安徽省合肥市长丰县2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷

试卷更新日期：2023-10-16 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 二次根式 $\sqrt{5 - x}$ 中字母 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \geq 5$ B、 $x \leq 5$ C、 $x \neq 5$ D、 $x < 5$

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2. 一个多边形的每个外角都等于 $45 °$ ，则这个多边形的边数是（）

A、 $8$ B、 $9$ C、 $10$ D、 $12$

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3. 下列运算中，结果正确的是（）

A、 $\sqrt{3} + \sqrt{12} = \sqrt{15}$ B、 $2 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 2$ C、 $\sqrt{6} \times \sqrt{3} = 3 \sqrt{2}$ D、 $\sqrt{6} + \sqrt{2} = 3$

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4. 为庆祝神舟十六号载人飞船发射成功，学校开展航天知识竞赛活动 $.$ 经过几轮筛选，八 $(2)$ 班决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表班级参加比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数 $($ 单位：分 $)$ 及方差 $($ 单位： $)$ 如表所示：

甲
乙
丙
丁
平均数
          $98$
          $96$
          $96$
          $98$
方差
          $0.2$
          $0.3$
          $1.2$
          $1.8$
如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 下列几组数中，不能构成直角三角形三边长的是（）

A、 $1$ ， $2$ ， $\sqrt{3}$ B、 $2$ ， $3$ ， $4$ C、 $3$ ， $4$ ， $5$ D、 $12$ ， $5$ ， $13$

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6. 在“双减政策”的推动下，某初级中学学生课后作业时长明显减少 $. 2022$ 年上学期每天作业平均时长为 $100$ 分钟，经过 $2022$ 年下学期和 $2023$ 年上学期两次调整后， $2023$ 年上学期平均每天作业时长为 $60$ 分钟 $.$ 设这两学期该校平均每天作业时长每期的下降率为 $x$ ，则可列方程为（）

A、 $60 (1 + x)^{2} = 100$ B、 $60 (1 + x^{2}) = 100$ C、 $100 (1 - x)^{2} = 60$ D、 $100 (1 - x^{2}) = 60$

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7. 若 $y = \sqrt{x - 2} + \sqrt{4 - 2 x} - 3$ ，则 $(x + y)^{2023}$ 等于（）

A、 $1$ B、 $5$ C、 $- 5$ D、 $- 1$

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8. 若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + k b + 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则一次函数 $y = k x + b$ 的大致图象可能是（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 现有一张平行四边形 $A B C D$ 纸片， $A D > A B$ ，要求用尺规作图的方法在边 $B C$ ， $A D$ 上分别找点 $M ， N$ ，使得四边形 $A M C N$ 为平行四边形，甲、乙两位同学的作法如图所示，下列判断正确的是（）

A、甲对、乙不对 B、甲不对、乙对 C、甲、乙都对 D、甲、乙都不对

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10. 如图，在边长为 $8$ 的正方形 $A B C D$ 中， $E$ 是对角线 $B D$ 上一点，且 $B E = B C$ ，点 $P$ 是 $C E$ 上一动点，则点 $P$ 到边 $B D$ ， $B C$ 的距离之和 $P M + P N$ 的值（）

A、是定值 $4 \sqrt{2}$ B、是定值 $8$ C、有最小值 $4 \sqrt{2}$ D、有最大值 $8$

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二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

11. 计算： $3 \sqrt{2} - \sqrt{8} =$ ．

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12. $x = 2$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + m x + 4 = 0$ 的解，则 $m$ 的值是．

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13. 在学校举行的“美丽南通，幸福家园”演讲比赛中，评委分别从演讲内容、演讲能力、演讲效果这三方面打分，小华这三项得分的成绩分别为 $88$ 分， $80$ 分， $85$ 分，最后再按照 $5$ ： $3$ ： $2$ 的得分比例计算最终得分，则小华的最终得分是分 $.$

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14. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上的一点，连结AE，把△ABE沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△CEB'为直角三角形时，CE的长为.

