2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷2

试卷更新日期：2023-10-17 类型：期中考试

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一、单项选择题（每题5分，共40分）

1. 已知A，B，C，D，E是空间中的五个点，其中点A，B，C不共线，则“存在实数x，y，使得 $\vec{D E} = x \vec{A B} + y \vec{A C}$ ”是“ $D E ∥$ 平面ABC”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (2 ， - 3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (- 4 ， m ， n)$ ， $m ， n \in R$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $m - n =$ （）

A、2 B、-2 C、14 D、-14

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3. 已知直线斜率为k，且 $- 1 \leq k \leq \sqrt{3}$ ，那么倾斜角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $[0 ， \frac{π}{3}] ∪ [\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ B、 $[0 ， \frac{π}{3}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$ C、 $[0 ， \frac{π}{6}] ∪ [\frac{π}{2} ， \frac{3 π}{4})$ D、 $[0 ， \frac{π}{6}] ∪ [\frac{3 π}{4} ， π)$

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4. 已知三条直线l₁：x﹣2y+2＝0，l₂：x﹣2＝0，l₃：x+ky＝0将平面分为六个部分，则满足条件的k的值共有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个

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5. 若直线 $x - y + 3 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 - a = 0$ 相切，则 $a =$ （）

A、9 B、8 C、7 D、6

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6. 已知 $F_{1} ， F_{2}$ 分别是椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点，M，N是椭圆 $C$ 上两点，且 $\vec{M F_{1}} = 2 \vec{F_{1} N} ， \vec{M F_{2}} \cdot \vec{M N} = 0$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{4}$

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7. $F_{1} ， F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，直线 $l$ 为双曲线 $C$ 的一条渐近线， $F_{1}$ 关于直线 $l$ 的对称点为 $F_{1}^{'}$ ，且 $F_{1}^{'}$ 在以 $F_{2}$ 为圆心､ $b$ 为半径的圆上，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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8. 已知抛物线y²＝2px（p＞0），F为其焦点，l为其准线，A'、B'分别为A、B在l
上的射影，M为A'B'的中点

①A'F⊥B'F；

②AM⊥BM；

③A'F∥BM；

④A'F与AM的交点在y轴上；

⑤AB'与A'B交于原点．

其中真命题的个数为（）

A、1个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、多项选择题（每题5分，共20分）

9. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点P满足 $\vec{D P} = λ \vec{D D_{1}} + μ \vec{D A}$ ， $λ \in [0 ， 1]$ ， $μ \in [0 ， 1]$ ，则以下说法正确的是（）

A、当 $λ = μ$ 时， $B P ∥$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ B、当 $μ = \frac{1}{2}$ 时，存在唯一点P使得DP与直线 $C B_{1}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、当 $λ + μ = 1$ 时， $D P + P B$ 的最小值为 $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ D、当点P落在以 $B_{1}$ 为球心， $\sqrt{2}$ 为半径的球面上时， $λ + μ$ 的最小值为 $2 - \sqrt{2}$

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10. 下列四个命题中真命题有（）

A、任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 B、已知直线 $3 x + 4 y + 9 = 0$ 与直线 $6 x + m y + 24 = 0$ 平行，则平行线间的距离是1 C、点 $(0 ， 2)$ 关于直线 $y = x + 1$ 的对称点为 $(1 ， 1)$ D、经过点 $(1 ， 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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11. 已知圆 $C ： {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 1$ ，点 $M (4 ， 2)$ ，点 $P$ 在圆 $C$ 上， $O$ 为原点，则下列命题正确的是（）

A、 $M$ 在圆上 B、线段 $M P$ 长度的最大值为 $\sqrt{5} + 1$ C、当直线 $M P$ 与圆 $C$ 相切时， $| M P | = 2$ D、 $\vec{M O} \cdot \vec{M P}$ 的最大值为 $2 \sqrt{5} + 6$

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12. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a} - \frac{y^{2}}{a^{2} - a + 4} = 1 (a > 0)$ ，直线 $l$ 与双曲线 $C$ 的右支交于点 $A$ ， $B$ ，则下列说法中正确的是（）

A、双曲线 $C$ 离心率的最小值为4 B、离心率最小时双曲线 $C$ 的渐近线方程为 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ C、若直线 $l$ 同时与两条渐近线交于点 $C$ ， $D$ ，则 $| A C | = | B D |$ D、若 $a = 1$ ，点 $A$ 处的切线与两条渐近线交于点 $E$ ， $F$ ，则 $S_{△ E O F}$ 为定值

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三、填空题（每题5分，共20分）

13. $\vec{a} = (- 1 ， 0 ， 2)$ 在 $\vec{b} = (1 ， 2 ， 2)$ 方向上的投影向量的坐标为．

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14. 复平面内复数 $z_{1} = 8 + 5 i$ ， $z_{2} = 4 + 2 i$ 对应的两点之间的距离为.

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15. 已知两定点 $A (- 4 ， 0) ， B (2 ， 0)$ ，如果动点 $M$ 满足 $| M A | = 2 | M B |$ ，点 $N$ 是圆 $x^{2} + (y - 3)^{2} = 9$ 上的动点，则 $| M N |$ 的最大值为.

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16. 抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点到准线的距离是.

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四、解答题（共4题，共70分）

17. 分别求适合下列条件的方程：

(1)、长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；

(2)、经过点 $P (- 2 ， - 4)$ 的抛物线的标准方程.

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，平面 $A_{1} B C ⊥$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ．

(1)、证明： $A B ⊥ B C$ ；

(2)、若 $A A_{1} = A C = 2 B C$ ， $E$ 为 $B B_{1}$ 上一点，且 $B E = 3 E B_{1}$ ，求二面角 $E - A_{1} C - B$ 的余弦值．

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19. 在 $△ A B C$ 中， $B C$ 边上的高所在直线的方程为 $x - 2 y + 1 = 0$ ， $∠ A$ 的平分线所在直线方程为 $y = 0$ ，若点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 2)$ .

(1)、求点 $A$ 和点 $C$ 的坐标；

(2)、求 $A C$ 边上的高所在的直线 $l$ 的斜截式方程.

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20. 已知点 $P (- 3 ， 2)$ 及圆C： $x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y + 1 = 0$ ．

(1)、求过P且与圆C相切的直线方程；

(2)、以PC为直径的圆交圆C于A，B两点，求 $| A B |$ ．

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21. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 8 x - 4 y + 11 = 0$ .

(1)、若圆 $C$ 上恰有三个点到直线 $l$ (斜率存在)的距离为1，且 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求 $l$ 的方程.

(2)、点 $P$ 为圆 $C$ 上任意一点，过点 $P$ 引单位圆的切线，切点 $Q .$ 试探究：平面内是否存在一点 $R$ 和固定常数 $λ$ ，使得 $| P R | = λ | P Q |$ ？

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22. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右顶点为A，上顶点为B， $△ A O B$ 的面积为 $\sqrt{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若斜率为k的直线 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，且l与椭圆C相交于 $M ， N$ 两点，若弦长 $| M N |$ 的取值范围为 $[\frac{8}{3} ， 2 \sqrt{2}]$ ，求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围．

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