河北省石家庄市辛集市2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-10-18 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $\sqrt{12 - n}$ 是一个正整数，则n的最小正整数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2. 下列计算正确的是（）

A、 $\sqrt{27} + \sqrt{3} = \sqrt{30}$ B、 $\sqrt{27} - \sqrt{3} = 2 \sqrt{6}$ C、 $\sqrt{27} \times \sqrt{3} = 9$ D、 $\sqrt{27} \div \sqrt{3} = 9$

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3. 下列说法不正确的是（）

A、正方形面积公式 $S = a^{2}$ 中有两个变量： $S$ ， $a$ B、圆的面积公式 $S = π r^{2}$ 中的 $π$ 是常量 C、在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D、如果 $a = b$ ，那么 $a$ ， $b$ 都是常量

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4. 五名同学捐款数分别是 $5$ ， $3$ ， $6$ ， $5$ ， $10 ($ 单位：元 $)$ ，捐 $10$ 元的同学后来又追加了 $10$ 元，追加后的 $5$ 个数据与之前的 $5$ 个数据相比，下列判断正确的是（）

A、只有平均数相同 B、只有中位数相同 C、只有众数相同 D、中位数和众数都相同

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5. 在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（）

A、∠B＝50°，∠C＝40° B、∠A=2∠B=3∠C C、a＝4，b＝ $\sqrt{41}$ ， c＝5 D、a：b：c＝1： $\sqrt{2}$ ： $\sqrt{3}$

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6. 在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（）

A、①：对角线相等 B、②：对角互补 C、③：一组邻边相等 D、④：有一个角是直角

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7. 初中三年学习生涯，让懵懂青涩的少年逐渐成长为奋发向上的青年．比较九 $(1)$ 班 $50$ 名同学三年前后的年龄数据，在平均数、众数、中位数和方差四个统计量中，大小没有发生变化的统计量是（）

A、平均数 B、众数 C、中位数 D、方差

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8. 容积为 $1500$ 升的蓄水池装有一个进水管和一个出水管，单位时间内进、出水量都一定，单开进水管 $30$ 分钟可把空池注满，单开出水管 $20$ 分钟可把满池的水放尽．现水池内有水 $250$ 升，先打开进水管 $10$ 分钟后，再两管同时开放，直至把池中的水放完．这一过程中蓄水池中的蓄水量 $y ($ 升 $)$ 随时间 $x ($ 分 $)$ 变化的图象是（）

A、 B、 C、 D、

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9. 船航行的海岸附近有暗礁，为了使船不触上暗礁，可以在暗礁的两侧建立两座灯塔 $.$ 只要留心从船上到两个灯塔间的角度不超过一定的大小，就不用担心触礁 $.$ 如图所示的网格是正方形网格，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $P$ ， $M$ ， $N$ 是网格线交点，当船航行到点 $P$ 的位置时，此时与两个灯塔 $M$ ， $N$ 间的角度 $(∠ M P N$ 的大小 $)$ 一定无触礁危险 $.$ 那么，对于 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个位置，船处于____时，也一定无触礁危险 $.$ （）

A、位置 $A$ B、位置 $B$ C、位置 $C$ D、位置 $D$

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10. 如图，一根竹竿 $A B$ ，斜靠在竖直的墙上，点 $P$ 是 $A B$ 中点， $A' B'$ 表示竹竿 $A B$ 及在竹竿 $A B$ 滑动过程中的情况是（）

A、下滑时， $O P$ 的长度增大 B、上升时， $O P$ 的长度减小 C、只要滑动， $O P$ 端沿墙向下滑动过程中的某个位置，则 $O P$ 的长的长度就变化 D、无论怎样滑动， $O P$ 的长度不变

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11. 如图，直线l是一次函数 $y = k x + b$ 的图象，且直线l过点 $(- 2 ， 0)$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $k b > 0$ B、直线l过坐标为 $(1 ， 3 k)$ 的点 C、若点 $(- 6 ， m)$ ， $(- 8 ， n)$ 在直线 $l$ 上，则 $n > m$ D、 $- \frac{5}{2} k + b < 0$

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12. 如图， $▱$ ABCD中，AB=22cm，BC= $8 \sqrt{2}$ cm，∠A=45°，动点E从A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，动点F从点C出发，以1cm/s的速度沿着CD向D运动，当点E到达点B时，两个点同时停止．则EF的长为10cm时点E的运动时间是（）

A、6s B、6s或10s C、8s D、8s或12s

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13. 如图，在▱

A B C D

中，点

E

，

F

是对角线

A C

上的两个点，且

A E = C F

，连接

B E

，

D F .

