吉林省长春市108中2023-2024学年九年级上学期第一次月考数学试卷

试卷更新日期：2023-10-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 二次根式 $\sqrt{x - 5}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x > 5$ B、 $x < 5$ C、 $x \leq 5$ D、 $x \geq 5$

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2. 下列二次根式中与 $\sqrt{2}$ 是同类二次根式的是（）

A、 $\sqrt{4}$ B、 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{8}$ D、 $\sqrt{10}$

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3. 用配方法解方程 $x^{2} - 4 x - 8 = 0$ 下列配方正确的是（）

A、 $(x + 2)^{2} = 8$ B、 $(x - 2)^{2} = 12$ C、 $(x + 2)^{2} = 12$ D、 $(x - 2)^{2} = 8$

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4. 二道区为发展教育事业，加强了对教育经费的投入， $2021$ 年投入 $3000$ 万元，预计 $2023$ 年投入 $5000$ 万元 $.$ 设教育经费的年平均增长率为 $x$ ，根据题意，下面所列方程正确的是（）

A、 $3000 (1 + x^{2}) = 5000$ B、 $3000 x^{2} = 5000$ C、 $3000 (1 + x)^{2} = 5000$ D、 $3000 (1 + x %)^{2} = 5000$

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5. 如图，直线 $a / / b / / c$ ，直线 $A C$ 分别交 $a$ ， $b$ ， $c$ 于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，直线 $D F$ 分别交 $a$ ， $b$ ， $c$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F .$ 若 $D E = 2 E F$ ， $A B = 6$ ，则 $B C$ 的长为（）

A、 $2$ B、 $3$ C、 $4$ D、 $5$

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6. 如图，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，过点 $G$ 作 $D E / / B C$ ，分别交 $A B$ 、 $A C$ 于点 $D$ 、 $E$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 的周长之比为（）

A、 $2$ ： $3$ B、 $3$ ： $2$ C、 $4$ ： $9$ D、 $9$ ： $4$

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7. 西周时期，丞相周公且设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表 $.$ 如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱 $A C$ 高为 $a .$ 已知，冬至时北京的正午日光入射角 $∠ A B C$ 约为 $26.5 °$ ，则立柱根部与圭表的冬至线的距离 $($ 即 $B C$ 的长 $)$ 约为（）

A、 $a s i n 26.5 °$ B、 $\frac{a}{c o s 26 . 5^{∘}}$ C、 $a c o s 265 °$ D、 $\frac{a}{t a n 26 . 5^{∘}}$

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8. 已知 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{24}{x} (x > 0)$ 图象上一点，点 $B$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ， $A$ 是 $y$ 轴正半轴上一点，且 $A P ⊥ B P$ ， $A P$ ： $B P = 2$ ： $3$ ，那么点 $A$ 的纵坐标为（）

A、 $\frac{22}{3}$ B、 $\frac{24}{5}$ C、 $6$ D、 $7$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 计算： $\sqrt{12} - \sqrt{3}$ =

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10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 4 x + 1 = - 2 k$ 有两个不相等的实数根，则 $k$ 的取值范围为．

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11. 如图，河坝横断面迎水坡 $A B$ 的坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ ，坝高 $B C = 3 m$ ，则 $A B$ 的长度为．

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12. 如图，在 $5 \times 4$ 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是 $1$ ， $△ A B C$ 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 $s i n ∠ A B C$ 的值为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角 $△ A' B' C$ 是等腰直角 $△ A B C$ 以原点 $O$ 为位似中心的位似图形，且位似比为 $2$ ： $1$ ，点 $A (2 ， 0)$ ， $B (2 ， 4)$ ， $C$ 在 $A' B'$ ，则 $C'$ 点坐标为．

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14. 如图，点 $E$ 在矩形 $A B C D$ 的 $A B$ 边上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折，点 $A$ 恰好落在 $B C$ 边上的点 $F$ 处，若 $C D = 3 B F$ ， $B E = 3$ ，则 $A D$ 的长为．

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三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 解方程： $x^{2} - 4 x - 1 = 0$ .

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16.
计算： $\sqrt{2} \times \sqrt{2} - 4 s i n 30 ° + (\frac{1}{2})^{- 1}$ ．

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17.
图 $①$ 、图 $②$ 均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $1$ ，每个小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点均在格点上 $.$ 只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹．

