四川省成都市蓉城名校联盟2023-2024学年高三上册数学（文科）入学联考试卷

试卷更新日期：2023-10-17 类型：开学考试

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一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只

1. 若复数z满足 $z = 3 + \sqrt{3} i$ ，则|z|＝（）

A、2 B、 $\sqrt{7}$ C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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2. 设集合U＝R，若集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|x≥0}，C_U（A∪B）＝（）

A、{x|x≥﹣1} B、{x|x≤﹣1} C、{x|x≤1} D、{x|x＜0或x≥1}

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3. 棱长为1的正方体的外接球的表面积为( )

A、 $π$ B、2 $π$ C、3 $π$ D、4 $π$

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4. 已知a＝ln0.9，b＝ $\sqrt{2}$ ， c＝2^﹣0.1 ，则（）

A、a＜c＜b B、a＜b＜c C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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5. 养殖户在某池塘随机捕捞了100条鲤鱼做好标记并放回池塘，几天后又随机捕捞了100条鲤鱼，发现有3条鲤鱼被标记，则该池塘大约有鱼（）

A、1000条 B、3000条 C、3333条 D、10000条

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6. 若函数f（x）＝（x+a）（2^x+2^﹣x）是定义域上的奇函数，则实数a的值为（）

A、0 B、﹣1 C、1 D、2

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7. 若直线y＝2x的倾斜角为θ，则sin2θ＝（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、1

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8. 过点 $p (0 ， \sqrt{3})$ 作圆x²﹣2x+y²＝2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB＝（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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9. 若函数f（x）＝ke^x﹣lnx在区间（1，e）上是增函数，则实数k的取值范围为（）

A、（0，+∞） B、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ C、（﹣∞，0] D、（﹣∞，﹣e]

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10. 庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①）（如图②），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB=CD=2EF=2BC=4，EA＝ED＝FB＝FC＝3，则五面体FE﹣ABCD的表面积为（）

A、48 B、 $32 \sqrt{5}$ C、 $16 + 16 \sqrt{5}$ D、 $32 + 16 \sqrt{5}$

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11. 若函数 $f (x) = 2 s i n (x - \frac{π}{3})$ ， x∈[m，n]的值域为[﹣1，2]则n﹣m的最小值为（）

A、 $\frac{4 π}{3}$ B、π C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{3}$

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12. 已知△ABC的顶点在抛物线y²＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|+|FB|+|FC|的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 若 $\vec{a} = (1 ， - \sqrt{2})$ ， $\vec{b} = (3 ， \sqrt{2})$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b})$ ＝．

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14. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{m} - y^{2} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，则m＝．

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15. 勒洛三角形是分别以等边△ABC的每个顶点为圆心，以边长为半径的三段内角所对圆弧围成的曲边三角形，由德国机械工程专家勒洛首先发现，如转子发动机，方孔钻机等．如图，现随机地在勒洛三角形内部取一点，则该点取自△ABC及其内部的概率为．

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16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $∠ A = \frac{π}{3}$ ， a=2，则△ABC面积的最大值为．

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三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17. 已知等比数列{a_n}的各项满足a_n+1＞a_n ，若a₂＝3，且3a₂ ， 2a₃ ， a₄成等差数列．

(1)、求{a_n}的通项公式；

(2)、求数列{a_n+n}的前n项和．

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18. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC＝3 $\sqrt{3}$ ， PA=AB= $\sqrt{3}$ AD= $\sqrt{3}$ ．

(1)、证明：BD⊥平面PAC；

(2)、求三棱锥C﹣PBD的体积．

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19. 近日，某市市民体育锻炼的热情空前高涨．某学生兴趣小组在8月9日随机抽取了该市100人，并对其当天体育锻炼时间进行了调查，锻炼时间不少于40分钟的人称为“运动达人”．

(1)、估算这100人当天体育锻炼时间的众数和平均数（每组中的数据用组中值代替）；

(2)、根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此判断是否有95%的把握认为“运动达人”与性别有关．

非“运动达人”
“运动达人”
合计
男性

15
45
女性

合计

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， n＝a+b+c+d，
临界值表：
p（K²≥k）
0.05
0.01
k
3.841
6.635

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20. 已知函数f（x）＝xe^x+1 ．

(1)、求f（x）过原点的切线方程；

(2)、证明：当a≤﹣2时，对任意的正实数x，都有不等式f（x）

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ ，且上顶点与右顶点的距离的 $\sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若过点P（3，0）的直线l交椭圆C于A，B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+∠PQB＝π，若存在，求出点Q的坐标，若不存在请说明理由．

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四、选考题：共10分。请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22. 在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 ${\begin{cases} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t + m \\ y = \frac{t}{2} \end{cases}$ （t为参数），以坐标原点O为极点，曲线C的极坐标方程为ρ²﹣ρ²cos2θ+3ρcosθ＝3．

(1)、求曲线C的直角坐标方程；

(2)、若l与C有公共点，求实数m的取值范围．

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23. 已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣m|．

(1)、当m＝2时，求不等式f（x）≤5的解集；

(2)、若f（x）＞﹣m，求实数m的取值范围．

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	非“运动达人”	“运动达人”	合计
男性		15	45
女性
合计

p（K²≥k）	0.05	0.01
k	3.841	6.635