浙江省衢州市2023年中考数学试卷

试卷更新日期：2023-10-13 类型：中考真卷

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一、选择题(本题共有10小题,每小题3分,共30分)

1. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强(午位： $d B m$ )，则下列信号最强的是（）

A、-50 B、-60 C、-70 D、-80

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2. 如图是国家级非物质文化遗产衢州莹白瓷的直口杯，它的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列运算，结果正确的是（）

A、 $3 a + 2 a = 5 a^{2}$ B、 $3 a - 2 a = 1$ C、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ D、 $a \div a^{2} = a$

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4. 某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为(单位：元)：30，50，50，60，60.若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（）

A、平均数 B、中位数 C、众数 D、方差

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5. 下列各组数满足方程 $2 x + 3 y = 8$ 的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x = 1 ， \\ y = 2 . \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} x = 2 ， \\ y = 1 . \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = - 1 ， \\ y = 2 . \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} x = 2 ， \\ y = 4 . \end{array}$

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6. 如图是脊柱侧弯的检测示意图，在体检时为方便测出Cobb角 $∠ O$ 的大小，需将 $∠ O$ 转化为与它相等的角，则图中与 $∠ O$ 相等的角是（）

A、 $∠ B E A$ B、 $∠ D E B$ C、 $∠ E C A$ D、 $∠ A D O$

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7. 如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E.分别以点D，E为圆心，大于 $\frac{1}{2} D E$ 长为半径画弧，交于∠BAC内一点F.连结AF并延长，交BC于点G，连结DG，EG.添加下列条件，不能使BG=CG成立的是（）

A、 $A B = A C$ B、 $A G ⊥ B C$ C、 $∠ D G B = ∠ E G C$ D、 $A G = A C$

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8. 某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均每人传染了 $x$ 人，则可得到方程（）

A、 $x + (1 + x) = 36$ B、 $2 (1 + x) = 36$ C、 $1 + x + x (1 + x) = 36$ D、 $1 + x + x^{2} = 36$

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9. 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆 $B C = \sqrt{2} a ， A B = b ， A B$ 的最大仰角为 $α$ .当 $∠ C = 4 5^{°}$ 时，则点 $A$ 到桌面的最大高度是（）

A、 $a + \frac{b}{c o s α}$ B、 $a + \frac{b}{s i n α}$ C、 $a + b c o s α$ D、 $a + b s i n α$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} - 4 a x (a$ 是常数， $a < 0)$ 的图象上有 $A (m ， y_{1})$ 和 $B (2 m ， y_{2})$ 两点.若点A，B都在直线 $y = - 3 a$ 的上方，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $1 < m < \frac{3}{2}$ B、 $\frac{4}{3} < m < 2$ C、 $\frac{4}{3} < m < \frac{3}{2}$ D、 $m > 2$

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二、填空题(本题共有6小题,每小题4分,共24分)

11. 计算： $\sqrt{4} - \sqrt{1} =$ ．

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12. 衢州飞往成都每天有2趟航班.小赵和小黄同一天从衢州飞往成都，如果他们可以选择其中任一航班，则他们选择同一航班的概率等于.

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13. 在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若点 $A$ 的坐标为 $(0 ， 1)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(2 ， 2)$ ，则点 $C$ 的坐标为.

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14. 如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形.当䝳盘正立且紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 $c m$ .

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15. 如图，点A，B在 $x$ 轴上，分别以OA，AB为边，在 $x$ 轴上方作正方形OACD，ABEF.反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象分别交边CD，BE于点P，Q.作 $P M ⊥ x$ 轴于点 $M ， Q N ⊥ y$ 轴于点 $N$ .若 $O A = 2 A B ， Q$ 为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则 $k$ 的值为.

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16. 下面是勾股定理的一种证明方法：图1所示纸片中， $∠ A C B = 9 0^{°} (A C < B C)$ ，四边形ACDE，CBFG是正方形.过点C，B将纸片CBFG分别沿与AB平行、垂直两个方向剪裁成四部分，并与正方形 $A C D E ， △ A B C$ 拼成图2.

(1)、若 $c o s ∠ A B C = \frac{3}{4} ， △ A B C$ 的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为.

(2)、若 $\frac{P Q}{B Q} = \frac{19}{15}$ ，则 $\frac{B K}{A K} =$ .

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三、解答题(本题共有8小题,第 rId164 小题每小题6分,第 rId166 小题每小题8分,第 rId168 23小题每小题10分,第24小题12分,共66分.请务必写出解答过程

17.

(1)、计算： $(a + 2) (a - 2)$ .

(2)、化简： $\frac{a^{2} - 4}{a + 2} + 2$ .

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18. 小红在解方程 $\frac{7 x}{3} = \frac{4 x - 1}{6} + 1$ 时，第一步出现了错误：

(1)、请在相应的方框内用横线划出小红的错误处.

(2)、写出你的解答过程.

