2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高一（上）期中测试卷6

试卷更新日期：2023-10-17 类型：期中考试

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一、选择题

1. 设集合 $A = {0 ， - a}$ ， $B = {1 ， a - 2 ， 2 a - 2}$ ，若 $A ⊆ B$ ，则 $a =$ （）．

A、2 B、1 C、 $\frac{2}{3}$ D、 $- 1$

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2. 下列各组函数是同一函数的是（）

A、 $f (x) = x^{2}$ 与 $g (x) = (x + 1)^{2}$ B、 $f (x) = \sqrt{- x^{3}}$ 与 $g (x) = x \sqrt{- x}$ C、 $f (x) = \frac{x}{x} 与 g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ D、 $f (x) = \sqrt{x + 3} \cdot \sqrt{x - 3}$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2} - 9}$

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3. 集合 $A = {x \in N^{*} | \frac{6}{3 - x} \in Z}$ ，用列举法可以表示为（）

A、 ${1 ， 2 ， 4 ， 9}$ B、 ${1 ， 2 ， 4 ， 5 ， 6 ， 9}$ C、 ${- 6 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 3 ， 6}$ D、 ${- 6 ， - 3 ， - 2 ， - 1 ， 2 ， 3 ， 6}$

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4. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | x \leq - 2$ 或 $x \geq 3}$ ， $B = {x | x < - 1$ 或 $x > 4}$ ，则集合 $(∁_{U} A) \cap^{} B =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < 4}$ B、 ${x | - 2 < x < 3}$ C、 ${x | - 2 < x < - 1}$ D、 ${x | x < - 1$ 或 $x > 4}$

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5. 已知集合 $A = {x | x^{2} + x - 6 > 0}$ ， $B = {x | 0 < x < 6}$ ，则 $(∁_{R} A) \cap_{}^{} B =$ （）

A、 $[- 3$ ， $2]$ B、 $(0$ ， $2]$ C、 $[0$ ， $2)$ D、 $(- 2 ， 6)$

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6. 已知 $a ， b ， c \in R$ ，则下列说法中错误的是（）

A、 $\frac{a}{c} > \frac{b}{c} ， c < 0 \Rightarrow a < b$ B、 $a > b > c \Rightarrow \frac{1}{b - c} < \frac{1}{a - c}$ C、 $a > b ， a b > 0 \Rightarrow \frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、 $a > b \Rightarrow a c^{2} \geq b c^{2}$

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7. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $A (4 ， 2) ， B (1 ， m) ， C (s i n 1 ， n)$ ，则 $m$ 与 $n$ 的大小关系为（）

A、 $m > n$ B、 $m < n$ C、 $m = n$ D、不能确定

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8. 若函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} - 2 x - m + 1 ， x < 3 \\ m s i n x + 1 ， x \geq 3 \end{array}$ 的值域为 $[- 2 ， + \infty)$ ，则实数 $m$ 的可能值共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、多项选择题

9. 已知命题 $p$ ：关于x的不等式 $\frac{2}{x - 1} ≥ 0$ ，命题 $q$ ： $a < x < a + 1$ ，若 $p$ 是 $q$ 的必要非充分条件，则实数 $a$ 的取值可以为（）

A、 $a \geq 0$ B、 $a \geq 1$ C、 $a \geq 2$ D、 $a \geq 3$

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10. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + 2 b = 1$ ，则（）

A、 $2^{a} + 4^{b}$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ B、 $l o g_{2} a + l o g_{2} b$ 的最大值为 $- 3$ C、 $a^{2} + 4 b^{2}$ 的最小值为2 D、 $\frac{1}{a} + \frac{2 a}{b}$ 的最小值为5

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11. 已知函数f(x)= $\{\begin{cases} \ln x + 2^{x} ， x > 0 \\ \frac{2}{1 - x} ， x \leq 0 \end{cases}$ 则下列结论正确的是（）

A、f(x)在R上为增函数 B、f(e)>f(2) C、若f(x)在(a ， a+1)上单调递增，则a≤-1或a≥0 D、当x∈[-1，1]时，f(x)的值域为[1，2]

