2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高一（上）期中测试卷3

试卷更新日期：2023-10-17 类型：期中考试

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一、单项选择题（每题5分，共40分）

1. 已知集合M $= {- 1 ， 1}$ ，下列选项正确的是（）

A、 ${- 1}$ $\in$ M B、 $\emptyset$ $\in$ M C、 $- 1 \subseteq$ M D、 ${- 1}$ $\subseteq$ M

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2. 已知向量 $\vec{a} = (m ， 1)$ ， $\vec{b} = (1 ， 1)$ ，则“ $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为锐角”是“ $m > - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3. 已知 $x^{2} + 4 y^{2} = 4$ ，则 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{y^{2}}$ 的最小值为（）

A、9 B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、1

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4. 若函数f(x)＝ ${\begin{array}{l} a^{x} ， x > 1 \\ (4 - \frac{a}{2}) x + 2 ， x \leq 1 \end{array}$ 是R上的增函数，则实数a的取值范围为（）

A、(1，＋∞) B、(1，8) C、(4，8) D、[4，8)

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5. 下列选项中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（）

A、 $y = - x^{3}$ B、 $y = - \frac{1}{x}$ C、 $y = | x |$ D、 $y = x | x |$

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6. 定义在 $R$ 上函数 $y = f (x)$ 满足 $f (- x) + f (x) = 0$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x \cdot 2^{x}$ ，则不等式 $f (x + 2 \sqrt{x} + 2) + f (1 - 2 x) \geq 0$ 的解集是（）

A、 $[- 1 ， 3]$ B、 $[0 ， 3]$ C、 $[1 ， 9]$ D、 $[0 ， 9]$

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7. 已知幂函数的图象经过点 $P (2 ， \frac{1}{4})$ ，则该幂函数的大致图象是（）

A、 B、 C、 D、

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8. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} (a - 1) x + a ， x \geq 2 \\ l o g_{a} (x - 1) ， 1 < x < 2 \end{array}$ 是 $(1 ， + \infty)$ 上的减函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{2}{5} ， \frac{1}{2})$ B、 $(0 ， \frac{1}{2})$ C、 $(0 ， \frac{2}{3}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{5}]$

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二、多项选择题（每题5分，共25分）

9. 已知集合 $U = R$ ， $M = N^{+}$ ，下列表示正确的是（）

A、 $2020 \in M$ ， $0 \in M$ B、 $2020 \notin ∁_{U} M$ ， $0 \in ∁_{U} M$ C、 $2020 \in M$ ， $0 \notin M$ D、 $\emptyset \subseteq M$ ， ${0}$ $\underset{\neq}{\subset}$ $∁_{U} M$

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10. 若 $a = 2 x^{2} - 8 x + 11 ， b = x^{2} - 6 x + 9 ， c = 1 - \sqrt{3}$ ，则（）

A、 $b > a$ B、 $a > c$ C、 $a c > b c$ D、 $b > c$

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11. 下列函数中在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = 2 x^{2} + 1$ B、 $y = x^{\frac{1}{2}}$ C、 $y = \frac{1}{x}$ D、 $y = x + \frac{4}{x}$

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12. 已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $P (4 ， 2)$ ，则（）

A、 $f (x) = (\sqrt{2})^{x}$ B、 $f (x)$ 的定义域为 $[0 ， + ∞)$ C、 $f (x)$ 的值域为 $[0 ， + ∞)$ D、 $f (x) > x^{2}$ 的解集为 $(0 ， 1)$

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13. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4， $P$ 为正方形边上一动点，运动路线 $A \to D \to C \to B \to A$ ，设点 $P$ 经过的路程为 $x$ ，以点 $A$ 、 $P$ 、 $D$ 为顶点的三角形的面积是 $y$ .则下列图象不能大致反映 $y$ 与 $x$ 的函数关系的是（）

A、 B、 C、 D、

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三、填空题（每题5分，共25分））

14. 已知命题 $p ： \forall x \in R ， 2^{x} < 3^{x}$ ，则命题 $p$ 的否定是．

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15. 已知集合 $A = {x | a - 1 < x < 2 a + 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 4 x - 12 < 0}$ ，若 $A ∩ B = ϕ$ ，则实数 $a$ 的取值范围为．

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16. 已知 $f (x) = l n \frac{x + 8}{2 - x}$ 定义域为 $D$ ，对于任意 $x_{1}$ ， $x_{2} \in D$ ，当 $| x_{1} - x_{2} | = 2$ 时，则 $| f (x_{1}) - f (x_{2}) |$ 的最小值是．

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17. 记函数 $y$ 在 $x$ 处的值为 $f (x)$ （如函数 $y = x^{2}$ 也可记为 $f (x) = x^{2}$ ，当 $x = 1$ 时的函数值可记为 $f (1) = 1)$ .已知 $f (x) = \frac{x}{| x |}$ ，若 $a > b > c$ 且 $a + b + c = 0$ ， $b \neq 0$ ，则 $f (a) + f (b) + f (c)$ 的所有可能值为.

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18. 若“不等式 $x - m < 1$ 成立”的充要条件为“ $x < 2$ ”，则实数 $m$ 的值为.

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四、解答题（共4题，共60分））

19. 已知 $A = {x | - 2 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | a - 2 < x < 3 a}$ ，全集 $U = R$

(1)、若 $a = 2$ ，求 $A ∩ (∁_{U} B)$ ；

(2)、若 $A \supseteq B$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} - 6 x + a^{2} = 0$ ，当命题 $p$ 为真命题时，实数 $a$ 的取值集合为A ．

(1)、求集合A；

(2)、设集合 $B = {a | 3 m - 2 \leq a \leq m - 1}$ ，若 $x ∈ A$ 是 $x ∈ B$ 的必要不充分条件，求实数 $m$ 的取值范围．

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21. 已知幂函数 $f (x) = (m^{2} - 6 m + 10) x^{- n^{2} + 4 n} (n > 1 ， n \in Z ， m \in R)$ 的图象关于y轴对称，且在 $(0 ， + ∞)$ 上单调递增.

(1)、求m和n的值；

(2)、求满足不等式 ${(2 a + 3)}^{- \frac{m}{3}} < {(a - 1)}^{- \frac{n}{2}}$ 的a的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x | x - a | + 3 (a \in R)$ .

(1)、当 $a = 2$ 时，写出 $f (x)$ 的单调区间（不需要说明理由）；

(2)、当 $a = 0$ 时，解不等式 $f (2^{x + 1} - 1) + f (2^{x} - 8) > 6$ ；

(3)、若存在 $x_{1} ， x_{2} \in (- ∞ ， l n 4]$ ，使得 $| f (e^{x_{1}}) - f (e^{x_{2}}) | > 3$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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