河北省石家庄市新乐重点中学2023-2024学年高三上册数学开学试卷

试卷更新日期：2023-10-17 类型：开学考试

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一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. “ $\exists x_{0} \in (- 4 ， - 2)$ ，使得 $x_{0}^{2} + 3 x_{0} = 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} \in (- 4 ， - 2)$ ，使得 $x_{0}^{2} + 3 x_{0} \neq 0$ B、 $\exists x_{0} \notin (- 4 ， - 2)$ ，使得 $x_{0}^{2} + 3 x_{0} \neq 0$ C、 $\forall x \in (- 4 ， - 2)$ ， $x^{2} + 3 x \neq 0$ D、 $\forall x \notin (- 4 ， - 2)$ ， $x^{2} + 3 x \neq 0$

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2. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | l o g_{2} x < 1}$ ，则 $A \cap^{} (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${- 1 ， 0 ， 2}$ C、 ${2}$ D、 ${- 1 ， 0}$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，若 $a_{3} + a_{5} + a_{7} = 15$ ， $a_{8} - a_{2} = 12$ ，则 $a_{10}$ 等于（）

A、 $10$ B、 $12$ C、 $15$ D、 $18$

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4. “ $m < 0$ ”是“函数 $f (x) = m + \log_{2} x (x \geq 1)$ 存在零点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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5. $(1 + \frac{1}{x^{3}}) (1 + x)^{7}$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、 $42$ B、 $48$ C、 $84$ D、 $96$

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6. 在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = - 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ ，则 $a_{2016} =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $3$

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7. 若关于x的不等式 $x^{2} - (m + 3) x + 3 m < 0$ 的解集中恰有3个正整数，则实数m的取值范围为（）

A、 $5 < m \leq 6$ B、 $5 \leq m \leq 6$ C、 $6 < m \leq 7$ D、 $6 \leq m \leq 7$

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8. 设 $a = \frac{3 (3 - l n 3)}{e^{3}}$ ， $b = \frac{l n \sqrt{6}}{3}$ ， $c = \frac{l n 2}{2}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系是（）

A、 $b < a < c$ B、 $c < a < b$ C、 $a < b < c$ D、 $a < c < b$

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二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9. 命题“ $\forall x \in [1 ， 2]$ ， $x^{2} - a \leq 0$ ”是真命题的一个必要不充分条件是（）

A、 $a > 4$ B、 $a \geq 4$ C、 $a > 1$ D、 $a \geq 1$

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10. 下列不等式一定成立的有（）

A、 $x + \frac{2}{x} \geq 2 \sqrt{2}$ B、当 $x > 4$ 时， $\frac{x^{2} + 8}{x - 1} \geq 8$ C、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + 2 \sqrt{a b} \geq 4$ D、正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + 3 y = 5 x y$ ，则 $3 x + 4 y \geq 5$

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11. 从有大小和质地相同的3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则（）．

A、第一次摸到红球的概率为 $\frac{3}{5}$ B、第二次摸到红球的概率为 $\frac{3}{5}$ C、在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为 $\frac{4}{5}$ D、在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为 $\frac{2}{3}$

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12. 已知等差数列 ${a_{n}}$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{15} > 0 ， \frac{a_{9}}{a_{8}} < - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $| a_{9} | > a_{8}$ B、使 $S_{n} > 0$ 的 $n$ 的最大值为 $16$ C、公差 $d < 0$ D、当 $n = 8$ 时 $S_{n}$ 最大

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三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 对任意正整数 $n$ 都有 $a_{n} + a_{n + 2} = 2 a_{n + 1}$ ，且 $a_{2}$ ， $a_{6}$ 是方程 $x^{2} - 8 x - 5 = 0$ 的两个实根，则 $a_{1} + a_{4} + a_{7} =$ ．

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14. 记函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，且满足 $f (x) = 3 x f' (2) - 4 l n x$ ，则 $f' (2) =$ ．

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15. 已知甲箱内有4个白球2个黑球，乙箱内有3个白球2个黑球，先从甲箱中任取一球放入乙箱，然后从乙箱中任取一球，则事件“从乙箱中取得黑球”的概率为

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16. 若函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x$ 在 $(a ， 10 - a^{2})$ 上有最小值，则 $a$ 的取值范围为．

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四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知集合 $M = {x | - 3 < x < 4}$ ， $N = {x | - x^{2} - 2 x + 3 ⟩ 0}$ ， $P = {x | a < x < 2 a - 1}$ ．

(1)、求 $(∁_{R} M) \cup^{} N$ ；

(2)、若 $P \subseteq (M \cap^{} P)$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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18. 已知 $y = a x^{2} + (a - 1) x - 1 (a \in R)$ ．

(1)、若 $y \geq 0$ 的解集为 ${x | - 1 \leq x \leq - \frac{1}{2}}$ ，求关于 $x$ 的不等式 $\frac{a x + 3}{x - 1} < 0$ 的解集；

(2)、解关于 $x$ 的不等式 $a x^{2} + (a - 1) x - 1 \geq 0$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} = \frac{6 a_{n} - 4}{a_{n} + 2} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证：数列 ${\frac{1}{a_{n} - 2}}$ 是等差数列；

(2)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式．

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20. 已知三次函数 $f (x) = a x^{3} + b x - 3$ 在 $x = 1$ 处取得极值，且在 $(0 ， - 3)$ 点处的切线与直线 $3 x + y = 0$ 平行．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) + m x$ 在区间 $(1 ， 2)$ 上单调递增，求 $m$ 的取值范围．

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21. 某校为了解本校学生课间进行体育活动的情况，随机抽取了

60

名男生和

60

名女生，通过调查得到如下数据：

60

名女生中有

10

人课间经常进行体育活动，

60

名男生中有

20

人课间经常进行体育活动．

(1)、请补全

2 \times 2

列联表，试根据小概率值

α = 0.05

的独立性检验，判断性别与课间经常进行体育活动是否有关联

；

	课间不经常进行体育活动	课间经常进行体育活动	合计
男
女
合计

(2)、以样本的频率作为概率的值，在全校的学生中任取

4

人，记其中课间经常进行体育活动的人数为

X

，求

X

的分布列、数学期望和方差．

附表：

$α$	$0.1$	$0.05$	$0.01$	$0.005$	$0.001$
$x_{α}$	$2.706$	$3.841$	$6.635$	$7.879$	$10.828$

附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．

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22. 口袋中共有7个质地和大小均相同的小球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4个黑球全部取出时停止.

(1)、记总的抽取次数为X，求E（X）；

(2)、现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为Y，求E（Y）并从实际意义解释E（Y）与（1）中的E（X）的大小关系.

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