沪科版数学八年级上册第12章一次函数章节培优拓展练习

试卷更新日期：2023-10-12 类型：同步测试

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一、选择题

1. 下列对一次函数y＝ax+4x+3a﹣2（a为常数，a≠﹣4）的图象判断正确的是（）

A、图象一定经过第二象限 B、若a＞0，则其图形一定过第四象限 C、若a＞0，则y的值随x的值增大而增大 D、若a＜4，则其图象过一、二、四象限

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2. 定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝ ${\begin{array}{l} - 2 x + 4 (x \geq m) \\ 2 x + 4 (x < m) \end{array}$ 叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝ ${\begin{array}{l} - 2 x + 4 (x \geq 1) \\ 2 x + 4 (x < 1) \end{array}$ 与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（）

A、0≤m≤ $\frac{4}{3}$ B、－2＜m≤ $\frac{4}{3}$ C、－2＜m≤2 D、－4＜m＜0

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3. 为培养同学们的创新精神，某校举办校园科技节活动，八年级同学进行了机器人行走性能试验．在试验场地有A，B，C三点顺次在同一笔直的赛道上，甲、乙两机器人分别从A，B两点同时同向出发，历时8分钟同时到达C点，乙机器人始终以60米/分的速度行走，如图是甲、乙两机器人之间的距离y（米）与它们的行走时间x（分钟）之间的函数图象，若前3.5分钟甲机器人的速度不变，则出发（）分钟后两机器人最后一次相距6米．

A、6 B、6.4 C、6.8 D、7.2

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4. 甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（）
①甲登山的速度是每分钟10米；②乙在A地时距地面的高度b为30米；③乙登山 $5.5$ 分钟时追上甲；④登山时间为4分钟、9分钟、13分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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5. 已知点A（-1，3），点B（-1，-4），若常数a使得一次函数y=ax+1与线段AB有交点，且使得关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{4}{5} (\frac{5}{4} x + 3) \geq 6 \\ x - a < - \frac{2}{5} \end{array}$ 无解，则所有满足条件的整数a的个数为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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二、填空题

6. 已知当 $- 2 \leq x \leq 3$ 时，函数 $y = | 2 x - m |$ （其中m为常量）的最小值为 $2 m - 54$ ，则m= ．

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7. 如果不论k为何值，一次函数y= $\frac{2 k - 1}{k + 3} x - \frac{k - 11}{k + 3}$ 的图象都经过一定点，则该定点的坐标是．

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8. 如图，直线 $y = - x + 3$ 与 $x$ ， $y$ 交于 $B$ ， $C$ 两点，在 $△ O B C$ 内依次向右作正方形，使一边在 $x$ 轴上，一个顶点在 $B C$ 边上，作第1个正方形 $O B_{1} C_{1} A_{1}$ ，点 $A_{1}$ 在 $y$ 轴上，从第2个正方形开始，第四个顶点在相邻较大正方形的边上，第2个正方形 $B_{1} B_{2} C_{2} A_{2}$ ，第3个正方形 $B_{2} B_{3} C_{3} A 3$ ⋯⋯，则第 $n$ 个正方形边长是．

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三、解答题

9. “武汉梦时代”为全球最大的纯商业体，总建筑面积约 $79.94$ 万平方米，该商业体有甲、乙两商场，甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过a元后，超出a元的部分按 $85 %$ 收费；在乙商场累计购物金额超过b元后，超出b元的部分按 $90 %$ 收费，已知 $a > b$ ，顾客累计购物金额为x元（顾客只能选择一家商场）．

(1)、若 $a = 200$ ， $b = 160$ ，
①当 $x = 300$ 时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元；
②若 $x > 200$ ，那么当 $x =$ 时，到甲或乙商场实际花费一样；

(2)、经计算发现：当 $x = 120$ 时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠1元；当 $x = 200$ 时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出a，b的值；

(3)、若 $x = 180$ 时，到甲或乙商场实际花费一样， $a < 180$ ， $b < 180$ 且 $160 \leq a + b \leq 235$ ，请直接写出 $a - b$ 的最大值．

