2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷6

试卷更新日期：2023-10-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 若 $A (6 ， - 1 ， 4)$ ， $B (1 ， - 2 ， 1)$ ， $C (4 ， 2 ， 3)$ ，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、不等边锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形

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2. 如图，直线 $l$ 的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{3 π}{4}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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3. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 y + 3 = 0$ ，则圆C的圆心和半径为（）

A、圆心 $(0 ， 2)$ ，半径 $r = 1$ B、圆心 $(2 ， 0)$ ，半径 $r = 1$ C、圆心 $(0 ， 2)$ ，半径 $r = 2$ D、圆心 $(2 ， 0)$ ，半径 $r = 2$

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4. 直线 $y = 2 x - 1$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 4 = 0$ 交于A，B两点，则 $| A B | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{5}$ C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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5. 如图，在一个 $6 0^{∘}$ 的二面角的棱上有两个点 $A$ ， $B$ ， $A C$ ， $B D$ 在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱 $A B$ ，且 $A B = A C = a$ ， $B D = 2 a$ ，则 $C D$ 的长为（）

A、 $2 a$ B、 $\sqrt{5} a$ C、 $a$ D、 $\sqrt{3} a$

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6. 直线 $l$ 的方程为 $3 x - y - 6 = 0$ ，则（）

A、 $l$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$ B、 $l$ 在 $y$ 轴上的截距为6 C、 $l$ 的截距式为 $\frac{x}{2} - \frac{y}{6} = 0$ D、 $l$ 的倾斜角为锐角

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7. 已知点 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右两焦点，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与双曲线的左右两支分别交于 $P ， Q$ 两点，若 $△ P Q F_{2}$ 是以 $∠ P Q F_{2}$ 为顶角的等腰三角形，其中 $∠ P Q F_{2} \in [\frac{π}{3} ， π)$ ，则双曲线离心率 $e$ 的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{7} ， 3)$ B、 $[1 ， \sqrt{7})$ C、 $[\sqrt{5} ， 3)$ D、 $[\sqrt{5} ， \sqrt{7})$

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8. 已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点， $\vec{M O} = 3 \vec{O F}$ ，经过M的直线 $l$ 与C的一个交点为N，若△MNF是正三角形，则C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2} - 1$ B、 $2 - \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3} - 1$ D、 $2 - \sqrt{3}$

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9. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 4 y$ ，焦点为F，准线为l，过F的直线交C于A，B两点，过B作l的垂线交l于点D，若 $△ B D F$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{| A F |}{| B F |} =$ （）

A、3 B、 $\frac{1}{3}$ C、2 D、 $\frac{1}{2}$

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二、多项选择题

10. 在三维空间中，定义向量的外积： $\vec{a} \times \vec{b}$ 叫做向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：① $\vec{a} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ ， $\vec{b} ⊥ (\vec{a} \times \vec{b})$ ，且 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 和 $\vec{a} \times \vec{b}$ 构成右手系（即三个向量的方向依次与右手的拇指、食指、中指的指向一致，如图所示）：② $\vec{a} \times \vec{b}$ 的模 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin 〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ （ $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉$ 表示向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角）在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，有以下四个结论，正确的有（）

A、 $| \vec{A B_{1}} \times \vec{A C} | = | \vec{A D_{1}} \times \vec{D B} |$ B、 $\vec{A B} \times \vec{A D} = \vec{A D} \times \vec{A B}$ C、 $\vec{A_{1} C_{1}} \times \vec{A_{1} D} 与 \vec{B D_{1}}$ 共线 D、 $6 | \vec{B C} \times \vec{A C} |$ 与正方体表面积的数值相等

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11. 下列说法不正确的是（）

A、直线 $x - y - 2 = 0$ 与两坐标轴围成的三角形面积是2 B、若三条直线 $x + y = 0$ ， $x - y = 0$ ， $x + a y \equiv 3 - a$ 能构成三角形，则 $a$ 的取值范围是 ${a | a \neq - 1$ 且 $a \neq 1}$ C、任意一条过点 $P (1 ， 2)$ 的直线方程可表示为 $y - 2 = k (x - 1)$ D、经过点 $(1 ， 2)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$