求证：

B E / / D F

．

证法 $1$ ：如图，在▱ $A B C D$ 中， $A B = C D$ ， $A B / / C D$ ，

$∴ ∠ B A E = ∠ D C F$ ．

又 $∵ A E = C F$ ，

$∴ △ B A E$ ≌ $△ D C F$ ，

$∴ ∠ A E B = ∠ C F D$ ，

$∴ 180 ° - ∠ A E B = 180 ° - ∠ C F D$ ，

即 $∠ B E F = ∠ D F E$ ， $∴ B E / / D F$ ．

证法 $2$ ：如图，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O$ ，连接 $D E$ ， $B F$ ．

在▱ $A B C D$ 中， $O A = O C$ ， $O B = O D$ ．

又 $∵ A E = C F$ ，

$∴ O A - A E = O C - C F$ ，即 $O E = O F$ ．

$∴$ 四边形 $D E B F$ 是平行四边形，

$∴ B E / / D F$ ．

下列说法错误的是（）

A、证法

1

中证明三角形全等的直接依据是

S A S

B、证法

2

中用到了平行四边形的对角线互相平分 C、证法

1

和证法

2

都用到了平行四边形的判定 D、证法

1

和证法

2

都用到了平行四边形的性质

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14. 甲、乙两地相距 $300$ 千米，一辆货车和一辆轿车分别从甲地开往乙地 $($ 轿车的平均速度大于货车的平均速度 $)$ ，如图线段 $O A$ 和折线 $B C D$ 分别表示两车离甲地的距离 $y ($ 单位：千米 $)$ 与时间 $x ($ 单位：小时 $)$ 之间的函数关系 $.$ 则下列说法正确的是（）

A、两车同时到达乙地 B、轿车在行驶过程中的平均速度为 $100$ 千米 $/$ 小时 C、货车出发 $3.9$ 小时后，轿车追上货车 D、两车在前 $80$ 千米的速度相等

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15. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ C = 135 °$ ， $A D = 3$ ， $A B = \sqrt{2}$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $B C$ ， $C D$ 上的动点，连接 $A F$ ， $E F$ ， $M$ ， $N$ 分别是 $A F$ ， $E F$ 的中点，连接 $M N$ ，则 $M N$ 的最大值与最小值的差为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 2}{2}$

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16. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4 .$ 分别以 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 为边在 $A B$ 的同侧作正方形 $A B E F$ 、 $A C P Q$ 、 $B C M N$ ，四块阴影部分的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ 、 $S_{4} .$ 则 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + S_{4}$ 等于（）

A、 $16$ B、 $18$ C、 $20$ D、 $22$

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二、填空题（本大题共3小题，共10.0分）

17. 小红在一张菱形纸片中剪掉一个正方形，做成班刊刊头 $($ 如图所示 $) .$ 若菱形 $A B C D$ 的面积为 $120 c m^{2}$ ，正方形 $A E C F$ 的面积为 $50 c m^{2}$ ，则这张菱形纸片的边长为 $c m$ ．

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18. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的点 $A$ 和点 $C$ 分别落在 $x$ 轴和 $y$ 轴上， $A O = 4$ ， $C O = 2$ ，直线 $y = x + 1$ 以每秒 $1$ 个单位长度向下移动，经过秒该直线可将矩形 $O A B C$ 的面积平分．

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19. 已知 $a$ ， $b$ 都是实数， $m$ 为整数，若 $a + b = 2 m$ ，则称 $a$ 与 $b$ 是关于 $m$ 的一组“平衡数”．
① $\sqrt{2}$ 与是关于 $1$ 的“平衡数”；
② $3 - \sqrt{2}$ 与是关于 $3$ 的平衡数；
③ 若 $a = 4 + \sqrt{3}$ ， $b = \sqrt{3} - 4$ ，判断 $a^{2}$ 与 $b^{2}$ $($ 是或否 $)$ 为关于某数的一组“平衡数”．

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三、解答题（本大题共6小题，共57.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20. 某校给全体学生推送了“天天跳绳

A P P

”用来督促学生进行体育锻炼，为了检查学生体育锻炼的效果，从全年级随机抽取了若干名学生进行一分钟跳绳的次数调查统计，一分钟跳绳次数记作

x

，并绘制了如下的统计表：

组别	“跳绳次数“ $x /$ 次	频率	组内学生的平均“跳绳次数” $/$ 次
$A$	$100 \leq x < 120$	$10 %$	$110$
$B$	$120 \leq x < 140$	$35 %$	$130$
$C$	$140 \leq x < 160$	$30 %$	$150$
$D$	$160 \leq x < 180$	$25 %$	$170$

通过体育老师了解到成绩位于 $C$ 等级的学生成绩为： $140$ 、 $141$ 、 $141$ 、 $142$ 、 $145$ 、 $148$ 、 $150$ 、 $153$ 、 $155$ 、 $156$ 、 $157$ 、 $159$ ；

请根据以上信息回答下列问题：

(1)、本次抽样调查的学生一共有人；调查的学生“跳绳次数”的中位数是；

(2)、求该校学生一分钟跳绳次数的平均数；

(3)、该校共有学生

1600

人，若规定一分钟跳绳次数

x \geq 140

时为优秀

.