(1)、在图 $①$ 中的线段 $A C$ 上找一点 $D$ ，连接 $B D$ ，使 $S_{△ A B D} = S_{△ B C D}$ ．

(2)、在图 $②$ 中的线段 $A C$ 上找一点 $E$ ，连接 $B E$ ，使 $S_{△ A B E} = 3 S_{△ B C E}$ ．

(3)、在图 $③$ 中的线段 $A C$ 上找一点 $F$ ，连接 $B F$ ，使 $S_{△ A B F} = \frac{12}{5}$ ．

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18.
长泰大桥是长春市最高的双塔斜拉式高架桥，大桥属于双塔双索面混凝土特大斜拉桥桥型，图 $①$ 是大桥的实物图，图 $②$ 是大桥的示意图 $.$ 假设你站在桥上点 $A$ 处测得拉索 $A B$ 与水平桥面的夹角是 $39 °$ ，点 $A$ 处距离大桥立柱 $C D$ 底端 $D$ 的距离 $A D$ 为 $96$ 米，已知大桥立柱上 $B$ 点距立柱顶端 $C$ 点的距离 $B C$ 为 $5$ 米，求大桥立柱 $C D$ 的高 $. ($ 结果精确到 $1$ 米 $) [$ 参考数据： $s i n 39 ° \approx 0.63$ ， $c o s 39 ° ～ 0.78$ ， $t a n 39 ° \approx 0.81]$

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19.
如图， $E$ 是矩形 $A B C D$ 的边 $C B$ 上的一点， $A F ⊥ D E$ 于点 $F$ ， $A B = 6$ ， $A D = 4$ ， $C E = 1$ ．

(1)、求证： $△ A F D$ ∽ $△ D C E$ ．

(2)、计算点 $A$ 到直线 $D E$ 的距离为．

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20.
小林同学从家出发，步行到离家 $a$ 米的劳动公园散步，速度为 $50$ 米 $/$ 分钟； $6$ 分钟后哥哥也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园，哥哥到达公园后立即以原速原路返回家中，哥哥返回家中时，小林刚好到达公园，两人离家的距离 $y ($ 米 $)$ 与小林出发长的时间 $x ($ 分钟 $)$ 的函数关系如图所示．

(1)、求哥哥返回家的过程中 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

(2)、小林出发分钟与哥哥第二次相遇．

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21.
阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 $3 + 2 \sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$ 善于思考的小明进行了以下探索：设 $a + b \sqrt{2} = (m + n \sqrt{2})^{2}$ ， $($ 其中 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数 $)$ ，则有 $a + b \sqrt{2} = m^{2} + 2 n^{2} + 2 m n \sqrt{2}$ ， $∴ a = m^{2} + 2 n^{2}$ ， $b = 2 m n .$ 这样小明就找到了一种把类似 $a + b \sqrt{2}$ 的式子化为平方式的方法 $.$ 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)、当 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ 均为整数时，若 $a + b \sqrt{5} = (m + n \sqrt{5})^{2}$ ，用含 $m$ 、 $n$ 的式子分别表示 $a$ 、 $b$ ，得： $a =$ ， $b =$ ．

(2)、利用所探索的结论，找一组正整数 $a$ 、 $b$ 、 $m$ 、 $n$ ，填空： $+$ $\sqrt{5} = ($ $+$ $\sqrt{5})^{2}$ ．

(3)、若 $a + 6 \sqrt{5} = (m + n \sqrt{5})^{2}$ ，且 $a$ 、 $m$ 、 $n$ 均为正整数，求 $a$ 的值．

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22.
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 $77$ 页的部分内容．
猜想：如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 、 $E$ 分别是 $A B$ 与 $A C$ 的中点 $.$ 根据画出的图形，可以猜想： $D E / / B C$ ，且 $D E = \frac{1}{2} B C$ 对此，我们可以用演绎推理给出证明．

(1)、【定理证明】请根据教材内容，结合图 $①$ ，写出证明过程．

(2)、【定理应用】如图 $②$ ，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交 $A C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $A B$ 的中点，连接 $D E$ ，过点 $E$ 作 $E F / / B D$ 交 $C B$ 的延长线于点 $F .$ 求证：四边形 $D E F B$ 是平行四边形．

(3)、【拓展提升】如图 $③$ ， $△ A B C$ 中， $∠ B = 2 ∠ C$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $M$ 是 $B C$ 的中点， $A B = 10$ ，则 $M D =$ ．

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23.
如图 $①$ ，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $A C = 4$ ，点 $D$ 为边 $A B$ 的中点 $.$ 动点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿折线 $C B - B A$ 向终点 $A$ 运动，点 $P$ 在 $C B$ 边上以每秒 $3$ 个单位长度的速度运动，在 $B A$ 边上以每秒 $5$ 个单位长度的速度运动，在点 $P$ 运动的过程中，过点 $P$ 作 $C D$ 的平行线，过点 $D$ 作 $P C$ 的平行线，两条平行线相交于点 $E .$ 点 $P$ 不与点 $C$ 、点 $A$ 重合，设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．
.

(1)、CB= ．

(2)、用含 $t$ 的代数式直接表示 $P B$ 的长．

(3)、当四边形 $C P E D$ 是轴对称图形时，求出 $t$ 的值．

(4)、连接 $C E$ ，如图 $②$ ，当 $C E$ 将 $△ A B C$ 的面积分成 $1$ ： $2$ 两部分时，直接写出 $t$ 的值．

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