浙江省温州市乐清市重点中学2023-2024学年高二上册数学开学质量检测试卷

试卷更新日期：2023-10-17 类型：开学考试

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一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 已知集合 $A = {x ∣ - 1 \leq x \leq 10}$ ， $B = {x ∣ x > 1}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(1 ， 10]$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $[- 1 ， 10]$ D、 $[- 1 ， + \infty)$

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2. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P$ 的坐标满足方程 $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 4$ ，则点 $P$ 的轨迹经过（）

A、第一、二象限 B、第二、三象限 C、第三、四象限 D、第一、四象限

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3. 要得到余弦曲线 $y = c o s x$ ，只需将正弦曲线 $y = s i n x$ 向左平移（）

A、 $\frac{π}{2}$ 个单位 B、 $\frac{π}{3}$ 个单位 C、 $\frac{π}{4}$ 个单位 D、 $\frac{π}{6}$ 个单位

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4. 设直线 $l_{1} ： x + 2 a y - 5 = 0$ ， $l_{2} ： (3 a - 1) x - a y - 2 = 0$ ，则 $a = 1$ 是 $l_{1} ⊥ l_{2}$ 的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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5. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $C_{2} ： {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ ，则圆C₁与圆C₂的位置关系是（）

A、内含 B、外离 C、相交 D、相切

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6. 设 $a = 3^{0.8}$ ， $b = {(\frac{1}{3})}^{- 0.7}$ ， $c = \frac{1}{2} l o g_{2} 3$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、c＜b＜a B、c＜a＜b C、b＜a＜c D、b＜c＜a

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7. 在 $△ A B C$ 中，已知 $D$ 是 $A B$ 边上的中点， $G$ 是 $C D$ 的中点，若 $\vec{A G} = λ \vec{A B} + μ \vec{A C}$ ，则实数 $λ + μ =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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8. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，正方形 $A B C D$ 的中心为O ，棱 $C C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点分别为E ， F ，则下列选项中不正确的是（）

A、 $\vec{O E} \cdot \vec{B C} = \frac{1}{2}$ B、 $S_{△ F O E} = \frac{\sqrt{6}}{8}$ C、点F到直线 $O D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{4}$ D、异面直线 $O D_{1}$ 与 $E F$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{33}}{6}$

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二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）

9. 在空间中，设 $m ， n$ 为两条不同的直线， $α$ ， $β$ 为两个不同的平面，则下列正确的是（）

A、若 $m ⊥ β$ ， $m / / α$ ，则 $α ⊥ β$ B、若 $α ⊥ β$ ， $m / / α$ ，则 $m ⊥ β$ C、若 $α / / β$ ， $m \subset α$ ， $n \subset β$ ，则 $m / / n$ D、若 $α ⊥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$

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10. 下列说法正确的是（）

A、直线 $x s i n α - y + 1 = 0$ 的倾斜角的取值范围为 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$ B、“ $c = 5$ ”是“点 $(2 ， 1)$ 到直线 $3 x + 4 y + c = 0$ 距离为3”的充要条件 C、直线 $l ： λ x + y - 3 λ = 0 (λ \in R)$ 恒过定点 $(3 ， 0)$ D、直线 $l_{1} ： y = 2 x + 1$ 与直线 $l_{2} ： x + 2 y + 1 = 0$ 垂直，且 $l_{1}$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 5$ 相交

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11. 已知正数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $0 < \sqrt{a b} \leq \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{9}{b} \geq 20$ C、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} \leq \sqrt{2}$ D、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x} ， x \leq 0 \\ 2 f (x - 1) ， x > 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的方程 $f (x) = a$ 有两解，则实数 $a$ 的值可能为（）

A、 $a = \frac{1}{e}$ B、 $a = 1$ C、 $a = e$ D、 $a = 3$

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三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 若复数 $z = \frac{1 + 2 i}{1 - 3 i}$ ，则 $| z | =$ .

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14. 若两条直线 $l_{1} ： x + 2 y - 6 = 0$ 与 $l_{2} ： x + a y - 5 = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 间的距离是.

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15. 一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时称为“凹数”（如213，312等），若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是．

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16. 已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若球的体积为 $\frac{32 π}{3}$ ，这两个圆锥的体积之和为 $4 π$ ，则这两个圆锥中，体积较大者的高与体积较小者的高的比值为.

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四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知直线 $l_{1} ： 2 x - y + 6 = 0$ 和 $l_{2} ： x - y + 1 = 0$ 的交点为 $P$ ．

(1)、若直线 $l$ 经过点 $P$ 且与直线 $l_{3} ： 4 x - 3 y - 5 = 0$ 平行，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若直线 $m$ 经过点 $P$ 且与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线 $m$ 的方程．

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18. 为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组 $[45 ， 55)$ ，第二组 $[55 ， 65)$ ，第三组 $[65 ， 75)$ ，第四组 $[75 ， 85)$ ，第五组 $[85 ， 95)$ .已知图中第三组频率为 $0.45$ ，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求a ， b的值；

(2)、估算高分（大于等于80分）人数；

(3)、估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数.（中位数精确到0.1）

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19. 已知 $△ A B C$ 的内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ，且 $b (\sqrt{3} s i n A - c o s C) = (c - a) c o s B$ .

(1)、求角B大小；

(2)、若 $a = 5$ ， $c = 3$ ， $O$ 为 $△ A B C$ 的重心，求 $△ O A C$ 的面积.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是矩形， $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P D = D C = 1$ ， $M$ 为 $B C$ 的中点，且 $P B ⊥ A M$ ．

(1)、求 $B C$ ；

(2)、求二面角 $A - P M - B$ 的余弦值．

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21. 已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，点P是直线 $l ： x + y = 0$ 上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A ， B.

(1)、若P的坐标为 $P (- 1 ， 1)$ ，求过点P的切线方程；

(2)、直线 $x - y + m = 0$ 与圆C交于E ， F两点，求 $\vec{O E} \cdot \vec{O F}$ 的取值范围（O为坐标原点）.

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22. 已知函数 $f (x) = x | x - a | + x$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，判断函数 $y = f (x)$ 的奇偶性（不需要给出证明）；

(2)、若函数 $f (x)$ 在 $R$ 上是增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在实数 $a \in [- 2 ， 3]$ ，使得关于 $x$ 的方程 $f (x) - t f (a) = 0$ 有三个不相等的实数根，求实数 $t$ 的取值范围.

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