2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高二（上）期中测试卷1

试卷更新日期：2023-10-17 类型：期中考试

进入出卷网下载

一、单项选择题（每题5分，共40分）

1. 在下列条件中，使 $M$ 与 $A$ ， $B$ ， $C$ 一定共面的是（）

A、 $\vec{O M} = \vec{O A} - 2 \vec{O B} - \vec{O C}$ B、 $\vec{M A} + 3 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ C、 $\vec{O M} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{3} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ D、 $\vec{O M} + \vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$

查看试题解析
2. 已知直线l过点 $P (1 ， 3 ， 1)$ ，且方向向量为 $\vec{m} = (1 ， 0 ， - 1)$ ，则点 $A (1 ， - 1 ， - 1)$ 到l的距离为（）

A、 $3 \sqrt{2}$ B、4 C、 $2 \sqrt{5}$ D、3

查看试题解析
3. 已知 $P_{1} (a_{1} ， b_{1})$ 与 $P_{2} (a_{2} ， b_{2})$ 是直线 $y = k x + 1 (k$ 为常数)上两个不同的点，则关于 $x$ 和 $y$ 的方程组的解的情况是（）

A、无论 $k ， P_{1} ， P_{2}$ 如何，总是无解 B、无论 $k ， P_{1} ， P_{2}$ 如何，总有唯一解 C、存在 $k ， P_{1} ， P_{2}$ ，使之恰有两解 D、存在 $k ， P_{1} ， P_{2}$ ，使之有无穷多解

查看试题解析
4. 在平面直角坐标系中，已知点P在直线 $l ： x + 3 y = 0$ 上，且点P在第四象限，点 $Q (0 ， - \sqrt{10})$ ．以PQ为直径的圆C与直线l的另外一个交点为T ，满足 $C T ⊥ P Q$ ，则圆C的直径为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{2}$

查看试题解析
5. 圆心为 $(- 1 ， 2)$ ，半径 $r = 3$ 的圆的标准方程为（　　）

A、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 9$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 9$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 3$ D、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 3$

查看试题解析
6. 已知M是圆 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 上的动点，则 $M$ 到直线 $y = k x + 1 (k \in R)$ 距离的最大值为（）

A、2 B、 $\sqrt{2} + 1$ C、3 D、 $2 \sqrt{2} + 1$

查看试题解析
7. 设椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 离心率为e，双曲线 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的渐近线的斜率小于 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，则椭圆 $C_{1}$ 的离心率e的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{10}}{10} ， \frac{\sqrt{5}}{5})$ B、 $(\frac{\sqrt{5}}{5} ， 1)$ C、 $(\frac{\sqrt{10}}{10} ， 1)$ D、 $(\sqrt{5} ， + \infty)$

查看试题解析
8. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，点 $P$ 是双曲线与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2} + b^{2}$ 在第二象限的一个交点，点 $Q$ 在双曲线上，且 $\vec{F_{1} P} = \frac{1}{2} \vec{F_{2} Q}$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{17}}{3}$

查看试题解析

二、多项选择题（每题5分，共20分）

9. ${\vec{a} ， \vec{b} ， \vec{c}}$ 是空间的一个基底，与 $\vec{a} + \vec{b}$ ､ $\vec{a} + \vec{c}$ 构成基底的一个向量可以是（）

A、 $\vec{b} + \vec{c}$ B、 $\vec{b} - \vec{c}$ C、 $\vec{b}$ D、 $3 \vec{a} + \vec{b} + 2 \vec{c}$

查看试题解析
10. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马 $P - A B C D$ 中，侧棱 $P D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $P D = C D = A D = 2 ， E ， F ， G$ 分别为 $D A ， D C ， P B$ 的中点，则（）

A、若 $P C$ 的中点为M，则四面体 $D - B C M$ 是鳖臑 B、 $C G$ 与 $E F$ 所成角的余弦值是 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、点S是平面 $P A C$ 内的动点，若 $S D + S G = 2$ ，则动点S的轨迹是圆 D、过点E，F，G的平面与四棱锥 $P - A B C D$ 表面交线的周长是 $2 + 2 \sqrt{2}$