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12. 已知两圆为 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 4$ 与 $C_{2} ： (x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，则（）

A、若两圆外切，则 $r = 2$ B、若两圆有3条公切线，则 $r = 3$ C、若两圆公共弦所在直线方程为 $8 x - 6 y - 13 = 0$ ，则 $r = 4$ D、 $P$ 为圆 $C_{1}$ 上任一点， $Q$ 为圆 $C_{2}$ 上任一点，若 $| P Q |$ 的最大值为 $12$ ，则 $r = 5$

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13. 若椭圆的焦点为 $F_{1} (- c ， 0)$ ， $F_{2} (c ， 0)$ （ $c > 0$ ），长轴长为 $2 a$ ，则椭圆上的点 $(x ， y)$ 满足（）

A、 $\sqrt{{(x + c)}^{2} + y^{2}} + \sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = 2 a$ B、 $\frac{y^{2}}{x^{2} - a^{2}} = \frac{c^{2}}{a^{2}} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}}}{| \frac{a^{2}}{c} - x |} = \frac{c}{a}$ D、 $\sqrt{{(x - c)}^{2} + y^{2}} = a - \frac{c}{a} x$

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三、填空题

14. 若 $\vec{A B} = (1 ， 4 ， - 2)$ ，则 $| \vec{A B} | =$ ．

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15. 直线 $l_{1} ： 3 x - 4 y - 5 = 0$ ，直线 $l_{2} ： 3 x - 4 y + 4 = 0$ ，则 $l_{1} ， l_{2}$ 之间的距离是．

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16. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2} = 1 (a > 0)$ 的一条渐近线方程为 $x + 2 y = 0$ ，则 $a =$ ．

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17. 平面直角坐标系中，已知点 $A (- 1 ， - 1)$ ， $B (0 ， 3)$ ， $P (1 ， a)$ ， $N (1 ， a + 1)$ ，当四边形 $P A B N$ 的周长最小时， $△ A P N$ 的外接圆的方程为．

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四、解答题

18. “十三五”期间，依靠不断增强的综合国力和自主创新能力，我国桥梁设计建设水平不断提升，创造了多项世界第一，为经济社会发展发挥了重要作用，下图是我国的一座抛物线拱形拉索大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为64米，拱形最高点与桥面的距离为32米．

(1)、求该桥抛物线拱形部分对应抛物线的焦准距（焦点到准线的距离）．

(2)、已知直线 $m$ 是抛物线的对称轴， $Q$ 为直线 $m$ 与水面的交点， $P$ 为抛物线上一点， $O ， F$ 分别为抛物线的顶点和焦点．若 $P F ⊥ m$ ， $P O ⊥ P Q$ ，求桥面与水面的距离．

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19. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，且线段 $A B$ 的中点坐标为 $(\frac{1}{4} ， \frac{1}{5})$ ，求直线 $l$ 的方程.

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20. 已知圆 $C ： (x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ ，直线 $l ： (m + 1) x + (2 m + 1) y = 5 m + 3$ ．

(1)、判断并证明直线l与圆C的位置关系；

(2)、设直线l与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为 $1 ： 2$ ，求直线l的方程．

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21. 如图，在四边形ABCD中（如图1）， $∠ B A C = ∠ B C D = 90 °$ ， $A B = A C$ ， $B C = C D$ ， $E$ ， F分别是边BD，CD上的点，将 $△ A B C$ 沿BC翻折，将 $△ D E F$ 沿EF翻折，使得点 $D$ 与点 $A$ 重合（记为点 $P$ ），且平面 $P B C ⊥$ 平面BCFE（如图2）

(1)、求证： $C F ⊥ P B$ ；

(2)、求二面角 $P - E F - B$ 的余弦值．

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22. 已知直线l： $2 x - y + 4 = 0$ 与x轴的交点为A，圆O： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 经过点A．

(1)、求r的值；

(2)、若点B为圆O上一点，且直线 $A B$ 垂直于直线l，求弦长 $| A B |$ ．

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