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10. 已知点 $M$ 和图形 $W$ ， $Q$ 为图形 $W$ 上一点，若存在点 $P$ ，使得点 $M$ 为线段 $P Q$ 的中点 $(P ， Q$ 不重合 $)$ ，则称点 $P$ 为图形 $W$ 关于点 $M$ 的倍点．
如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (- 1 ， 1)$ ， $B (- 1 ， - 1)$ ， $C (1 ， - 1)$ ， $D (1 ， 1)$ ．

(1)、若点 $M$ 的坐标为 $(2 ， 0)$ ，则在 $P_{1} (3 ， 0)$ ， $P_{2} (4 ， 2)$ ， $P_{3} (5 ， 1)$ 中，是正方形 $A B C D$ 关于点 $M$ 的倍点的是；

(2)、点 $N$ 的坐标为 $(2 ， t)$ ，若在第一三象限的角平分线才存在正方形 $A B C D$ 关于点 $N$ 的倍点，求 $t$ 的取值范围；

(3)、已知点 $E (0 ， b)$ ， $F (- b ， 0)$ ，若线段 $E F$ 上的所有点均可成为正方形 $A B C D$ 关于其边上某一点的倍点，直接写出点 $b$ 的取值范围．

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11. 如图，已知直线 $l_{1} ： y = - x + t$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ ，将直线 $l_{1}$ 沿 $y$ 轴向上平移7个单位得到直线 $l_{2} l_{2}$ 分别交 $x$ 轴、 $y$ 轴于点 $B 、 C$ ，且点 $C$ 的坐标为 $(0 ， 6)$ ，点 $P$ 为线段BC上一点，连接OP.

(1)、求点 $A$ 和点 $B$ 的坐标；

(2)、是否存在点 $P$ ，使得OP将 $△ O B C$ 的面积分为1：2的两部分?若存在，求出A，P两点所在直线的函数表达式；若不存在，请说明理由.

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12. 如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度 $y (c m)$ 与注水时间 $x (m i n)$ 之间的关系如图2.根据图象提供的信息，解答下列问题：

(1)、图2中折线 $A B C$ 表示槽中水的深度与注水时间之间的关系，线段 $D E$ 表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空填“甲”或“乙”），槽中铁块的高度是 $c m$ ；

(2)、注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同；

(3)、若乙槽底面积为 $30 c m^{2}$ （壁厚不计），求乙槽中铁块的体积.

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13. 为了更好的做好疫情防控工作，区教育局准备为辖区内中小学及幼儿园购买一批立式红外线测温仪．已知购买3个A品牌测温仪和2个B品牌测温仪共需310元，购买2个A品牌测温仪和1个B品牌测温仪共需180元．

(1)、求A、B两种品牌的立式红外线测温仪销售单价各是多少元？

(2)、区教育局决定购进A、B两种品牌测温仪共50个．恰逢生产厂家对两种品牌测温仪的售价进行调整．A品牌测温仪售价提高了10%，B品牌测温仪按九折出售．如果区教育局准备购买A、B两种品牌测温仪的总费用不超过3250元，则至少购买A品牌测温仪多少个？

(3)、在（2）的条件下，如果购买A品牌的测温仪不超过23个．求怎样购买总费用最低？最低费用多少元？

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14. 小明从学校步行去美术馆，同时小红骑车从美术馆回学校，两人都沿同一条路直线运动，小红回到学校停留三分钟后又以同样的速度去美术馆，小明的速度是80米/分钟，如图是两人与学校的距离s（米）与小明的运动时间t（分钟）之间的关系图．

(1)、学校与美术馆之间的距离为米；

(2)、求小红停留再出发后s与t的关系式；

(3)、请直接写出小明和小红在途中相遇时小明的运动时间．

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15. 有A、B两个港口，水由A流向B，水流的速度是3千米/时，甲船由 $A$ 顺流驶向B，乙船同时由B逆流驶向A，各自不停地在A、B之间往返航行．甲在静水中的速度是21千米/时，乙在静水中的速度是15千米/时；甲、乙同时出发，设行驶的时间为 $t$ 小时，甲船距B港口的距离为 $S_{1}$ 千米，乙船距B港口的距离为 $S_{2}$ 千米；如图为 $S_{1}$ （千米）和 $t$ （小时）关系的部分图像；