请你估计该校学生一分钟跳绳次数达到优秀的人数．

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21. 材料阅读：给定三个正整数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若它们满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则称 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 这三个数为“勾股数” $.$ 例如：
$① 3^{2} = 9$ ， $4^{2} = 16$ ， $5^{2} = 25$ ； $∵ 9 + 16 = 25$ ，即 $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ ， $∴ 3$ 、 $4$ 、 $5$ 这三个数为勾股数．
$② 5^{2} = 25$ ， $1 2^{2} = 144$ ， $1 3^{2} = 196$ ； $∵ 25 + 144 + 169$ ，即 $5^{2} + 1 2^{2} = 1 3^{2}$ ， $∴ 5$ 、 $12$ 、 $13$ 这三个数为勾股数．
若三角形的三条边 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 满足勾股数，即 $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，则这个三角形为直角三角形，且 $a$ 、 $b$ 分别为直角的两条邻边 $. ($ 如题图所示 $)$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、试判断 $8$ 、 $15$ 、 $17$ 是否为勾股数；

(2)、若某三角形的三边长分别为 $7$ 、 $24$ 、 $25$ ，求其面积；

(3)、已知某直角三角形的两边长为 $6$ 和 $8$ ，求其周长．

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22. 如图是 $4$ 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 $1$ 和 $2$ ，每个台阶凸出的角的顶点记作 $T_{m} (m$ 为 $1 ～ 4$ 的整数 $) .$ 已知点 $P (- 2 ， 0)$ ，直线 $l$ ： $y = k x + b$ 经过点 $P$ ．

(1)、若直线 $l$ 过点 $T_{1}$ ，求直线 $l$ 的解析式；

(2)、试推算出 $k$ 和 $b$ 的数量关系；

(3)、若直线 $l$ 使得 $T_{m} (m$ 为 $1 ～ 4$ 的整数 $)$ 这些点分布在它的两侧，每侧各 $2$ 个点，求 $k$ 的取值范围．

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23. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．

(1)、求证：四边形ADFE是矩形；

(2)、连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．

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24. 足球世界杯期间，某商店购进 $A$ 、 $B$ 两种品牌的足球进行销售 $.$ 每个 $A$ 品牌足球的销售利润为 $60$ 元、每个 $B$ 品牌足球的销售利润为 $40$ 元．

(1)、商店计划购进两种品牌足球共 $100$ 个，设购进 $A$ 品牌足球 $x$ 个，两种足球全部销售完共获利 $y$ 元．
$①$ 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式； $($ 不必写 $x$ 的取值范围 $)$
$②$ 若购进 $A$ 品牌足球的个数不少于 $60$ 个，且不超过 $B$ 品牌足球个数的 $4$ 倍，求最大利润为多少；

(2)、在 $(1)$ 的条件下，该商店对 $A$ 品牌足球以每个优惠 $a (15 < a < 25)$ 元的价格进“双十二”促销活动， $B$ 品牌售价不变，且全部足球售完后最大利润为 $4240$ 元，求出 $a$ 的值．

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25. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A$ 、点 $B$ 分别在 $x$ 轴与 $y$ 轴上，直线 $A B$ 的解析式为 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ ，以线段 $A B$ 、 $B C$ 为边作平行四边形 $A B C D$ ．

(1)、如图 $1$ ，若点 $C$ 的坐标为 $(3 ， 7)$ ，判断四边形 $A B C D$ 的形状，并说明理由；

(2)、如图 $2$ ，在 $(1)$ 的条件下， $P$ 为 $C D$ 边上的动点，点 $C$ 关于直线 $B P$ 的对称点是 $Q$ ，连接 $P Q$ ， $B Q$ ．
$①$ 当 $∠ C B P =$ ▲ $°$ 时，点 $Q$ 位于线段 $A D$ 的垂直平分线上；
$②$ 连接 $A Q$ ， $D Q$ ，设 $C P = x$ ，设 $P Q$ 的延长线交 $A D$ 边于点 $E$ ，当 $∠ A Q D = 90 °$ 时，求证： $Q E = D E$ ，并求出此时 $x$ 的值．

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