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19. 已知：如图，在 $△ A B C$ 和 $△ D E F$ 中， $B ， E ， C ， F$ 在同一条直线上.下面四个条件：
① $A B = D E$ ② $A C = D F$ ；③ $B E = C F$ ；④ $∠ A B C = ∠ D E F$

(1)、请选择其中的三个条件，使得△ABC≌△DEF(写出一种情况即可).

(2)、在(1)的条件下，求证：△ABC≌△DEF.

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20. 【数据的收集与整理】
根据国家统计局统一部署﹐衢州市统计局对2022年我市人口变动情况进行了抽样调查，抽样比例为5‰.根据抽样结果推算，我市2022年的出生率为5.5‰，死亡率为8‰，人口自然增长率为-2.5‰，常住人口数为 $a$ 人(‰来示千分号).

(数据来源：衢州市统计局)【数据分析】

(1)、请根据信息推测人口自然增长率与出生率、死亡率的关系.

(2)、已知本次调查的样本容量为11450，请推算 $a$ 的值.

(3)、将我市及全国近五年的人口自然增长率情况绘制成如下统计图.根据统计图分析：

①对图中信息作出评判(写出两条).

②为扭转目前人口自然增长率的趋势，请给出一条合理化建议.

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21. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{°} ， O$ 为AC边上一点，连结OB.以OC为半径的半圆与AB边相切于点 $D$ ，交AC边于点 $E$ .

(1)、求证： $B C = B D$ .

(2)、若 $O B = O A ， A E = 2$ .
①求半圆 $O$ 的半径.

②求图中阴影部分的面积.

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22. 视力表中蕴含着很多数学知识，如：每个“

”形图都是正方形结构，同一行的“

”是全等图形且对应着同一个视力值，不同的检测距离需要不同的视力表.

素材1国际通用的视力表以5米为检测距离，任选视力表中7个视力值 $n$ ，测得对应行的“”形图边长 $b (m m)$ ，在平面直角坐标系中描点如图1.

探究1检测距离为5米时，归纳 $n$ 与 $b$ 的关系式，并求视力值1.2所对应行的“”形图边长.

素材2图2为视网膜成像示意图，在检测视力时，眼晴能看清最小“”形图所成的角叫做分辨视角 $θ$ .视力值 $n$ 与分辨视角 $θ$ (分)的对应关系近似满足 $n = \frac{1}{θ} (0.5 ⩽ θ ⩽ 10$ ).

探究2当 $n ⩾ 1.0$ 时，属于正常视力，根据函数增减性写出对应的分辦视角 $θ$ 的范围.

素材3如图3，当 $θ$ 确定时，在 $A$ 处用边长为 $b_{1}$ 的 $I$ 号“”测得的视力与在 $B$ 处用边长为 $b_{2}$ 的Ⅱ号“”测得的视力相同.

探究3若检测距离为3米，求视力值1.2所对应行的“”形图边长.

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23. 某龙舟队进行500米直道训练，全程分为启航，途中和冲刺三个阶段.图1，图2分别表示启航阶段和途中阶段龙舟划行总路程 $s (m)$ 与时间 $t (s)$ 的近似函数图象.启航阶段的函数表达式为 $s = k t^{2} (k \neq 0)$ ；途中阶段匀速划行，函数图象为线段；在冲刺阶段，龙舟先加速后匀速划行，加速期龙舟划行总路程 $s (m)$ 与时间 $t (s)$ 的函数表达式为 $s = k (t - 70)^{2} + h (k \neq 0)$ .

(1)、求出启航阶段 $s (m)$ 关于 $t (s)$ 的函数表达式(写出自变量的取值范围).

(2)、已知途中阶段龙舟速度为 $5 m / s$ .
①当 $t = 90 s$ 时，求出此时龙舟划行的总路程.
②在距离终点125米处设置计时点，龙舟到达时， $t ⩽ 85.20 s$ 视为达标.请说明该龙舟队能否达标.

(3)、冲刺阶段，加速期龙舟用时 $1 s$ 将速度从 $5 m / s$ 提高到 $5.25 m / s$ ，之后保持匀速划行至终点.求该龙舟以完成训练所需时间(精确到 $0.01 s$ ).

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24. 如图1，点 $O$ 为矩形ABCD的对称中心， $A B = 4 ， A D = 8$ ，点 $E$ 为AD边上一点 $(0 < A E < 3)$ ，连结EO并延长，交BC于点 $F$ .四边形ABFE与 $A^{^{'}} B^{^{'}} F E$ 关于EF所在直线成轴对称，线段 $B^{^{'}} F$ 交AD边于点 $G$ 。

(1)、求证： $G E = G F$ .

(2)、当 $A E = 2 D G$ 时，求AE的长.

(3)、令AE=a，DG=b.
①求证：(4-a)(4-b)=4.

②如图2，连结 $O B^{^{'}} ， O D$ ，分别交 $A D ， B^{^{'}} F$ 于点H，K.记四边形OKGH的面积为 $S_{1}$ ， $△ D G K$ 的面积为 $S_{2}$ .当 $a = 1$ 时，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值.

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