(1)、A、B两港口的距离是千米；

(2)、求甲船在A、B两个港口之间往返一次 $S_{1}$ （千米）和 $t$ （小时）所对应的关系式；

(3)、在图中画出乙船从出发到第一次返回B港口这段时间内， $S_{2}$ （千米）和 $t$ （小时）的关系图象；

(4)、直接写出甲、乙两船第二次相遇时距离B港口的距离是多少？

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16. 在平面直角坐标系中，点 $A (a ， 1) ， B (b ， 3)$ 满足关系式 $\sqrt{a + 1} + | a + b - 1 | = 0$ ．

(1)、求a、b的值；

(2)、若点 $P (3 ， n)$ 满足三角形 $A B P$ 的面积等于3，求n的值；

(3)、点 $M (m ， 0)$ 在x轴上，记三角形 $A B M$ 的面积为S，若 $1 < S < 5$ ，请直接写出m的取值范围．

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17. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，A(-2，0)， $B$ 是 $y$ 轴负半轴上的一点，将线段 $A B$ 平移到第一象限内，且 $A$ ， $B$ 的对应点分别为C(1，t)， $D$ ，连接 $A C$ 交 $y$ 轴于点 $E$ .

(1)、若 $t = 3$ 时，求三角形 $A O C$ 的面积；

(2)、若三角形 $A B E$ 的面积为3，求点 $B$ 的坐标；（用含 $t$ 的式子表示）

(3)、在（2）的条件下，求 $t$ 的取值范围.

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四、综合题

18. 如图，在平面直角坐标系

x O y

中，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，表格列举的是直线l上的点

P (x ， y)

的取值情况．

x	…	$- 1$	0	1	2	3	4	5	…
y	…	5	4	3	2	1	0	$- 1$	…

(1)、观察表格，直接写出直线l上的点

P (x ， y)

的横坐标x与纵坐标y之间的数量关系为；

(2)、若点

C (m ， n)

在第一象限，且满足

△ A B C

的面积为6，求点

C (m ， n)

的横、纵坐标满足的数量关系；

(3)、在（2）的条件下，直线

O C

与直线

A B

相交于点D，若三角形

A O C

的面积不大于三角形

B C D

的面积，求点

C (m ， n)

的横坐标m的取值范围．

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19. 如图1， $A$ ， $B$ 两地之间有一条笔直的公路， $C$ 地位于 $A$ ， $B$ 之间，甲、乙两人同时出发，甲从 $A$ 地骑自行车匀速去 $B$ 地，途经 $C$ 地休息1分钟，继续按原速从 $C$ 地返回至 $A$ 地后停止；乙匀速步行从 $B$ 地前往 $A$ 地．甲、乙两人各自距 $C$ 地的路程 $y_{甲}$ 、 $y_{乙}$ （米）与时间 $x$ （分）之间的函数关系如图2所示，请结合图象解答下列问题：

图1 图2

(1)、 $a =$ ； $b =$ ； $c =$ ；

(2)、求甲、乙两人第一次相遇的时间；

(3)、在甲从 $C$ 地返回 $A$ 地的过程中，当 $x$ 为何值时，甲、乙两人之间的距离200米．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，给出以下定义：对于x轴上点M（a，0）（其中a为正整数）与坐标平面内一点N，若y轴上存在点T，使得 $∠ M T N = 90^{\circ}$ ，且 $M T = N T$ ，则称点N为a宝点，如示例图，我们可知点N（-1，0）为1宝点，理由如下：在x轴上取点M（1，0），以MN为斜边作等腰直角三角形MNT，可以算得一个点T（0，1），它是在y轴上的，因此点N（-1，0）为1宝点．

(1)、如图①，在点A（2，0），B（2，-2），C（0，1），D（-2，0）中，2宝点是点．（填“A”“B”“C”或“D”）

(2)、如图①，点M（4，0），T（0，3），若N为4宝点，求点N的坐标．

(3)、如图②，若一次函数 $y = 3 x - 2$ 的图象上存在2宝点，求这个2宝点的坐标

(4)、若一次函数 $y = k x + b (k \neq 0)$ 图象上存在无数个3宝点，请直接写出该一次函数的解析式．

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21. 探究通过维修路段的最短时长．
素材1：如图1，某路段(A-B-C-D 段)需要维修，临时变成双向交替通行，故在A，D处各设置红绿灯指导交通(仅设置红灯与绿灯)．

