河北省石家庄市长安区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-10-18 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共16小题，共42.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如图， $△ B C E$ 的一个外角是（）

A、 $∠ A$ B、 $∠ A C E$ C、 $∠ A E C$ D、 $∠ B C D$

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2. 若 $a^{3} \cdot a^{□} = a^{7}$ ，则 $□$ 表示的数是（）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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3. 将不等式 $- 4 x > 2$ 的两边同时除以 $- 4$ ，得（）

A、 $x > - 2$ B、 $x < - 2$ C、 $x < - \frac{1}{2}$ D、 $x > - \frac{1}{2}$

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4. 下列线段能构成三角形的是（）

A、 $12 c m$ ， $7 c m$ ， $5 c m$ B、 $6 c m$ ， $7 c m$ ， $14 c m$ C、 $9 c m$ ， $11 c m$ ， $5 c m$ D、 $4 c m$ ， $10 c m$ ， $6 c m$

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5. 如图，将 $△ A B C$ 沿射线 $A B$ 平移得到 $△ D E F$ ，下列线段的长度能表示平移距离的是（）

A、 $A B$ B、 $B E$ C、 $B D$ D、 $A E$

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6. 将 $0.00005$ 用科学记数法表示成 $a \times 1 0^{n}$ 的形式，下列说法正确的是（）

A、 $a$ ， $n$ 都是负整数 B、 $a$ ， $n$ 都是正整数 C、 $a$ 是负整数， $n$ 是正整数 D、 $a$ 是正整数， $n$ 是负整数

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7. 如图，将一个直角三角形纸片的直角顶点放在直线 $l$ 上的点 $O$ 处，固定直线 $l$ ，当纸片绕着点 $O$ 在直线 $l$ 上方旋转时， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 的度数会发生改变，则 $∠ 1$ 与 $∠ 2$ （）

A、是对顶角 B、互为余角 C、互为邻补角 D、互为补角

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8. 下面是计算 $(a^{2})^{3} \cdot a^{5}$ 的过程：
解： $(a^{2})^{3} \cdot a^{5} = a^{6} \cdot a^{5} (①)$
$= a^{11} . (②)$
步骤 $①$ 、 $②$ 分别是（）

A、合并同类项，同底数幂的乘法 B、幂的乘方，同底数幂的乘法 C、幂的乘方，积的乘方 D、积的乘方，合并同类项

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9. 下列图形中， $∠ 1 = ∠ 2$ 一定成立的是（）

A、 B、 C、 D、

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10. 解关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程组 ${\begin{array}{l} 3 x + a y = 4 ① \\ 2 x - b y = - 3 ② \end{array}$ ，由 $① - ②$ 可直接消去未知数 $y$ ，则 $a$ 和 $b$ 满足的条件是（）

A、 $a = b$ B、 $a b = 1$ C、 $a + b = 1$ D、 $a + b = 0$

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11. 在对多项式 $2 x^{3} - 8 x$ 因式分解的过程中，没有用到的方法有（）

A、提公因式 $x$ B、平方差公式 C、完全平方公式 D、提公因式 $2$

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12. 将直角三角板 $A B C$ 按如图所示的方式摆放，其中 $m / / n$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，若 $∠ α = 42 °$ ，则 $∠ β =$ （）

A、 $48 °$ B、 $30 °$ C、 $60 °$ D、 $42 °$

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13. 某超市花费 $1140$ 元购进苹果 $100$ 千克，销售中有 $5 %$ 的正常损耗，为避免亏本 $($ 其它费用不考虑 $)$ ，售价至少定为多少元 $/$ 千克？设售价为 $x$ 元 $/$ 千克，根据题意所列不等式正确的是（）

A、 $100 (1 - 5 %) x \geq 1140$ B、 $100 (1 + 5 %) x \geq 1140$ C、 $100 (1 + 5 %) x \leq 1140$ D、 $100 (1 - 5 %) x \leq 1140$

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14. 定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．

已知：如图，直线 $m$ ， $n$ 被直线 $l$ 所截， $∠ 1 = ∠ 2$ ．

对 $m / / n$ 说明理由．

方法 $1$ ：

如图， $∵ ∠ 1 = ∠ 2 = 62 ° ($ 量角器测量所得 $)$ ，

$∠ 1 = ∠ 3 = 62 ° ($ 对顶角相等 $)$ ，

$∴ ∠ 2 = ∠ 3 ($ 角的度数相等 $)$ ．

$∴ m / / n ($ 同位角相等，两直线平行 $)$ ．

方法 $2$ ：

如图， $∵ ∠ 1 = ∠ 2 ($ 已知 $)$ ，

$∠ 1 = ∠ 3 ($ 对顶角相等 $)$ ，

$∴ ∠ 2 = ∠ 3 ($ 等量代换 $)$ ，

$∴ m / / n ($ 同位角相等，两直线平行 $)$ ．

下列说法正确的是（）

A、方法

1

只要测量够

100

组内错角进行验证，就能说明该定理的正确性 B、方法

1

用特殊到一般的数学方法说明了该定理的正确性 C、方法

2

用严谨的推理说明了该定理的正确性 D、方法

2

还需说明其他位置的内错角，对该定理的说明才完整

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15. 小羽制作了如图所示的卡片 $A$ 类， $B$ 类， $C$ 类各 $50$ 张，其中 $A$ ， $B$ 两类卡片都是正方形， $C$ 类卡片是长方形，现要拼一个长为 $(5 a + 7 b)$ ，宽为 $(7 a + b)$ 的大长方形，那么所准备的 $C$ 类卡片的张数（）

