山东省青岛市2023年中考数学真题

试卷更新日期：2023-10-18 类型：中考真卷

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一、单选题

1. 生活中有许多对称美的图形，下列是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. $\frac{1}{7}$ 的相反数是（）

A、 $7$ B、 $- 7$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $- \frac{1}{7}$

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3. 一个正方体截去四分之一，得到如图所示的几何体，其左视图是（　　）

A、 B、 C、 D、

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4. 中欧班列是共建“一带一路”的旗舰项目和明星品牌，是亚欧各国深化务实合作的重要载体．中欧班列“青岛号”自胶州开往哈萨克斯坦，全程7900公里．将7900用科学记数法表示为（　　）

A、 $0.79 \times 1 0^{3}$ B、 $7.9 \times 1 0^{2}$ C、 $7.9 \times 1 0^{3}$ D、 $79 \times 1 0^{2}$

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5. 如图，将线段 $A B$ 先向左平移，使点B与原点O重合，再将所得线段绕原点旋转 $180 °$ 得到线段 $A^{'} B^{'}$ ，则点A的对应点 $A^{'}$ 的坐标是（　　）

A、 $(2 ， - 3)$ B、 $(- 2 ， 3)$ C、 $(3 ， - 2)$ D、 $(- 3 ， 2)$

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6. 如图，直线 $a ∥ b$ ， $∠ 1 = 63 °$ ， $∠ B = 45 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（　　）

A、 $105 °$ B、 $108 °$ C、 $117 °$ D、 $135 °$

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7. 下列计算正确的是（　　）

A、 $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ C、 $\sqrt{2} \times \sqrt{3} = \sqrt{6}$ D、 $\sqrt{12} \div 3 = 2$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接四边形， $∠ B = 58 °$ ， $∠ A C D = 40 °$ ．若 $⊙ O$ 的半径为5，则 $\overset{⌢}{D C}$ 的长为（　　）

A、 $\frac{13}{3} π$ B、 $\frac{10}{9} π$ C、 $π$ D、 $\frac{1}{2} π$

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9. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，点E ， F分别是 $A B$ ， $C D$ 的中点， $A F$ ， $D E$ 相交于点M ， G为 $B C$ 上一点，N为 $E G$ 的中点．若 $B G = 3$ ， $C G = 1$ ，则线段 $M N$ 的长度为（　　）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{\sqrt{17}}{2}$ C、2 D、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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10. 一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）

A、31 B、32 C、33 D、34

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二、填空题

11. 计算： $8 x^{3} y \div {(2 x)}^{2} =$ ．

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12. 小颖参加“歌唱祖国”歌咏比赛，六位评委对小颖的打分（单位：分）如下：7，8，7，9，8， $10$ ．这六个分数的极差是分．

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13. 反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象经过点 $A (m ， \frac{m}{8})$ ，则反比例函数的表达式为．

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14. 某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为．

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15. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 0)$ ， $P (- 1 ， 0)$ ， $⊙ P$ 过原点O ，且与x轴交于另一点D ， $A B$ 为 $⊙ P$ 的切线， $B$ 为切点， $B C$ 是 $⊙ P$ 的直径，则 $∠ B C D$ 的度数为°.

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16. 如图，二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象与正比例函数 $y = k x$ 的图象相交于A ， B两点，已知点A的横坐标为 $- 3$ ，点B的横坐标为2，二次函数图象的对称轴是直线 $x = - 1$ ．下列结论：① $a b c < 0$ ；② $3 b + 2 c > 0$ ；③关于x的方程 $a x^{2} + b x + c = k x$ 的两根为 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 2$ ；④ $k = \frac{1}{2} a$ ．其中正确的是．（只填写序号）

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三、解答题

17. 用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
已知： $△ A B C$ ．
求作：点P ，使 $P A = P C$ ，且点P在 $△ A B C$ 边 $A B$ 的高上．

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18. 解不等式组或计算

(1)、 ${\begin{array}{l} \frac{x + 2}{5} < 1 ① \\ 3 x - 1 \geq 2 x ② \end{array}$ ；

(2)、 $(m - \frac{1}{m}) \cdot \frac{m^{2} - m}{m^{2} - 2 m + 1}$ ．

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19. 今年4月 $15$ 日是我国第八个“全民国家安全教育日”．为增强学生国家安全意识，夯实国家安全教育基础、某市举行国家安全知识竞赛．竞赛结束后，发现所有参赛学生的成绩（满分 $100$ 分）均不低于 $60$ 分．小明将自己所在班级学生的成绩（用x表示）分为四组：A组（ $60 \leq x < 70$ ），B组（ $70 \leq x < 80$ ），C组（ $80 \leq x < 90$ ），D组（ $90 \leq x \leq 100$ ），绘制了如图不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、补全频数分布直方图；

(2)、扇形统计图中A组所对应的圆心角的度数为 $°$ ；

(3)、把每组中各个同学的成绩用这组数据的中间值（如A组： $60 \leq x < 70$ 的中间值为 $65$ ）来代替，试估计小明班级的平均成绩；

(4)、小明根据本班成绩，估计全市参加竞赛的所有 $8000$ 名学生中会有 $800$ 名学生成绩低于 $70$ 分，实际只有 $446$ 名学生的成绩低于 $70$ 分．请你分析小明估计不准确的原因．

