2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷3

试卷更新日期：2023-10-17 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单项选择题（每题5分，共40分）

1. 已知向量 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 下的坐标为 $(1 ， 2 ， 3)$ ，则 $\vec{p}$ 在基底 ${\vec{a} + \vec{b} ， \vec{b} + \vec{c} ， \vec{c} + \vec{a}}$ 下的坐标为（）

A、 $(0 ， 1 ， 2)$ B、 $(0 ， 2 ， 1)$ C、 $(2 ， 1 ， 0)$ D、 $(1 ， 2 ， - 1)$

查看试题解析
2. 在空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，已知 $P (3 ， - 4 ， 1)$ ，且平面 $O A B$ 的法向量为 $\vec{n} = (2 ， - 2 ， 3)$ ，则 $P$ 到平面 $O A B$ 的距离等于（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、4 C、 $\sqrt{17}$ D、 $3 \sqrt{2}$

查看试题解析
3. 直线 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ 的倾斜角为(　　)

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

查看试题解析
4. 过两点 $A (3 ， - 5)$ ， $B (- 5 ， 5)$ 的直线在 $y$ 轴上的截距为（）

A、 $- \frac{5}{4}$ B、 $\frac{5}{4}$ C、 $- \frac{2}{5}$ D、 $\frac{2}{5}$

查看试题解析
5. 已知集合 $A = {(x ， y) | (m^{2} + 1) x - 2 m (y + 1) = 0 ， m > 0}$ ， $B = {(x ， y) | x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + 3 \leq 0}$ ，则集合 $A ∩ B$ 中的元素所构成的图形面积为（）

A、 $\frac{3}{2} π + 1$ B、 $\frac{3 π + 1}{2}$ C、 $2 π - 1$ D、 $2 π - \frac{1}{2}$

查看试题解析
6. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 右支上一点A到右焦点 $F_{1}$ 的距离为3，则点A到左焦点 $F_{2}$ 的距离为（）

A、5 B、6 C、9 D、11

查看试题解析
7. 已知抛物线C₁： $y^{2} = 2 p x （ p > 0 ）$ 与椭圆C₂： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 共焦点，C₁与C₂在第一象限内交于P点，椭圆的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，且 $P F_{2} ⊥ F_{1} F_{2}$ ，则椭圆的离心率为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、 $4 - 2 \sqrt{3}$ D、 $3 - 2 \sqrt{2}$

查看试题解析
8. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的两个焦点，点P在椭圆C上， $| P F_{1} | = 4$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析

二、多项选择题（每题5分，共25分）

9. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 2 ， - 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (3 ， 4 ， 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{a}$ B、 $5 | \vec{a} | = \sqrt{3} | \vec{b} |$ C、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 4 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量的长度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
10. 在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $P$ 是棱 $A B$ 上一动点，则 $P$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离可能是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{4 \sqrt{2}}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

查看试题解析
11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ，且 $A B = B C = C C_{1} = 2 ， M$ 为线段 $B C$ 上的动点，则（）

A、 $A B_{1} ⊥ A_{1} M$ B、三棱锥 $C_{1} - A M B_{1}$ 的体积不变 C、 $| A_{1} M | + | C_{1} M |$ 的最小值为 $3 + \sqrt{5}$ D、当 $M$ 是 $B C$ 的中点时，过 $A_{1} ， M ， C_{1}$ 三点的平面截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球所得的截面面积为 $\frac{26 π}{9}$

查看试题解析
12. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心、半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西25km处，为确保轮船没有触礁危险，则该轮船的行驶路线可以是（）

A、南偏西45°方向 B、南偏西30°方向 C、北偏西30°方向 D、北偏西25°方向

查看试题解析
13. 圆锥曲线为什么被冠以圆锥之名？因为它可以从圆锥中截取获得.我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，截口曲线（截而与圆锥侧面的交线）是一个圆，用一个不垂直于轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴的夹角 $θ$ 不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线.因此，我们将圆、椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.截口曲线形状与 $θ$ 和圆锥轴截面半顶角 $α$ 有如下关系 $(θ ， α \in (0 ， \frac{π}{2}))$ ；当 $θ > α$ 时，截口曲线为椭圆；当 $θ = α$ 时，截口曲线为抛物线：当 $0 < α$ 时，截口曲线为双曲线.（如左图）
现有一定线段AB与平面 $β$ 夹角 $φ$ （如上右图），B为斜足， $β$ 上一动点P满足 $∠ B A P = γ$ ，设P点在 $β$ 的运动轨迹是 $Γ$ ，则（）

A、当 $φ = \frac{π}{4}$ ， $γ = \frac{π}{6}$ 时， $Γ$ 是椭圆 B、当 $φ = \frac{π}{3}$ ， $γ = \frac{π}{6}$ 时， $Γ$ 是双曲线 C、当 $φ = \frac{π}{4}$ ， $γ = \frac{π}{4}$ 时， $Γ$ 是抛物线 D、当 $φ = \frac{π}{3}$ ， $γ = \frac{π}{4}$ 时， $Γ$ 是椭圆

查看试题解析

三、填空题（每空5分，共25分）

14. 已知直线 $l ： x - y + 8 = 0$ 和两点 $A (2 ，， 0) ， B (- 2 ，， - 4)$ ，在直线 $l$ 上求一点 $P$ ，使 $| P A | + | P B |$ 最小，则 $P$ 点坐标是

查看试题解析
15. 已知圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + a = 0$ 的半径为3，则 $a =$ ．

查看试题解析
16. 若 $\vec{a} = (- 1 ， \sqrt{2} ， 1)$ ，则与向量 $\vec{a}$ 同方向的单位向量的坐标为．

查看试题解析
17. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的左右焦点分别是 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点 $P$ 在双曲线上，则 $| | P F_{1} | - | P F_{2} | | =$ ；若 $∠ F_{1} P F_{2}$ 为直角，则点 $P$ 的纵坐标的是.

查看试题解析

四、解答题（共5题，共60分）

18. 平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为1的正方形，侧棱 $A A_{1} = 2$ ，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = 60 °$ ， $M$ 为 $B D$ 中点， $P$ 为 $B B_{1}$ 中点，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ；

(1)、用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示向量 $\vec{P M}$ ；

(2)、求线段 $P M$ 的长度．

查看试题解析
19. 已知圆 $C$ 经过 $A (2 ， 0)$ 、 $B (0 ， 4)$ 两点，且圆心在直线 $x + 2 y - 9 = 0$ 上．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $P (- 2 ， 8)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，求直线 $l$ 的方程．

查看试题解析
20.

(1)、求长轴长为12，离心率为 $\frac{2}{3}$ ，焦点在 $x$ 轴上的椭圆标准方程；

(2)、已知双曲线的渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，且与椭圆 $\frac{x^{2}}{10} + \frac{y^{2}}{5} = 1$ 有公共焦点，求此双曲线的方程．

查看试题解析
21. 圆 $C$ 经过点 $A (1 ， 2)$ 与直线 $x + y - 5 = 0$ 相切，圆心 $C (a ， b)$ 的横、纵坐标满足 $a = 2 b (a > 0)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l ： m x + 2 y - 3 m - 1 = 0$ 交圆 $C$ 于A，B两点，当 $| A B | = \sqrt{3}$ 时，求直线l的方程．

查看试题解析
22. 焦点在 $x$ 轴上的椭圆的方程为 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ ，点 $P (\sqrt{2} ， 1)$ 在椭圆上.

(1)、求 $m$ 的值.

(2)、依次求出这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.

查看试题解析