人教版2023-2024学年九年级上学期期中数学模拟试题（六）

试卷更新日期：2023-10-15 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $x^{2} - x - 10 = 0$ 的两个实根，则 ${x_{1}}^{3} - 10 x_{1} + x_{2}$ 的值为（）

A、9 B、10 C、11 D、21

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2. 下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $x^{2} - y^{2} - 3 = 0$ B、 $\frac{1}{5} x^{2} - x - 3 = 0$ C、 $a x^{2} - y - 3 = 0$ D、 $x^{2} - y - 3 = 0$

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3. 若一元二次方程 $5 x - 1 = 4 x^{2}$ 的两根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则 $x_{1} \cdot x_{2}$ 的值等于（）

A、1 B、 $\frac{1}{4}$ C、 $- \frac{1}{4}$ D、 $\frac{5}{4}$

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4. 不论x，y取何值，代数式 $9 x^{2} + 4 y^{2} + 6 x - 8 y + 2$ 的值（）

A、总不小于-3 B、总不大于-3 C、总大于2 D、总小于2

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5. 关于二次函数y＝-x²+2x的最值，下列叙述正确的是（　　）

A、当x＝2时，y有最小值0 B、当x＝2时，y有最大值0 C、当x＝1时，y有最小值1 D、当x＝1时，y有最大值1

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6. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1$ （ $a$ 为常数，且 $a > 0$ ）的图象上有三点 $A (- 2 ， y_{1})$ ， $B (1 ， y_{2})$ ， $C (3 ， y_{3})$ ，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$ C、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ D、 $y_{2} < y_{3} < y_{1}$

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7. 已知A(−3，−2) ，B(1，−2)，抛物线y=ax²+bx+c(a>0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥−2 ；
②当x>0时，一定有y随x的增大而增大；
③若点D横坐标的最小值为−5，点C横坐标的最大值为3；
④当四边形ABCD为平行四边形时，a= $\frac{1}{2}$ ．
其中正确的是（）

A、①③ B、②③ C、①④ D、①③④

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8. 二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x＝1，下列结论中错误的是（　　）

A、abc＜0 B、2a+b＝0 C、b²-4ac＞0 D、a-b+c＞0

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9. 已知点A是抛物线 $y = x^{2} - 8 x + 13$ 图象的顶点，点A和点 $B$ 关于原点成中心对称，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(4 ， 3)$ B、 $(- 4 ， 3)$ C、 $(- 4 ， - 3)$ D、 $(- 3 ， 4)$

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10. 如图， $R t △ A B C$ 中，已知 $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 50 °$ ，点D在 $A C$ 边上，线段 $A D$ 绕着点 $D$ 逆时针旋转 $α$ （ $0 ° < α < 180 °$ ）后，如果点A恰好落在 $A B$ 边上，那么 $α$ 的度数是（）

A、50° B、60° C、80° D、120°

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二、填空题

11. 关于 $x$ 的方程 $(m - 2) x^{m^{2} - 2} - x - 1 = 0$ 是一元二次方程，则 $m =$ .

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12. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3$ 与x轴的公共点是 $（ - 1 ， 0 ）$ ， $（ - 3 ， 0 ）$ ，该抛物线的对称轴是直线．

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13. 已知点 $A (- 1 ， y_{1})$ 、 $B (2 ， y_{2})$ 、 $C (4 ， y_{3})$ 都在抛物线 $y = a x^{2} - 2 a x + c (a > 0)$ 上，那么 $y_{1}$ 、 $y_{2}$ 、 $y_{3}$ 的大小关系是．（用“<”连接）

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14. 若点A(4，n)与点B(－m，6)关于原点对称，则m＋n＝．

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15. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C A B = 75 °$ ，在同一平面内将 $△ A B C$ 绕点A旋转到 $△ A B^{'} C^{'}$ 位置，使得 $C C^{'} ∥ A B$ ．则 $∠ B A B^{'} =$ ．

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三、解答题

16. 小敏与小霞两位同学解方程

3 (x - 3) = {(x - 3)}^{2}

的过程如下框：

小敏：

两边同除以 $(x - 3)$ ，得

$3 = x - 3$ ，

则 $x = 6$ ．

小霞：

移项，得 $3 (x - 3) - {(x - 3)}^{2} = 0$ ，

提取公因式，得 $(x - 3) (3 - x - 3) = 0$ ．

则 $x - 3 = 0$ 或 $3 - x - 3 = 0$ ，

解得 $x_{1} = 3$ ， $x_{2} = 0$ ．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若不正确请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

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17. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x - (2 m - 1) = 0$ 有实数根，且 $m$ 为非正整数．求 $m$ 的值及此时方程的根．

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18. 已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求二次函数的解析式.

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， ∠ B = 20 °$ ，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $25 °$ 得到 $△ A D E$ ， $A D$ 交 $B C$ 于点F．若 $A E = 3$ ，求 $A F$ 的长．

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四、综合题

20. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m - 1) x + (m - 2) = 0$ .

(1)、求证：无论 $m$ 取何值，方程总有实数根；

(2)、已知方程有一根大于6，求 $m$ 的取值范围.

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21. 阅读以下文字并解决问题：对于形如 $x^{2} + 2 a x + a^{2}$ 这样的二次三项式，我们可以直接用公式法把它分解成 $(x + a)^{2}$ 的形式，但对于二次三项式 $x^{2} + 6 x - 27$ ，就不能直接用公式法分解了．此时，我们可以在 $x^{2} + 6 x - 27$ 中间先加上一项 $9$ ，使它与 $x^{2} + 6 x$ 的和构成一个完全平方式，然后再减去 $9$ ，则整个多项式的值不变．即： $x^{2} + 6 x - 27 = (x^{2} + 6 x + 9) - 9 - 27 = (x + 3)^{2} - 6^{2} = (x + 3 + 6) (x + 3 - 6) = (x + 9) (x - 3)$ ，像这样，把一个二次三项式变成含有完全平方式的形式的方法，叫做配方法．

(1)、利用“配方法”因式分解： $x^{2} + 4 x y - 5 y^{2}$

(2)、如果 $a^{2} + 2 b^{2} + c^{2} - 2 a b - 6 b - 4 c + 13 = 0$ ，求 $a + b + c$ 的值．

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22. 某学校九年级的一场篮球比赛中，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高 $\frac{20}{9}$ m，与篮圈中心的水平距离为7m，当球出手后水平距离为4m时到达最大高度4m.如图，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3m.

(1)、建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？

(2)、此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1m，那么他能否获得成功？

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23. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 $O A B C$ 的顶点 $A (0 ， 3)$ ， $C (- 1 ， 0) .$ 将矩形 $O A B C$ 绕原点顺时针旋转 $90 °$ ，得到矩形 $O A^{'} B^{'} C^{'}$ ，设直线 $B B^{'}$ 与 $x$ 轴交于点 $M$ 、与 $y$ 轴交于点 $N$ ，抛物线 $y = a x^{2} + 2 x + c$ 的图象经过点 $C$ 、 $M$ 、 $N$ .

(1)、点 $B$ 的坐标为，点 $B^{'}$ 的坐标为；

(2)、求抛物线的解析式；

(3)、求 $△ C M N$ 的面积.

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