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20. 为了解我国的数学文化，小明和小红从《九章算术》《孙子算经》《海岛算经》(依次用A、B、C表示)三本书中随机抽取一本进行阅读，小明先随机抽取一本，小红再从剩下的两本中随机抽取一本．请用列表或画树状图的方法表示所有可能出现的结果．并求抽取两本书中有《九章算术》的概率．

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21. 太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB，点O是 $A B$ 的中点， $O C$ 是灯杆．地面上三点D ， E与C在一条直线上， $D E = 1.5 m$ ， $E C = 5 m$ ．该校学生在D处测得电池板边缘点B的仰角为 $37 °$ ，在E处测得电池板边缘点B的仰角为 $45 °$ ．此时点A、B与E在一条直线上．求太阳能电池板宽 $A B$ 的长度．（结果精确到 $0.1 m$ ．参考数据： $s i n 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $c o s 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $t a n 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）

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22. 如图①，正方形 $A B C D$ 的面积为1．

(1)、如图②，延长 $A B$ 到 $A_{1}$ ，使 $A_{1} B = B A$ ，延长 $B C$ 到 $B_{1}$ ，使 $B_{1} C = C B$ ，则四边形 $A A_{1} B_{1} D$ 的面积为；

(2)、如图③，延长 $A B$ 到 $A_{2}$ ，使 $A_{2} B = 2 B A$ ，延长 $B C$ 到 $B_{2}$ ，使 $B_{2} C = 2 C B$ ，则四边形 $A A_{2} B_{2} D$ 的面积为；

(3)、延长 $A B$ 到 $A_{n}$ ，使 $A_{n} B = n B A$ ，延长 $B C$ 到 $B_{n}$ ，使 $B_{n} C = n C B$ ，则四边形 $A A_{n} B_{n} D$ 的面积为．

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23. 某服装店经销A，B两种T恤衫，进价和售价如下表所示：

进价（元/件）
45
60
售价（元/件）
66
90

(1)、第一次进货时，服装店用6000元购进A，B两种T恤衫共120件，全部售完获利多少元？

(2)、受市场因素影响，第二次进货时，A种T恤衫进价每件上涨了5元，B种T恤衫进价每件上涨了10元，但两种T恤衫的售价不变．服装店计划购进A，B两种T恤衫共150件，且B种T恤衫的购进量不超过A种T恤衫购进量的2倍．设此次购进A种T恤衫m件，两种T恤衫全部售完可获利W元．
①请求出W与m的函数关系式；
②服装店第二次获利能否超过第一次获利？请说明理由．

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24. 如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ B A D$ 的平分线交 $B C$ 于点E， $∠ D C B$ 的平分线交 $A D$ 于点F，点G，H分别是 $A E$ 和 $C F$ 的中点．

(1)、求证： $△ A B E ≌ △ C D F$ ；

(2)、连接 $E F$ ．若 $E F = A F$ ，请判断四边形 $G E H F$ 的形状，并证明你的结论．

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25. 许多数学问题源于生活．雨伞是生活中的常用物品，我们用数学的眼光观察撑开后的雨伞（如图①）、可以发现数学研究的对象——抛物线．在如图②所示的直角坐标系中，伞柄在y轴上，坐标原点O为伞骨 $O A$ ， $O B$ 的交点．点C为抛物线的顶点，点A，B在抛物线上， $O A$ ， $O B$ 关于y轴对称． $O C = 1$ 分米，点A到x轴的距离是 $0.6$ 分米，A，B两点之间的距离是4分米．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、分别延长 $A O$ ， $B O$ 交抛物线于点F，E，求E，F两点之间的距离；

(3)、以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 $S_{1}$ ，将抛物线向右平移 $m (m > 0)$ 个单位，得到一条新抛物线，以新抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为 $S_{2}$ ．若 $S_{2} = \frac{3}{5} S_{1}$ ，求m的值．

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26. 如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C ， B D$ 相交于点O， $A B = 10 c m$ ， $B D = 4 \sqrt{5} c m$ ．动点P从点A出发，沿 $A B$ 方向匀速运动，速度为 $1 c m / s$ ；同时，动点Q从点A出发，沿 $A D$ 方向匀速运动，速度为 $2 c m / s$ ．以 $A P ， A Q$ 为邻边的平行四边形 $A P M Q$ 的边 $P M$ 与 $A C$ 交于点E．设运动时间为 $t (s) (0 < t \leq 5)$ ，解答下列问题：

(1)、当点M在 $B D$ 上时，求t的值；

(2)、连接 $B E$ ．设 $△ P E B$ 的面积为 $S (c m^{2})$ ，求S与t的函数关系式和S的最大值；

(3)、是否存在某一时刻t，使点B在 $∠ P E C$ 的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

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进价（元/件）	45	60
售价（元/件）	66	90