A、够用，剩余 $4$ 张 B、够用，剩余 $5$ 张 C、不够用，还缺 $4$ 张 D、不够用，还缺 $5$ 张

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16. 如图，点 $B$ 是射线 $A M$ 上一点，且 $∠ A = 40 °$ ，下列结论：
结论Ⅰ：若 $△ A B C$ 是直角三角形，则有 $∠ C = 90 °$ ．
结论Ⅱ：当 $△ A B C$ 是钝角三角形时，则有 $90 ° < ∠ C < 180 °$ ．
下列说法正确的是（）

A、结论Ⅰ和结论Ⅱ都正确 B、结论Ⅰ和结论Ⅱ都不正确 C、只有结论Ⅰ正确 D、只有结论Ⅱ正确

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二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17. 因式分解： $1 - 4 m + 4 m^{2} =$ ．

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18. 如图， $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $D P ⊥ A C$ 于点 $P$ ， $D Q ⊥ B C$ 于点 $Q .$ 已知： $A C = 8 c m$ ， $B C = 10 c m$ ， $D Q = 3 c m$ ，则 $D P =$ $c m$ ．

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19. 按如图的运算程序进行运算，当运算到“判断结果是否大于 $29$ ”为一次运算．
（1）当 $x = 6$ 时，输出的数值是；
（2）若该程序只运行了 $2$ 次运算就停止了，则 $x$ 的取值范围为．

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20. 在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的 $2$ 倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形” $.$ 例如：在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 70 °$ ， $∠ B = 35 °$ ，则 $∠ A$ 与 $∠ B$ 互为“开心角”， $△ A B C$ 为“开心三角形”．
（1）若 $△ A B C$ 为开心三角形， $∠ A = 132 °$ ，则这个三角形中最小的内角为 $°$ ；
（2）若 $△ A B C$ 为开心三角形， $∠ A = 60 °$ ，则这个三角形中最小的内角为 $° .$

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三、解答题（本大题共5小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． ${\begin{array}{l} x + 4 > 0 ① \\ 2 (x - 1) + 3 \geq 3 x ② \end{array}$ ．

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22.
把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由．

如图，已知 $∠ B + ∠ B C D = 180 °$ ， $∠ B = ∠ D$ ．

试说明： $∠ E = ∠ D F E$ ．

解： $∵ ∠ B + ∠ B C D = 180 ° ($ 已知 $)$ ，

      $∴ A B / / C D ($ $) .$

      $∴ ∠ B = ∠ D C E ($ $) .$

又 $∵ ∠ B = ∠ D ($ 已知 $)$ ，

      $∴ ∠ D C E =$ ▲ ．

      $∴ A D / / B E ($ $) .$

      $∴ ∠ E = ∠ D F E ($ $) .$

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23. 已知x，y满足方程组 ${\begin{array}{l} x - y = - 2 ① \\ 2 x + y = - 1 ② \end{array}$ 求代数式 $(x - y)^{2} - (x - 2 y) (x + 2 y)$ 的值．

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24. 合肥市琥珀中学计划组织七年级师生举行“春季研学游”活动，活动组织负责人从旅游公司了解到如下租车信息：
车型
     $A$
     $B$
载客量 $($ 人 $/$ 辆 $)$
     $50$
     $30$
租金 $($ 元 $/$ 辆 $)$
     $400$
     $280$
校方从实际情况出发，决定租用 $A$ ， $B$ 型客车共 $10$ 辆，且两种车型都要租用 $.$ 租车费用不超过 $3500$ 元．

(1)、请问校方最多租用 $A$ 型客车多少辆？

(2)、在（1）的条件下，校方根据自愿原则，统计发现共有 $360$ 人参加本次活动，请问合理的租车方案有哪几种？最省钱的租车方式是哪一种？

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25.
如图 $1$ ， $∠ P A Q = 50 °$ ， $A E$ 平分 $∠ P A Q$ ，点 $B$ ， $C$ ， $D$ 分别是射线 $A Q$ ， $A P$ ， $A E$ 上的点 $($ 都不与点 $A$ 重合 $)$ ， $B C$ 交 $A E$ 于点 $G .$ 设 $∠ A B C = α °$ ．

(1)、如图 $1$ ，当 $B D / / A P$ 时，
$①$ 求 $∠ A D B$ 的度数；
$②$ 若 $∠ D B G = ∠ B G D$ ，求 $α$ 的值．

(2)、如图 $2$ ，若 $D B ⊥ A Q$ ，是否存在 $α$ 的值，使得 $△ G D B$ 中有两个角相等 $.$ 若存在，直接写出 $α$ 的值；若不存在，说明理由．

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车型	$A$	$B$
载客量 $($ 人 $/$ 辆 $)$	$50$	$30$
租金 $($ 元 $/$ 辆 $)$	$400$	$280$