2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷4

试卷更新日期：2023-10-17 类型：期中考试

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一、选择题

1. 在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} + \vec{A B} + \vec{B C}$ 等于（）

A、 $\vec{O A}$ B、 $\vec{A B}$ C、 $\vec{O C}$ D、 $\vec{A C}$

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 1 ， 2) ， \vec{b} = (1 ， - 2 ， 1)$ ，则 $2 \vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(4 ， - 2 ， 4)$ B、 $(2 ， - 1 ， 2)$ C、 $(3 ， 0 ， 3)$ D、 $(1 ， - 2 ， 1)$

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3. 已知 $x^{2} + y^{2} + 2 k x - 4 y + k^{2} + k - 2 = 0$ 表示的曲线是圆，则 $k$ 的值为（）

A、 $(6 ， + \infty)$ B、 $[- 6 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， 6)$ D、 $(- \infty ， 6]$

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4. 已知空间中三点 $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $B (2 ， 1 ， - 1)$ ， $C (0 ， - 1 ， 2)$ ，那么点 $C$ 到直线 $A B$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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5. 过点 $(- \frac{\sqrt{3}}{3} ， 0)$ 且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线 $l$ 交圆 $x^{2} + y^{2} - 6 y = 0$ 于 $A ， B$ 两点，则弦 $A B$ 的长为（）

A、 $4 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $\sqrt{10}$

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6. 已知圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y - 2 = 0$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 2 m x = 0 (m > 0)$ 的公共弦长为2，则m的值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\sqrt{6}$ D、3

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7. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，以 $F_{2}$ 为圆心的圆与 $x$ 轴交于 $F_{1}$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴正半轴交于点 $A$ ，线段 $A F_{1}$ 与 $C$ 交于点 $M$ .若 $| B M |$ 与 $C$ 的焦距的比值为 $\frac{\sqrt{31}}{3}$ ，则 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{7} - 1}{2}$

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8. 已知抛物线 $C$ ： $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P (x_{0} ， 1) (x_{0} > 0)$ 在抛物线 $C$ 上，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ，若 $| P O | = | P Q | (O$ 为坐标原点 $)$ ，则 $x_{0} =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $3$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4$

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二、多项选择题

9. 已知直线l： $x - m y + m - 1 ＝ 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、直线l的斜率可以等于0 B、若直线l与y轴的夹角为 $3 0^{∘}$ ，则 $m = \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、若直线的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，则直线l的方程为 $x - 2 y + 1 ＝ 0$ D、若直线l在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，则 $m = 1$ 或-2

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10. 给出下列命题，其中正确的命题是（）

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$ ，则 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩$ 是钝角 B、若 $\vec{O P} = \frac{1}{7} \vec{O A} + \frac{2}{7} \vec{O B} + \frac{4}{7} \vec{O C}$ ，则 $P$ ， A， $B$ ， $C$ 一定共面 C、过点 $P (1 ， 2)$ 且在 $x ， y$ 轴截距相等的直线方程为 $x + y - 3 = 0$ D、直线 $x s i n α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0 ， \frac{π}{4}] ∪ [\frac{3 π}{4} ， π)$

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11. 关于圆C： $x^{2} + y^{2} - k x + 2 y + \frac{1}{4} k^{2} - k + 1 = 0$ ，下列说法正确的是（）

A、k的取值范围是 $k > 0$ B、若 $k = 4$ ，过 $M (3 ， 4)$ 的直线与圆C相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，其方程为 $12 x - 5 y - 16 = 0$ C、若 $k = 4$ ，圆C圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相交 D、若 $k = 4$ ， $m > 0 ， n > 0$ ，直线 $m x - n y - 1 = 0$ 恒过圆C的圆心，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n} ≥ 9$ 恒成立

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12. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{a^{2} - a + 4} = 1 (a > 0)$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于点 $A$ ， $B$ ，则下列说法中正确的是（）

A、双曲线 $C$ 离心率的最小值为 $4$ B、离心率最小时双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ C、若直线 $l$ 同时与两条渐近线交于点 $C$ ， $D$ ，则 $| A C | = | B D |$ D、若 $a = 1$ ，点 $A$ 处的切线与两条渐近线交于点 $E$ ， $F$ ，则 $S_{△ E O F}$ 为定值

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三、填空题

13. 过P（﹣2，m）、Q（m ， 4）两点的直线的倾斜角为45° ．

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14. 在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若存在实数 $x ， y ， z$ ，使向量 $\vec{B M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A A_{1}}$ ，则 $x + 2 y + 3 z =$ ．

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15. 已知线段 $A B$ 是圆 $C ： (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ 上的一条动弦，且 $| A B | = 2 \sqrt{3}$ ，设点 $O$ 为坐标原点，则 $| \vec{O A} + \vec{O B} |$ 的最大值为；如果直线 $l_{1} ： x - m y - 3 m + 1 = 0$ 与 $l_{2} ： m x + y + 3 m + 1 = 0$ 相交于点 $M$ ，则 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 的最小值为.

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16. 设直线 $l$ 过双曲线 $C$ 的一个焦点，且与 $C$ 的一条对称轴垂直， $l$ 与 $C$ 交于 $A ， B$ 两点， $|A B|$ 为 $C$ 的实轴长的2倍，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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四、解答题

17. 已知抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，斜率为1的直线 $l$ 交 $C$ 于不同于原点的 $S$ ， $T$ 两点，点 $M (2 ， 3)$ 为线段 $S T$ 的中点.

(1)、求抛物线 $C$ 的方程；

(2)、直线 $y = k x + 1$ 与抛物线 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，过 $A$ ， $B$ 分别作抛物线 $C$ 的切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，设切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的交点为 $P$
①求证： $△ P A B$ 为直角三角形.

②记 $△ P A B$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 的最小值，并指出 $S$ 最小时对应的点 $P$ 的坐标.

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18. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，（ $a > 0$ ， $b > 0$ ），过椭圆的右焦点 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线交椭圆于 $A (2 ， 3)$ ， $B$ 两点．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $M$ ， $N$ 是椭圆上位于 $A B$ 两侧的动点，当 $M$ ， $N$ 运动时，始终保持 $A B$ 平分 $∠ M A N$ ，求证：直线 $M N$ 的斜率为定值．

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19. 已知直线 $m ： (a - 1) x + (2 a + 3) y - a + 6 = 0$ ， $n ： x - 2 y + 3 = 0$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，直线 $l$ 过 $m$ 与 $n$ 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若坐标原点O到直线 $m$ 的距离为1，求实数 $a$ 的值．

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20. 已知 $A (x_{0} ， y_{0}) (y_{0} > 0)$ 是抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点．当 $x_{0} = 9$ 时， $y_{0} = 6$ ．

(1)、求E的标准方程；

(2)、F是E的焦点，直线AF与E的另一交点为B， $| A F | = 5$ ，求 $\frac{| A F |}{| B F |}$ 的值．

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21. 已知圆 $C$ 过两点 $A (- 1 ， 1) ， B (3 ， 5)$ ，且圆心 $C$ 在直线 $2 x - y - 5 = 0$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $P (1 ， 5)$ 的直线 $l$ 交圆 $C$ 于 $M ， N$ 两点，且 $| M N | = 4 \sqrt{3}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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22. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $B C / / A D$ ， $P A = A B = B C = 2$ ， $A D = 4$ ， $E$ 为棱 $P D$ 的中点， $F$ 是线段 $P C$ 上一动点．

(1)、求证：平面PBC⊥平面 $P A B$ ；

(2)、若直线 $B F$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时，求平面 $A E F$ 与平面 $A D E$ 夹角的余弦值

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