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三、解答题（本大题共7小题，共54.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 计算： $\sqrt{48} \div 2 \sqrt{3} - \sqrt{27} \times \frac{\sqrt{6}}{3} + 6 \sqrt{\frac{1}{2}}$ ．

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16. 用配方法解方程： $(x - 3) (x + 1) = 1$ ．

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17. 观察下列等式：
      $① x_{1} = \sqrt{1 + \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}}} = \frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{1 \times 2}$ ；
      $② x_{2} = \sqrt{1 + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}}} = \frac{7}{6} = 1 + \frac{1}{2 \times 3}$ ；
      $③ x_{3} = \sqrt{1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}}} = \frac{13}{12} = 1 + \frac{1}{3 \times 4}$ ；
      $\dots$

(1)、写出 $④ x_{4} =$   ；

(2)、猜想： $x_{n} =$   ；

(3)、由以上规律，计算 $x_{1} + x_{2} + x_{3} + \dots \dots + x_{2022} - 2023$ 的值．

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18. “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地 $A B C$ ，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点D是 $B C$ 边上的一点，过点D作垂直于 $A C$ 的小路 $D E$ ．经测量， $A B = 13$ 米， $A D = 12$ 米， $A C = 15$ 米， $B D = 5$ 米．

(1)、求 $D C$ 的长；

(2)、求小路 $D E$ 的长．

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19. 某商店以 $20$ 元 $/$ 千克的单价进货了一批商 $60$ 品，经调查发现，每天的销售量 $y ($ 千克 $)$ 与销售单价 $x ($ 元 $/$ 千克 $)$ 之间的函数关系如图中线段 $A B$ 所示．

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的函数表达式；

(2)、要让利给消费者且使每天的销售利润达到 $800$ 元，销售单价应定为每千克多少元？

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20. 为了加强对青少年防溺水安全教育，4月初某校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防溺水安全知识比赛．下面是从参赛学生中随机收集到的20名学生的成绩（单位：分）：
87 99 86 89 91 91 95 96 87 97

91 97 96 86 96 89 100 91 99 97

整理数据：

成绩（分）

86

87

89

91

95

96

97

99

100

学生人数（人）

2

2

2

4

1

3

3

2

1

分析数据：

平均数

众数

中位数

93

a

b

解决问题：

(1)、直接写出：上面表格中的 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、若成绩达到95分及以上为“优秀”等级，求“优秀”等级所占的百分率为；

(3)、请估计该校1500名学生中成绩达到95分及以上的学生人数．

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21. 定义：在三角形中，若有两条中线互相垂直，则称该三角形为中垂三角形．

(1)、如图 $(a)$ ， $△ A B C$ 是中垂三角形， $B D$ ， $A E$ 分别是 $A C$ ， $B C$ 边上的中线，且 $B D ⊥ A E$ 于点 $O$ ，若 $∠ B A E = 45 °$ ，求证： $△ A B C$ 是等腰三角形．

(2)、如图 $(b)$ ，在中垂三角形 $A B C$ 中， $A E$ ， $B D$ 分别是边 $B C$ ， $A C$ 上的中线，且 $A E ⊥ B D$ 于点 $O$ ，求证： $A C^{2} + B C^{2} = 5 A B^{2}$ ．

(3)、如图 $(c)$ ，四边形 $A B C D$ 是菱形，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，点 $M$ ， $N$ 分别是 $O A$ ， $O D$ 的中点，连接 $B M$ ， $C N$ 并延长，交于点 $E .$ 求证： $△ B C E$ 是中垂三角形；

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	甲	乙	丙	丁
平均数	$98$	$96$	$96$	$98$
方差	$0.2$	$0.3$	$1.2$	$1.8$

成绩（分）	86	87	89	91	95	96	97	99	100
学生人数（人）	2	2	2	4	1	3	3	2	1

平均数	众数	中位数
93	a	b