【浙教版】2023~2024学年八年级上册期中考试数学卷（一）

试卷更新日期：2023-10-13 类型：期中考试

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一、选择题

1. 下列图标是节水、绿色食品、回收、节能的标志，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列长度的三条线段，首尾顺次相连能组成三角形的是（）

A、 $2 ， 3 ， 6$ B、 $4 ， 4 ， 8$ C、 $5 ， 9 ， 14$ D、 $6 ， 12 ， 13$

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3. 若点 $A (m - n, m - 2 n)$ 与点 $B (m - 3 n, 1 - \frac{1}{2} m)$ 关于 $y$ 轴对称，则点 $P (m, n)$ 所在象限为（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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4. 某品牌自行车进价为每辆800元，标价为每辆1 200元．店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润率不低于 $5 %$ ，则最多可打（）折．

A、六 B、七 C、八 D、九

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5. 根据下列已知条件，能画出惟一的△ABC的是（）

A、AB=3cm，BC=7cm，AC=4cm B、AB=3cm，BC=7cm，∠C=40° C、∠A=30°，AB=3cm，∠B=100° D、∠A=30°，∠B=100°，∠C=50°

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6. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D.若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为（）

A、15 B、30 C、45 D、60

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7. 下列命题：①全等三角形的对应角相等；②线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；③等腰三角形的两个底角相等．其中逆命题是真命题的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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8. 如图， $A F / / C D$ ， $C B$ 平分 $∠ A C D$ ， $B D$ 平分 $∠ E B F$ ，且 $B C ⊥ B D$ ，下列结论：
$① B C$ 平分 $∠ A B E$ ； $② A C / / B E$ ； $③ ∠ C B E + ∠ D = 90 °$ ； $④ ∠ D E B = 2 ∠ A B C$ ，其中正确的有（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ 交AC于点D，且 $B D ⊥ A C$ ， F在BC上，E为AF的中点，连接DE，若 $B F = D E$ ， $A C = 2 \sqrt{3} D E$ ， $B D = 6$ ，则AB的长为（）

A、 $3 \sqrt{6}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{42}$ D、9

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10. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y $= \sqrt{3}$ x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连接OP，则OP+AP的最小值为（　　）

A、6 B、4 $\sqrt{3}$ C、8 D、6 $\sqrt{3}$

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二、填空题

11. 已知a，b，c是 $△ A B C$ 的三条边长，化简 $| a + b - c | + | a - b - c |$ 的结果为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ 1 = 100 °$ ， $∠ C = 80 °$ ， $∠ 2 = \frac{1}{2} ∠ 3$ ， $B E$ 平分 $∠ A B C .$ 则 $∠ 4$ 的度数为．

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13. 如图，已知圆柱的底面直径 $B C$ 为 $\frac{6}{π}$ ，高 $A B$ 为5，一只小虫在圆柱表面爬行，从C点爬到A点，则这只小虫爬行的最短路程是．

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14. 如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E和点N在BC上，则∠EAN= ．

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15. 关于x的不等式组 ${\begin{cases} 2 x - 3 \leq 5 \\ - x + a < 2 \end{cases}$ 只有4个整数解，则a的取值范围是．

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16. $R t △ A B C$ 中，点D是斜边 $A B$ 的中点．

(1)、如图1，若 $D E ⊥ B C$ 于E， $D F ⊥ A C$ 于F， $D E = 3$ ， $D F = 4$ ，则 $A B =$ ；

(2)、如图2，若点P是 $C D$ 的中点，且 $C P = \frac{5}{2}$ ， $P A^{2} + P B^{2} =$ ．

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三、计算题

17. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：

(1)、 ${\begin{array}{l} x + 1 > 0 \\ 10 - 2 x > 0 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 5 x - 1 > 3 (x + 1) \\ \frac{2 x - 1}{3} - \frac{5 x + 1}{2} \leq 1 \end{array}$

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四、作图题

18. 如图，在3×6的方格纸中，已知格点P和线段AB.

⑴画一个锐角三角形（顶点均在格点上且不与点A，B重合），使P为其中一边的中点.
⑵再画出该三角形关于直线AB对称的图形.

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五、解答题

19. 已知：如图，点 $D$ 为线段 $B C$ 上一点， $B D = A C$ ， $∠ E = ∠ A B C$ ， $D E ∥ A C$ ．求证： $D E = B C$ ．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $B C$ 延长线上一点，满足 $C D = B A$ ，过点 $C$ 作 $C E / / A B$ ，且 $C E = B C$ ，连接 $D E$ 并延长，分别交 $A C$ ， $A B$ 于点 $F$ ， $G$ ．

(1)、求证： $△ A B C$ ≌ $△ D C E$ ；

(2)、若 $B D = 12$ ， $A B = 2 C E$ ，求 $B C$ 的长度．

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21. 某旅游景点的一个商场为了抓住国庆节长假这一旅游旺季的商机，决定购进甲，乙两种纪念品，若购进甲种纪念品1件、乙种纪念品2件，需要160元；购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要280元.

(1)、购进甲乙两种纪念品每件各需要多少元?

(2)、该商场决定购进甲乙两种纪念品共100件，并且考虑市场需求和资金周转，用于购买这些纪念品的资金不少于6000元，同时甲种纪念品又不能超过60件，则该商场共有几种进货方案?

(3)、若销售每件甲种纪念品可获利30元，每件乙种纪念品可获利12元，在第（2）问中的各种进货方案中，哪种方案获利最大?最大利润是多少元?

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22. 下面是小明同学证明定理时使用的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 $30 °$ ，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ．求证： $B C = \frac{1}{2} A B$ ．
方法一证明：如图，延长 $B C$ 到点 $D$ ，使得 $C D = B C$ ，连接 $A D$ ．	方法二证明：如图，在线段 $A B$ 上取一点 $D$ ，使得 $B D = B C$ ，连接 $C D$ ．

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23. 已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B M ⊥ A C$ 于点M，点D在直线 $B C$ 上， $D E ⊥ A B$ ，垂足为点E， $D F ⊥ A C$ ，垂足为点F．

(1)、如图1，点D在边 $B C$ 上时，小明同学利用①三角形全等知识和②图形等面积法两种方法发现了 $D E$ ， $D F$ ， $B M$ 三线段之间的数量关系，请直接写出三线段之间的数量关系是；

(2)、如图2，图3，当点D在点B左边或者在点C右边的直线上时，问题（1）中 $D E$ ， $D F$ ， $B M$ 三线段的数量关系是否还成立？若成立请选择一个图形进行证明，若不成立，请在图2或图3中选择一个图形，写出三线段新的数量关系，并进行证明．

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24. 已知 $△ A B C$ ．

(1)、如图1，按如下要求用尺规作图：
①作出 $△ A B C$ 的中线 $C D$ ；
②延长 $C D$ 至E，使 $D E = C D$ ，连接 $A E$ ；（不要求写出作法，但要保留作图痕迹．）

(2)、如图2，若 $∠ A C B = 90 ° ， C D$ 是中线．试探究 $C D$ 与 $A B$ 之间的数量关系，并说明理由；

(3)、如图3，若 $∠ A C B = 45 ° ， A C = B C ， C D$ 是 $△ A B C$ 的中线，过点B作 $B E ⊥ A C$ 于E，交 $C D$ 于点F，连接 $D E$ ．若 $C F = 4$ ，求 $D E$ 的长．

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