $- 1$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A、 $(- 2 ， 0)$ B、 $(0 ， - 2)$ C、 $(- \frac{3}{2} ， 0)$ D、 $(0 ， - \frac{3}{2})$

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5. 已知 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（　　）

A、60°＜A＜80° B、30°＜A＜80° C、10°＜A＜60° D、10°＜A＜30°

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6. 在 $△ A B C$ 中，若角 $A$ ， $B$ 满足 $| c o s A - \frac{\sqrt{3}}{2} | + (1 - t a n B)^{2} = 0$ ，则 $∠ C$ 的大小是（）

A、 $45 °$ B、 $60 °$ C、 $75 °$ D、 $105 °$

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7. 如图，在 $4 \times 4$ 网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若 $△ A B C$ 的顶点均是格点，则 $c o s ∠ B A C$ 的值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = 5$ ， $c o s B = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $s i n C = \frac{3}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、 $14$ B、 $12$ C、 $\frac{21}{2}$ D、 $21$

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9. 如图，在高为 $2 m$ ，坡角为 $30 °$ 的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为（）

A、 $4 m$ B、 $6 m$ C、 $4 \sqrt{2} m$ D、 $(2 + 2 \sqrt{3}) m$

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10. 如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，若坡面CD的长度为 $6 \sqrt{2}$ 米，则斜坡AB的长度为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $6 \sqrt{5}$ D、24

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11. 如图，在 $△ A B C$ 中， $C H ⊥ A B$ ， $C H = h$ ， $A B = c$ ，若内接正方形 $D E F G$ 的边长是 $x$ ，则 $h$ 、 $c$ 、 $x$ 的数量关系为（）

A、 $x^{2} + h^{2} = c ²$ B、 $\frac{1}{2} x + h = c$ C、 $h^{2} = x c$ D、 $\frac{1}{x} = \frac{1}{h} + \frac{1}{c}$

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12. 在平面直角坐标系中，正方形 $A B C D$ 的位置如图所示，点 $A$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点 $D$ 的坐标为 $(0 ， 2)$ ，延长 $C B$ 交 $x$ 轴于点 $A_{1}$ ，作正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} C$ ；延长 $C_{1} B_{1}$ 交 $x$ 轴于点 $A_{2}$ ，作正方形 $A_{2} B_{2} C_{2} C_{1}$ ； $\dots$ ；按这样的规律进行下去，正方形 $A_{2023} B_{2023} C_{2023} C_{2022}$ 的面积为（）

A、 $5 \times (\frac{3}{2})^{2023}$ B、 $5 \times (\frac{9}{4})^{2022}$ C、 $5 \times (\frac{9}{4})^{4044}$ D、 $5 \times (\frac{3}{2})^{4046}$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

13. 如图，把一张矩形纸片平均分成 $3$ 个矩形，若每个小矩形都与原矩形相似，则原矩形纸片的宽与长之比为．

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14.
若△ADE∽△ACB，且 $\frac{A D}{A C}$ = $\frac{2}{3}$ ， DE=10，则BC=　．

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15. 一个多边形的边长分别为 $2$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ ，另一个与它相似的多边形的最长边长为 $24$ ，则该多边形的最短边长为．

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16. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $E$ 在 $A B$ 上， $C E$ 、 $B D$ 交于 $F$ ，若 $A E$ ： $B E = 4$ ： $3$ ，则 $S_{△ B E F}$ ： $S_{△ D C F} =$ ．

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17. 如图，由边长为 $1$ 的小正方形组成的虚线网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 为格点 $($ 即小正方形的顶点 $)$ ， $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $P$ ，则 $P C$ 的长为．

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18. 已知 $α$ 为锐角，且 $s i n (α - 10 °) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $α$ 等于度．

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19. 如图，在边长相同的小正方形网格中，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都在这些小正方形的顶点上， $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $P$ ，则 $t a n ∠ A P D$ 的值为．

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20. 如图，海上有一灯塔 $P$ ，位于小岛 $A$ 北偏东 $60 °$ 方向上，一艘轮船从小岛 $A$ 出发，由西向东航行 $24 n m i l e$ 到达 $B$ 处，这时测得灯塔 $P$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 $P$ 的正南方，此时轮船与灯塔 $P$ 的距离是 $n m i l e . ($ 结果保留一位小数， $\sqrt{3}$ 约等于 $1.73)$

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三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21. 如图，在网格图中 $($ 小正方形的边长为 $1)$ ， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上．
⑴把 $△ A B C$ 沿着 $x$ 轴向右平移 $6$ 个单位得到 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；
⑵请以坐标系的原点 $O$ 点为位似中心在第一象限内画出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使得 $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 的位似比为 $1$ ： $2$ ；
⑶请直接写出 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 三个顶点的坐标．

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22. 如图， $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 的 $C D$ 边上的一点，连结 $B E$ 并延长交 $A D$ 的延长线于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ A B F$ ∽ $△ C E B$ ；

(2)、若 $D E = 2$ ， $C E = 3$ ， $△ D E F$ 的面积为 $1$ ，求平行四边形 $A B C D$ 的面积．

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23. 已知 $△ A B C$ ，延长 $B C$ 到 $D$ ，使 $C D = B C .$ 取 $A B$ 的中点 $F$ ，连接 $F D$ 交 $A C$ 于点 $E$ ．

(1)、求 $\frac{A E}{A C}$ 的值；

(2)、若 $A B = 18$ ， $F B = E C$ ，求 $A C$ 的长．

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24. 如图，小明为了测量小河对岸大树 $B C$ 的高度，他在点 $A$ 测得大树顶端 $B$ 的仰角是 $45 °$ ，沿斜坡走 $\frac{3}{2} \sqrt{5}$ 米到达斜坡上点 $D$ ，在此处测得树顶端点 $B$ 的仰角为 $31 °$ ，且斜坡 $A F$ 的坡比为 $1$ ： $2 ($ 参考数据： $s i n 31 ° \approx 0.52$ ， $c o s 31 ° \approx 0.86$ ， $t a n 31 ° \approx 0.60)$ ．

(1)、求小明从点 $A$ 走到点 $D$ 的过程中，他上升的高度；

(2)、大树 $B C$ 的高度约为多少米？

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25. 为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方航行，在 $A$ 处测得灯塔 $P$ 在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达 $B$ 处，此时测得灯塔 $P$ 在北偏东30°方向上．

(1)、求 $∠ A P B$ 的度数；

(2)、已知在灯塔 $P$ 的周围20海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？

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