查看试题解析
11. 下列关于直线方程的说法正确的是（）

A、直线 $x - y s i n θ + 2 = 0$ 的倾斜角可以是 $\frac{π}{2}$ B、直线 $l$ 过点 $(- 2 ， 3)$ ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 $x + y - 1 = 0$ C、过点 $P (x_{0} ， y_{0})$ 的直线 $A x + B y + C = 0$ 的直线方程还可以写成 $A (x - x_{0}) + B (y - y_{0}) = 0$ D、经过 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 两点的直线方程可以表示为 $\frac{y - y_{1}}{y_{1} - y_{2}} = \frac{x - x_{1}}{x_{1} - x_{2}}$

查看试题解析
12. 如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A B = B B_{1} = 2$ ，则（）

A、三棱锥 $B_{1} - A B C_{1}$ 的体积为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、三棱锥 $B_{1} - A B C_{1}$ 的体积为 $2 \sqrt{3}$ C、点C到直线 $A B_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{14}}{2}$ D、点C到直线 $A B_{1}$ 的距离为 $\sqrt{14}$

查看试题解析

三、填空题（每题6分，共30分）

13. 已知点 $A (0 ， 1 ， 0)$ ， $B (2 ， 3 ， 2)$ ，向量 $\vec{A C} = - \frac{1}{2} \vec{A B}$ ，则点 $C$ 的坐标为．

查看试题解析
14. 如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为线段 $B B_{1}$ 的中点，则直线 $C_{1} E$ 与平面 $A_{1} D_{1} B$ 所成角的正弦值为．

查看试题解析
15. 已知直线 $x + m y - 2 = 0$ 在两坐标轴上的截距相等，则实数 $m$ 的值为.

查看试题解析
16. 写出一个与 $y$ 轴相切，且圆心在 $x$ 轴上的圆的方程：.

查看试题解析
17. 圆 $C_{1} ： x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆 $C_{2} ： x^{2} + y^{2} - 8 x - 9 = 0$ 的公切线方程为．

查看试题解析

四、解答题（共5题，共60分）

18. 已知动点 $M (x ， y) (x \geq 0)$ 到点 $F (2 ， 0)$ 的距离与到 $y$ 轴的距离的差为2.

(1)、求动点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若过点 $F$ 的直线 $l$ 与动点 $M$ 的轨迹交于 $A ， B$ 两点，直线 $x = - 2$ 与 $x$ 轴交于点 $H$ ，过 $A ， B$ 作直线 $x = - 2$ 的垂线，垂足分别为 $D ， E$ ，若 $S_{△ D H F} ： S_{△ E H F} = 2 ： 1$ （S表示面积），求 $| A B |$ .

查看试题解析
19. 已知圆 $M ： x^{2} + （ y - 2 ）^{2} = 1$ ，直线 $l ： x - 2 y = 0$ ，点 $P$ 在直线 $l$ 上，过 $P$ 点作圆 $M$ 的切线 $P A$ ， $P B$ ，切点为 $A ， B$ .

(1)、若 $∠ A P B = 60 °$ ，试求点 $P$ 的坐标；

(2)、求证：经过 $A$ ， $P$ ， $M$ 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

查看试题解析
20. 在 $△ A B C$ 中， $B (4 ， 2) ， B C$ 边上的高所在的直线方程为 $2 x - y + 3 = 0 ， A C$ 边所在直线方程为 $x + y - 3 = 0$ ．求点A和点C的坐标．

查看试题解析
21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点为 $F (1 ， 0)$ ，且经过点 $M (0 ， \sqrt{3})$ 和 $N (0 ， - \sqrt{3})$ ．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、O为坐标原点，设 $Q (2 ， \sqrt{3})$ ，点P为椭圆C上不同于M、N的一点，直线 $P M$ 与直线 $x = 2$ 交于点A，直线 $P N$ 与x轴交于点B，求证： $△ A M Q$ 和 $△ O B N$ 面积相等．

查看试题解析
22. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ，四边形 $A B C D$ 为梯形， $A D = 2 B C$ ， $∠ B A D = ∠ A B C = 9 0^{∘}$ .

(1)、若 $M$ 为 $P A$ 的中点，求证： $B M / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{10}$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成锐二面角的余弦值.

查看试题解析