2023-2024学年高中数学人教A版（2019）高一（上）期中测试卷1

试卷更新日期：2023-10-17 类型：期中考试

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一、单项选择题（每题5分，共40分）

1. 已知集合 $M = {2022 ， 2023}$ ，则 $M$ 的子集有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 已知集合U= ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 1 ， 2 ， 3}$ ， $A = {1 ， 2}$ ， $B = {- 1 ， 0 ， 1}$ ，则 $C_{U} (A ∪ B)$ =（　　）

A、 ${- 2 ， 3}$ B、 ${- 2 ， 2 ， 3}$ C、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 3}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 0 ， 2 ， 3}$

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3. 使不等式（2x+1）（x-3）≥0成立的一个充分不必要条件是（）

A、x≥0 B、x<0或x>2 C、X∈ ${- 1 ， 3 ， 5}$ D、 $x \leq - \frac{1}{2} 或 x ≥ 3$

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4. 某位同学经常会和爸爸妈妈一起去加油，经过观察他发现了一个有趣的现象：爸爸和妈妈的加油习惯是不同的.爸爸每次加油都说：“师傅，给我加250元的油”，而妈妈则说“师傅帮我把油箱加满”.这位同学若有所思，如果爸爸､妈妈都加油两次，两次的加油价格不同，妈妈每次加满油箱；爸爸每次加250元的油，我们规定谁的平均单价低谁就合算，那么请问爸爸､妈妈谁更合算呢？（）

A、妈妈 B、爸爸 C、一样 D、不确定

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5. 不等式 $x (1 - 2 x) > 0$ 的解集是（）

A、 $(- \infty ， 0) \cup (\frac{1}{2} ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 0) \cup (1 ， + \infty)$ C、 $[0 ， \frac{1}{2}]$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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6. 已知 $a ， b \in R$ ， $a > 0 ， b > 0$ ，且 $a^{2} - 2 a b - 3 b^{2} = 1$ ，则（）

A、 $a + b$ 有最小值1 B、 $a - b$ 有最小值1 C、 $3 a + 5 b$ 有最小值 $2 \sqrt{2}$ D、 $3 a - 5 b$ 有最小值 $2 \sqrt{2}$

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7. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图像过点 $(2 ， 4)$ ，若 $\sqrt{f (m)} = 4$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、2 B、 $\pm 2$ C、4 D、 $\pm 4$

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8. 已知函数 $f (x) = m a x {x^{2} ， \frac{1}{x}}$ ，其中 $m a x {a ， b} = {\begin{array}{l} a ， a \geq b \\ b ， a < b \end{array}$ ，若 $\exists x \in [2 ， 4]$ ，使得关于x的不等式 $f (x) \leq f (a)$ 成立，则正实数a的取值范围为（）

A、 $a \geq 2$ 或 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ B、 $a \geq 2$ 或 $0 < a \leq \frac{1}{4}$ C、 $a \geq 4$ 或 $0 < a \leq \frac{1}{2}$ D、 $a \geq 4$ 或 $0 < a \leq \frac{1}{4}$

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二、多项选择题（每题5分，共20分）

9. 若集合 $M = {x | x^{2} + 6 x - 16 = 0}$ ， $N = {x | a x - 3 = 0}$ ，且 $N \subseteq M$ ，则实数 $a$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{8}$ B、 $0$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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10. 已知正实数x，y满足 $2 x + y = x y$ ，则（）

A、 $x y \geq 8$ B、 $x + y \geq 6$ C、 $\frac{1}{x - 1} + \frac{8}{y} \geq 4$ D、 $2 x^{2} y + y^{2} \geq 48$

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11. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的周期为2的奇函数，且当 $x \in [0 ， 1]$ 时， $f (x) + x$ 的值域为 $[0 ， 1]$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1 ， 0)$ 对称 B、 $f (x)$ 的图象关于 $x = \frac{1}{2}$ 对称 C、 $x \in [- 1 ， 1]$ 时， $f (x) + x$ 的值域为 $[- 1 ， 1]$ D、 $x \in [0 ， 2]$ 时， $f (x) + x$ 的值域为 $[0 ， 2]$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的偶函数，当 $x \leq 0$ 时 $f (x) = - x^{2} - 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最大值为1 B、 $f (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $[- 2 ， 2]$ D、当 $x > 0$ 时， $f (x) = x^{2} - 2 x$

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三、填空题（每题6分，共30分）

13. 设全集 $U = {2 ， 3 ， 5 ， 6 ， 9}$ ，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第23位的子集是.

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14. 若不等式 $a x^{2} + b x + 4 > 0$ 的解集为 ${x | - 2 < x < 1}$ ，则 $a + b =$ .

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15. 已知函数 $f (x) = \frac{x (x + 1)^{2} + a x}{x + 1}$ ，对任意两个不等实数 $x_{1} ， x_{2} \in [1 ， + ∞)$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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16. 设奇函数 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上为增函数，且 $f (1) = 0$ ，则不等式 $x [f (x) - f (- x)] < 0$ 的解集为.

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17. 已知关于 $x$ 的不等式 $x^{2} - (a + 2) x + 2 a < 0$ 的解集中恰有三个整数，则正整数 $a$ 的值为

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四、解答题（共4题，共60分）

18. 已知集合 $A = {x ∣ a - 1 \leq x \leq 3 - 2 a} ， B = {x ∣ x^{2} - 2 x - 8 \leq 0}$ .

(1)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $x ∈ B$ 是 $x ∈ A$ 的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围.

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19. 为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面墙的长度均为 $x$ 米 $(3 \leq x \leq 6)$ .

(1)、当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；

(2)、现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为 $\frac{1800 a (1 + x)}{x}$ 元 $(a > 0)$ ，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 $a$ 的取值范围.

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20. 已知幂函数 $f (x) = (2 m^{2} - 2 m - 3) x^{m}$ ．

(1)、若 $f (x)$ 的定义域为R，求 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $f (x)$ 为奇函数， $\exists x \in [1 ， 2]$ ，使 $f (x) > 3 x + k - 1$ 成立，求实数k的取值范围．

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21. 为了预防新型冠状病毒，唐徕回民中学对教室进行药熏消毒，室内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间x（单位：h）的变化情况如图所示，在药物释放过程中，y与x成正比，药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 $y = {(\frac{1}{16})}^{x - a}$ （a为常数），根据图中提供的信息，回答下列问题：

(1)、写出从药物释放开始，y与x的之间的函数关系；

(2)、据测定，当空气中每立方米的含药量降低至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．

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