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12. 函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (\frac{1}{3})^{x} ， x ⩽ a \\ - x^{2} + 2 x + 1 ， x > a \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 0$ 时，函数 $f (x)$ 的单调增区间为 $(0 ， 1)$ B、不论 $a$ 为何值，函数 $f (x)$ 既没有最小值，也没有最大值 C、不论 $a$ 为何值，函数 $f (x)$ 的图象与 $x$ 轴都有交点 D、存在实数 $a$ ，使得函数 $f (x)$ 为 $R$ 上的减函数

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三、填空题

13. 命题“ $\forall x > 0$ ， $t a n x > x$ ”的否定为．

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14. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m}$ 满足 $f (2) < f (3)$ ，则 $m =$ .

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15. 若函数 $f (x) = a - \frac{2}{2^{x} + 1}$ 为奇函数，则 $a =$ ．

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16. 已知a＞0，b＞0，则p＝ $\frac{b^{2}}{a}$ ﹣a与q＝b﹣ $\frac{a^{2}}{b}$ 的大小关系是．

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四、解答题

17. 已知 $U = R$ ，且 $A = {x ∣ - 4 < x < 4} ， B = {x ∣ x \leq 1$ 或 $x \geq 3}$ ，求：

(1)、 $A \cap B$ ；

(2)、 $(C_{U} A) \cap B$ .

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18. 已知全集U＝R ，集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x|1＜2x＜16}．

(1)、求A∪B；

(2)、设集合D＝{x|a＜x＜a+3，a∈R}，若 $D \subseteq \bar{A}$ ，求实数a的取值范围．

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19.

(1)、已知正实数a ， b ， c满足 $a^{2} + b^{2} = 2 c^{2}$ ，求 $\frac{c}{a} + \frac{c}{b}$ 的最小值；

(2)、某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 200 x + 80000$ ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低?

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20. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} + m - 1) x^{m + 1}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上是减函数.

(1)、求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 ${(5 - a)}^{\frac{1}{m}} > {(2 a - 1)}^{\frac{1}{m}}$ ，求 $a$ 的取值范围.

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21. 设 $m ， n \in N^{*}$ ，已知由自然数组成的集合 $S = {a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}} (a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{n})$ ，集合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{m}$ 是S的互不相同的非空子集，定义 $n \times m$ 数表：
$χ = (\begin{array}{l} x_{11} & x_{12} & \cdot \cdot \cdot & x_{1 m} \\ x_{21} & x_{22} & \cdot \cdot \cdot & x_{2 m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ x_{n 1} & x_{n 2} & \cdot \cdot \cdot & x_{n m} \end{array})$ ，其中 $x_{i j} = {\begin{cases} 1 ， a_{i} \in S_{j} \\ 0 ， a_{i} \notin S_{j} \end{cases}$ ，

设 $d (a_{i}) = x_{i 1} + x_{i 2} + \cdot \cdot \cdot + x_{i m} (i = 1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n)$ ，令 $d (S)$ 是 $d (a_{1})$ ， $d (a_{2})$ ， …， $d (a_{n})$ 中的最大值．

(1)、若 $m = 3$ ， $S = {1 ， 2 ， 3}$ ，且 $χ = (\begin{array}{l} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{array})$ ，求 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 及 $d (S)$ ；

(2)、若 $S = {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ ，集合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{m}$ 中的元素个数均相同，若 $d (S) = 3$ ，求n的最小值；

(3)、若 $m = 7$ ， $S = {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， 7}$ ，集合 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， …， $S_{7}$ 中的元素个数均为3，且 $S_{i} ∩ S_{j} \neq \emptyset (1 \leq i < j \leq 7)$ ，求证： $d (S)$ 的最小值为3．

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22. 已知 $f (x) = \frac{x}{4 - x^{2}}$ 是定义在 $(- 2 ， 2)$ 上的函数．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性和单调性，并说明理由；

(2)、若 $f (1 + m) + f (1 - m^{2}) < 0$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

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