吉林省长春市八十九中2023-2024学年八年级上学期质检数学试卷（9月份）

试卷更新日期：2023-10-18 类型：月考试卷

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一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列四个实数中，最小的是（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $- 2$ C、 $2$ D、 $3$

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2. 下列各数中，无理数是（）

A、 $\sqrt{9}$ B、 $\sqrt[3]{- 8}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{5}{3}$

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3. 与数轴上的点一一对应的是（）

A、有理数 B、无理数 C、整数 D、实数

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4. 估计 $\sqrt{7} + 1$ 的值在（）

A、2和3之间 B、3和4之间 C、4和5之间 D、5和6之间

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5. $\sqrt{16}$ 的算术平方根是（）

A、 $4$ B、 $2$ C、 $\pm 4$ D、 $\pm 2$

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $x^{3} \div x^{2} = x$ B、 $x^{3} \cdot x^{2} = x^{6}$ C、 $x^{3} - x^{2} = x$ D、 $x^{3} + x^{2} = x^{5}$

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7. 若 $(y + 3) (y - 2) = y^{2} + m y + n$ ，则 $m$ 、 $n$ 的值分别为（）

A、 $5$ ； $6$ B、 $5$ ； $- 6$ C、 $1$ ； $6$ D、 $1$ ； $- 6$

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8. 已知 $a = 2^{55}$ ， $b = 3^{44}$ ， $c = 4^{33}$ ，则 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的大小关系是（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > b > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a < b < c$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9. 计算： $- \sqrt{36} =$ ， $\sqrt[3]{- 27} =$ ， $\sqrt{16} =$ ．

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10. 已知 $| a + 2 | + \sqrt{b - 6} = 0$ ，则 $a + b =$ ．

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11. $\sqrt{2} - 1$ 的相反数是， $| \sqrt{2} - \sqrt{3} | =$ ， $\sqrt[3]{(- 8)^{3}} =$ ．

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12. 已知 $2^{n} = a$ ， $3^{n} = b$ ，则 $6^{n} =$ ．

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13. 已知 $x^{2} - y^{2} = 8$ ，且 $x + y = 4$ ，则 $x - y =$ ．

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14. 已知 $x^{2} - (m - 1) x + 16$ 是一个完全平方式，则 $m$ 的值等于．

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三、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 计算：

(1)、 $3 x (2 x^{3} - x^{2} + 6 x)$ ；

(2)、 $m^{2} \cdot m \cdot (m^{2})^{3}$ ；

(3)、（x-2）（2x+3）；

(4)、 $(- 2) \times \sqrt{(- 4)^{2}} - \sqrt{9}$ ．

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16. 用简便方法计算：

(1)、 $498 \times 502$ ；

(2)、 $202 2^{2} - 2023 \times 2021$ ．

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17. 先化简，再求值： $4 (x + 1)^{2} - 4 (x - 1) (x + 1) + (1 - x)^{2}$ ，其中 $x = - 2$ ．

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18. 已知 $a + 3$ 与 $3 a - 15$ 是一个正数的两个平方根，求 $a$ 的值和这个正数．

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19. 如果有理数 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 在数轴上的位置如图所示，根据图回答下列问题：

(1)、比较大小： $a - 1$ $0$ ； $b + 1$ $0$ ； $c + 1$ $0$ ；

(2)、化简 $- | a - 1 | + | b + 1 | + | c + 1 |$ ．

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20. 已知 $a^{m} = 2$ ， $a^{n} = 3$ ，求 $① a^{m + n}$ 的值； $② a^{3 m - 2 n}$ 的值；

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21. 已知：a+b=3，ab=2，求a²+b²的值．

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22. 某学生化简 $a (a + 1) - (a - 2)^{2}$ 出现了错误，解答过程如下：
解：原式 $= a^{2} + a - (a^{2} - 4 a + 4) ($ 第一步 $)$
$= a^{2} + a - a^{2} - 4 a + 4 ($ 第二步 $)$
$= - 3 a + 4 ($ 第三步 $)$

(1)、该学生解答过程是从第步开始出错，其错误原因是；

(2)、请你帮助他写出正确的简化过程．

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23. $($ 新定义 $)$ 探究应用：用“ $\cup^{}$ ”“ $\cap^{}$ ”定义两种新运算：对于两个数 $a$ ， $b$ ，规定 $a \cup^{} b = 1 0^{a} \times 1 0^{b}$ ， $a \cap^{} b = 1 0^{a} \div 1 0^{b} .$ 例如： $3 \cup^{} 2 = 1 0^{3} \times 1 0^{2} = 1 0^{5}$ ； $3 \cap^{} 2 = 1 0^{3} \div 1 0^{2} = 10$ ．

(1)、求 $(1040 \cup^{} 983)$ 的值；

(2)、求 $(2023 \cap^{} 2021$ 的值 $)$ ；

(3)、当 $x$ 为何值时， $(x \cup^{} 5)$ 的值与 $(23 \cap^{} 17)$ 的值相等．

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24. 为创建文明校园环境，高校长制作了“节约用水”“讲文明，讲卫生”等宣传标语，标语由如图 $①$ 所示的板材裁剪而成，其为一个长为 $2 m$ ，宽为 $2 n$ 的长方形板材，将长方形板材沿图中虚线剪成四个形状和大小完全相同的小长方形标语，在粘贴过程中，同学们发现标语可以拼成图 $②$ 所示的一个大正方形．

(1)、用两种不同方法表示图 $②$ 中小正方形 $($ 阴影部分 $)$ 面积：
方法一： $S_{小正方形} =$ ；
方法二： $S_{小正方形} =$ ；

(2)、 $(m + n)^{2}$ ， $(m - n)^{2}$ ， $4 m n$ 这三个代数式之间的等量关系为；

(3)、根据 $(2)$ 题中的等量关系，解决如下问题：
$①$ 已知： $a - b = 5$ ， $a b = - 6$ ，求： $(a + b)^{2}$ 的值；
$②$ 已知： $a - \frac{1}{a} = 1$ ，求： $(a + \frac{1}{a})^{2}$ 的值．

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