2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷5

试卷更新日期：2023-10-17 类型：期中考试

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一、选择题

1. 下列说法中正确的是（）

A、空间三点可以确定一个平面 B、若A ， B ， C ， D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 C、两组对边都相等的四边形是平面图形 D、梯形一定是平面图形

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2. 如图，在△ABC中， $∠ B A C = \frac{π}{3}$ ， $\vec{A D} = \frac{2}{3} \vec{A B}$ ， P为CD上一点，且满足 $\vec{A P} = m \vec{A C} + \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，若 $| \vec{A C} | = 2$ ， $| \vec{A B} | = 5$ ，则 $| \vec{A P} |$ 的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{31}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{13}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{31}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{13}}{4}$

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3. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 3 ， 2 ， 4)$ ， $\vec{b} = (1 ， - 2 ， 2)$ ，则 $| \vec{a} - \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{40}$ B、6 C、36 D、40

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4. 直线 $y = x + 1$ 的倾斜角为（）

A、0 B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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5. 已知点 $A (- 2 ， 0) ， B ， C$ 分别为直线 $y = m x ， y = n (m ， n \in R ， m n \neq 0)$ 上的动点，若 $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = 0$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A C}$ 的最小值为（）

A、 $n^{2}$ B、 $m n$ C、 $\frac{4 m^{2}}{m^{2} + 1}$ D、 $\frac{4 m n}{m n + 1}$

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6. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 6 x + 8 = 0$ ，若双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的一条渐近线与圆C相切，则 $m =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $2 \sqrt{2}$ D、8

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7. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，过原点的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点，若 $A F ⊥ B F$ ，且 $| A F | = 3 | B F |$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{3}$

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0) ， O$ 为坐标原点， $F_{1} ， F_{2}$ 为双曲线 $C$ 的两个焦点，点 $P$ 为双曲线上一点，若 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} | ， | O P | = b$ ，则双曲线 $C$ 的方程可以为（）

A、 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{y^{2}}{3} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{16} - \frac{x^{2}}{4} = 1$

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9. 直线 $x = 2$ 与抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于 $D$ 、 $E$ 两点，若 $\vec{O D} \cdot \vec{O E} = 0$ ，其中 $O$ 为坐标原点，则 $C$ 的准线方程为（）

A、 $x = - \frac{1}{4}$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $x = - 1$ D、 $x = - 2$

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二、多项选择题

10. 下列命题是真命题的有（）

A、A ， B ， M ， N是空间四点，若 $\vec{B A} ， \vec{B M} ， \vec{B N}$ 不能构成空间的一个基底，那么A ， B ， M ， N共面 B、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (\begin{array}{l} 1 ， - 1 ， 2 \end{array})$ ，直线m的方向向量为 $\vec{b} = (2 ， 1 ， - \frac{1}{2})$ ，则l与m垂直 C、直线l的方向向量为 $\vec{a} = (\begin{array}{l} 0 ， 1 ， - 1 \end{array})$ ，平面α的法向量为 $\vec{n} = (\begin{array}{l} 1 ， - 1 ， - 1 \end{array})$ ，则l⊥α D、平面α经过三点 $A (1 ， 0 ， - 1) ， B (0 ， 1 ， 0) ， C (- 1 ， 2 ， 0) ， \vec{n} = (1 ， u ， t)$ 是平面α的法向量，则 $u + t = 1$

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11. 设函数 $y = l o g_{a} (2 x - 1) + 2$ （ $a > 0$ ，且 $a \neq 1$ ）的图象过定点 $P$ ，若直线 $l$ 过点 $P$ ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线 $l$ 的方程可以是（）

A、 $x - y + 1 = 0$ B、 $x + y - 3 = 0$ C、 $2 x - y = 0$ D、 $x + y + 1 = 0$

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12. （多选）对于抛物线上 $\frac{1}{8} x^{2} = y$ ，下列描述正确的是（）

A、开口向上，焦点为 $(0 ， 2)$ B、开口向上，焦点为 $(0 ， \frac{1}{16})$ C、焦点到准线的距离为4 D、准线方程为 $y = - 4$

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13. 已知点P在圆O： $x^{2} + y^{2} = 4$ 上，直线 $l$ ： $4 x + 3 y - 12 = 0$ 分别与 $x$ 轴， $y$ 轴交于 $A ， B$ 两点，则（）

A、过点 $B$ 作圆O的切线，则切线长为 $2 \sqrt{3}$ B、满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ 的点 $P$ 有3个 C、点 $P$ 到直线 $l$ 距离的最大值为 $\frac{22}{5}$ D、 $| \vec{P A} + \vec{P B} |$ 的最小值是 $1$

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三、填空题

14. 已知向量 $\vec{m} = (2 ， 4 ， a)$ ， $\vec{n} = (- 1 ， b ， 3)$ ，若 $\vec{n} = λ \vec{m}$ ，则 $| \vec{n} - \vec{m} | =$ .

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15. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = 0$ 的半径为.

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16. “m＞n＞0”是”方程mx2+ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的条件．

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17. 圆心在原点且与直线 $x + y - 4 = 0$ 相切的圆的方程为.

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四、解答题

18. 已知双曲线 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的焦距为 $2 \sqrt{6}$ ，点 $P (2 ， - 1)$ 在双曲线 $E$ 上.

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程；

(2)、点 $A ， B$ 是双曲线 $E$ 上异于点 $P$ 的两点，直线 $P A ， P B$ 与 $y$ 轴分别相交于 $M ， N$ 两点，且 $\vec{O M} + \vec{O N} = 0$ ，求证：直线 $A B$ 过定点，并求出该定点坐标.

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19. 已知抛物线 $C_{1} ： x^{2} = y$ ，圆 $C_{2} ： x^{2} + (y - 4)^{2} = 1 ， P$ 是 $C_{1}$ 上异于原点的一点.

(1)、设 $Q$ 是 $C_{2}$ 上的一点，求 $| P Q |$ 的最小值；

(2)、过点 $P$ 作 $C_{2}$ 的两条切线分别交 $C_{1}$ 于 $A ， B$ 两点（异于 $P$ ）.若 $| P A | = | P B |$ ，求点 $P$ 的坐标.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ B C$ ， $A D ∥ B C$ ， $A D = 3$ ， $P A = B C = 2 A B = 2$ ， $P B = \sqrt{3}$ .

(1)、求证： $B C ⊥ P B$ ；

(2)、若点 $E$ 为棱 $P A$ 上不与端点重合的动点，且 $C E$ 与平面 $P A B$ 所成角正弦值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，求 $E$ 点到平面 $P C D$ 的距离.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 经过点 $A (2 ， 0)$ ，且离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、设直线 $y = x - 1$ 与椭圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的值．

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22. 如图，已知点 $A$ ， $B$ ， $C$ 是抛物线 $x^{2} = y$ 上的三个不同的点，且 $△ A B C$ 是以点 $B$ 为直角顶点的等腰直角三角形.

(1)、若直线 $B C$ 的斜率为1，求顶点 $B$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积的最小值.

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