广东省佛山市顺德区2023-2024学年高三上册数学8月月考试卷

试卷更新日期：2023-10-17 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知 $U = R ， A = {x ∣ - 1 < x < 3} ， B = {x ∣ x \leq 2}$ ，则 $∁_{U} (A \cup B) =$ （）

A、 $(- \infty ， - 1] ∪ (2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， - 1) \cup [2 ， + \infty)$ C、 $[3 ， + \infty)$ D、 $(3 ， + \infty)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(z + 2 i) (2 - i) = 5$ ，则 $z$ 的共轭复数 $\bar{z} =$ （）

A、 $2 - i$ B、 $2 + i$ C、 $- 2 + i$ D、 $- 2 - i$

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3. 若 ${(x + 2)}^{4} = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ ，则 $a_{4} - a_{3} + a_{2} - a_{1} + a_{0} =$ （）

A、1 B、-1 C、15 D、-15

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4. 已知曲线 $y = a x e^{x} + l n x$ 在点 $(1 ， a e)$ 处的切线方程为 $y = 3 x + b$ ，则（）

A、 $a = e ， b = - 2$ B、 $a = e ， b = 2$ C、 $a = e^{- 1} ， b = - 2$ D、 $a = e^{- 1} ， b = 2$

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5. 设公差不为零的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{4} = \frac{1}{2} a_{5}$ ，则 $\frac{S_{9}}{S_{4}} =$ （）

A、 $15$ B、 $1$ C、 $- 1$ D、 $- 9$

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6. 现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件 $A =$ “甲参加跳高比赛”，事件 $B =$ “乙参加跳高比赛”，事件 $C =$ “乙参加跳远比赛”，则（）

A、事件A与B相互独立 B、事件A与C为互斥事件 C、 $P (C | A) = \frac{5}{12}$ D、 $P (B | A) = \frac{1}{9}$

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7. 如图，已知OAB是半径为2km的扇形， $O A ⊥ O B$ ， C是弧AB上的动点，过点C作 $C H ⊥ O A$ ，垂足为H，某地区欲建一个风景区，该风景区由 $△ A O C$ 和矩形 $O D E H$ 组成，且 $O H = 2 O D$ ，则该风景区面积的最大值为（）

A、 $\frac{5}{2} k m^{2}$ B、 $\frac{11}{4} k m^{2}$ C、 $3 k m^{2}$ D、 $\frac{17}{8} k m^{2}$

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8. 符号 $[x]$ 表示不超过实数 $x$ 的最大整数，如 $[2.3] = 2 ， [- 1.9] = - 2$ .已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{2} = 5$ ， $a_{n + 2} + 4 a_{n} = 5 a_{n + 1}$ .若 $b_{n} = [l o g_{2} a_{n + 1}] ， S_{n}$ 为数列 ${\frac{8100}{b_{n} b_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和，则 $[S_{2025}] =$ （）

A、2023 B、2024 C、2025 D、2026

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二、多选题

9. 已知 $θ \in (0 ， π) ， s i n θ - c o s θ = \frac{1}{5}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $θ \in (\frac{π}{4} ， \frac{π}{2})$ B、 $t a n θ = \frac{4}{3}$ C、 $s i n 2 θ = \frac{24}{25}$ D、 $c o s 2 θ = \frac{24}{25}$

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10. 下列说法正确的是（）

A、残差图中若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高 B、在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数 C、数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为9 D、某校共有男女学生1500人，现按性别采用分层抽样的方法抽取容量为100人的样本，若样本中男生有55人，则该校女生人数是675人

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11. 已知函数 $f (x) = \sqrt{3} s i n ω x + c o s ω x (0 < ω < 3)$ 满足 $f (x + \frac{π}{2}) = - f (x)$ ，其图象向右平移 $s (s \in N^{*})$ 个单位后得到函数 $y = g (x)$ 的图象，且 $y = g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6} ， \frac{π}{6}]$ 上单调递减，则（）

A、 $ω = 1$ B、函数 $f (x)$ 的图象关于 $(\frac{5 π}{12} ， 0)$ 对称 C、 $s$ 可以等于5 D、 $s$ 的最小值为2

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12. 已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $(0 ， + ∞)$ ，其导函数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) + f^{'} (x) = x l n x$ ， $f (\frac{1}{e}) = - \frac{1}{e}$ ，则（）

A、 $f (\frac{1}{e}) \cdot e^{\frac{1}{e} - 1} > f (1)$ B、 $f (e) \cdot e^{e - 1} > f (1)$ C、 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是增函数 D、 $f (x)$ 存在最小值

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三、填空题

13. ${(3 x - \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}})}^{8}$ 的展开式中， $x^{- 2}$ 项的系数为.

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14. 已知长方形ABCD中，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为．

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15. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的底面边长为2，侧棱长为 $\sqrt{13}$ ，其内切球与两侧面 $P A B ， P B C$ 分别切于点 $M ， N$ ，则 $M N$ 的长度为.

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16. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的三边分别为 $a ， b ， c$ ， $b^{2} + c^{2} + \frac{1}{2} a^{2} = 30$ ， ①当 $a = 2 \sqrt{3}$ 时， $∠ B A C$ 的最大值为；② $△ A B C$ 面积的最大值为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $c s i n \frac{B + C}{2} = a s i n C$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 各项都不为0，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $3 a_{n} - 2 = S_{n}$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = - 1 ， b_{n + 1} = b_{n} + n$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $c_{n} = \frac{2 a_{n} b_{n}}{n + 1}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ .

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19. 如图，已知四棱锥 $P - A B C D$ 中， $C D ⊥$ 平面 $P A D ， △ P A D$ 为等边三角形， $A B$ $∥$ $C D ， 2 A B = C D$ ， $M$ 是 $P C$ 的中点.

(1)、求证： $B M ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若 $A B = A D = 2$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $B D M$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知 $△ A B C$ 的内角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ， $f (x) = 4 c o s x s i n (x - \frac{π}{6})$ 的最大值为 $f (A)$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若点 $D$ 在 $B C$ 上，满足 $B C = 3 D C$ ，且 $A D = \sqrt{7}$ ， $A B = \sqrt{3}$ ，求角C.

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21. 为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20分，第1个达到100分的比赛者获得第1名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20局，前2局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1局获得第1名的得3分，获得第2､3名的得2分，获得第4名的得1分；第2局获得第1名的得2分，获得第2､3､4名的得1分；后18局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1局四人赛中获得3分､2分､1分的概率分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{4}$ ，在第2局四人赛中获得2分､1分的概率分别为 $\frac{1}{4}$ ， $\frac{3}{4}$ .

(1)、设小明每天获得的得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2)、若小明每天赛完20局，设小明在每局四人赛中获得第1名从而赢得该局比赛的概率为 $\frac{1}{4}$ ，每局是否赢得比赛相互独立，请问在每天的20局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a x ， g (x) = l n (x + 2) - a$ ，其中 $e$ 为自然对数的底数， $a \in R$ .

(1)、当 $a > 0$ 时，函数 $f (x)$ 有极小值 $f (1)$ ，求 $a$ ；

(2)、证明： $f^{'} (x) > g (x)$ 恒成立；

(3)、证明： $l n 2 + {(l n \frac{3}{2})}^{2} + {(l n \frac{4}{3})}^{3} + \dots + {(l n \frac{n + 1}{n})}^{n} < \frac{e}{e - 1}$ .

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