2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高一（上）期中测试卷5

试卷更新日期：2023-10-17 类型：期中考试

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一、单项选择题（每题5分，共40分）

1. 下列各组对象的全体能构成集合的有（）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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2. 以下选项中，p是q的充要条件的是（）

A、p： $3 x + 2 > 5$ ， q： $- 2 x - 3 > - 5$ B、p： $a > 2 ， b < 2$ ， q： $a > b$ C、p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D、p： $a \neq 0$ ， q：关于x的方程 $a x = 1$ 有唯一解

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3. “不等式 $x^{2} - x + m > 0$ 在 $R$ 上恒成立”的充要条件是（）

A、 $m > \frac{1}{4}$ B、 $m < \frac{1}{4}$ C、 $m < 1$ D、 $m > 1$

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4. 函数 $y = \sqrt{l o g_{0.5} (4 x - 3)}$ 的定义域为（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[\frac{3}{4} ， 1]$ C、 $(\frac{3}{4} ， 1]$ D、 $(0 ， \frac{3}{4}]$

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5. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 2 m - 2) x^{m - 2}$ 的图象经过原点，则 $m =$ （）

A、－1 B、1 C、3 D、2

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6. 若 $a > 1 ， b > 1$ ，且a≠b，则 $a^{2} + b^{2} ， 2 a b ， a + b ， 2 \sqrt{a b}$ 中的最大值是（）

A、 $a^{2} + b^{2}$ B、 $2 a b$ C、 $a + b$ D、 $2 \sqrt{a b}$

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7. 已知函数 $f (x) = 3 - 2 | x |$ ， $g (x) = x^{2} - 2 x$ ， $F (x) = {\begin{array}{l} g (x) ， f (x) \geq g (x) \\ f (x) ， f (x) < g (x) \end{array}$ ，则（）

A、 $F (x)$ 的最大值为3，最小值为1 B、 $F (x)$ 的最大值为 $2 - \sqrt{7}$ ，无最小值 C、 $F (x)$ 的最大值为 $7 - 2 \sqrt{7}$ ，无最小值 D、 $F (x)$ 的最大值为3，最小值为-1

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8. 已知定义域为R的偶函数 $f (x)$ 和奇函数 $g (x)$ 满足： $f (x) + g (x) = 2^{x}$ ．若存在实数a，使得关于x的不等式 $(n f (x) - a) (g (x) - a) \leq 0$ 在区间 $[1 ， 2]$ 上恒成立，则正整数n的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、多项选择题（每题5分，共20分）

9. 能正确表示图中阴影部分的是（）

A、 $N ∩ (∁_{U} M)$ B、 $M ∩ (∁_{U} N)$ C、 $(∁_{U} M) ∩ (∁_{U} N)$ D、 $[∁_{U} (M ∩ N)] ∩ N$

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10. 下列条件中，是“ $x + 1 > 0$ ”成立的必要条件的是（）

A、 $x > - 3$ B、 $x > - 2$ C、 $x > 0$ D、 $x > 1$

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11. 已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 2]$ 上单调递增，且 $f (x + 2)$ 为偶函数，则（）

A、 $f (x)$ 的对称中心为 $(2 ， 0)$ B、 $f (x)$ 的对称轴为直线 $x = 2$ C、 $f (- 1) > f (4)$ D、不等式 $f (x + 3) > f (4 x)$ 的解集为 $(- \infty ， \frac{1}{5}) ∪ (1 ， + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} - 4 x ， x \leq 0 \\ | l o g_{2} x | ， x > 0 \end{array}$ ，若 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，且 $f (x_{1}) = f (x_{2}) = f (x_{3}) = f (x_{4})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = - 4$ B、 $x_{3} \cdot x_{4} = 1$ C、 $1 < x_{4} < 4$ D、 $0 < x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} \leq 4$

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三、填空题（每题5分，共20分）

13. 不等式 $14 - 4 x^{2} \geq x$ 的解集为.

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14. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(2 ， 4)$ ，则 $f (3) =$ ．

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15. 设全集 $U = R$ ，集合 $A = {x | y = \sqrt{9 - x^{2}}}$ ，集合 $B = {y | y = \sqrt{9 - x^{2}}}$ ，则 $(C_{U} A) \cap B =$ .

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $(- 5 ， 5)$ 上的增函数，且 $f (x)$ 的图象关于点 $(0 ， - 1)$ 对称，则关于 $x$ 的不等式 $f (2 x + 1) + f (x - 1) + 3 x + 2 > 0$ 的解集为．

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四、解答题

17. 已知全集为 $R$ ，集合 $A = {x | 2 \leq x \leq 6}$ ， $B = {x | 3 x - 7 \geq 8 - 2 x}$ ．

(1)、求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $C = {x | a - 4 \leq x \leq a + 4}$ ，且 $(A ∩ B)$  $C$ ，求 $a$ 的取值范围．

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18. 已知 $m + 2 n = 2$ ．

(1)、当 $m > 0$ ， $n > 0$ 时，求 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值；

(2)、当 $m > - 1$ ， $n > 0$ 时，求 $\frac{1}{m + 1} + \frac{2}{n}$ 的最小值．

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19. 已知函数 $f (x) = x + \frac{4}{x}$ ．

(1)、用定义证明 $f (x)$ 在区间 $(0 ， 2]$ 上是减函数；

(2)、设 $α \in (0 ， π)$ ，求函数 $f (s i n α)$ 的最小值．

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20. 高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过 $m$ ( $40 < m \leq 100$ )人时，每增加 $1$ 人，人均收费降低 $1$ 元；超过 $m$ 人时，人均收费都按照 $m$ 人时的标准．设景点接待有 $x$ 名游客的某团队，收取总费用为 $y$ 元．

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

(2)、景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求 $m$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x$ ， $a \in (0 ， 1)$ .

(1)、若 $f (1) = 1$ ，且 $b > 0$ ，求 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ 的最小值；

(2)、若 $f (1) = - 1$ ，求关于 $x$ 的不等式 $f (x) + 1 > 0$ 的解集.

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