素材2：甲车先由A→D通行，乙车再由D→A通行，甲车经过AB，BC，CD段的时间分别为10s，10s，8s，它的路程y (m)与时间t(s)的关系如图2所示；两车经过BC段的速度相等，乙车经过AB段的速度是10m/s．

素材3：红绿灯1，2每114秒一个循环，每个循环内红灯、绿灯的时长如图3，且每次双向红灯时，已经进入AD段的车辆都能及时通过该路段．

[任务1]求A-B-C-D段的总路程和甲车经过BC段的速度．

[任务2]在图4中补全乙车通过维修路段时行驶的路程y(m)与时间t(s)之间的函数图象．

[任务3]丙车沿NM方向行驶，经DA段的车速与乙车经过时的速度相同，在DN段等红灯的车辆开始行驶后速度为8m/s，等红灯时车流长度每秒增加2m，问丙车在DN段从开始等待至离开点A至少需要几秒钟？

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (0 ， 2)$ ， $B (4 ， 2)$ ， $C (4 ， 0)$ ． $P$ 为长方形 $A B C O$ 内（不包括边界）一点，过点 $P$ 分别作 $x$ 轴和 $y$ 轴的平行线，这两条平行线分长方形 $A B C O$ 为四个小长方形，若这四个小长方形中有一个长方形的周长等于 $O A$ ，则称 $P$ 为长方形 $A B C D$ 的长宽点，例如：如图中的 $P (\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ 为长方形 $A B C O$ 的一个长宽点．

(1)、在点 $D (\frac{1}{4} ， \frac{3}{4})$ ， $E (2 ， 1)$ ， $F (\frac{10}{3} ， \frac{5}{3})$ 中，长方形 $A B C O$ 的长宽点是．

(2)、若 $G (a ， \frac{3}{5})$ 为长方形 $A B C O$ 的长宽点，求 $a$ 的值．

(3)、若一次函数 $y = k (x - 2) - 2 (k \neq 0)$ 的图象上存在长方形 $A B C O$ 的长宽点，求 $k$ 的取值范围．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，对于点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{k}$ ，若这k个点的横坐标的最大值为m ，纵坐标的最大值为n ，将 $m + n$ 记为 $T < A_{1}$ ， $A_{2}$ ， …， $A_{k} >$ ，称为这k个点的“平面特征值”．如对于M（1，2），N（1，3），T<M ， $N > = 1 + 3 = 4$ ．如图， $A (- 4 ， 0)$ ， B（4，0），正方形ABCD的边AB在x轴上，边CD与y轴正半轴的交点为点E ．

(1)、T<A ， D ， E>＝；

(2)、已知F（0，b），过点F作直线l⊥y轴，直线l与直线AC交于点P ，直线l与直线BD交于点Q ．记T<A ， B ， P ， Q>＝s ．
①当b＝6时，s＝；

②用含b的式子表示s ，判断当点F在y轴上运动时，s是否存在最大值或最小值，如果存在，写出s的值以及相应点F的坐标．

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA=OB=3.

(1)、求点A、B的坐标；

(2)、如图1，若点C（−2，2），求三角形ABC的面积；

(3)、若点P是第一、三象限角平分线上一点，且三角形ABP的面积为 $\frac{39}{2}$ ，求点P坐标.

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25. 为了贯彻落实市委市政府提出的“精准扶贫”精神，某校特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划，我决定从某地运送126箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小费车共15辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大、小货车的载货能力分别为10箱/辆和6箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：
目的地
A村（元，辆^-1）
B村（元，辆^-1）
大货车
800
900
小货车
500
700

(1)、这15辆车中大、小货车各多少辆．

(2)、现安排其中10辆货车前往A村，其余货车前往B村，设前往A村的大货车为x辆，前柱A，B两村总费用为y元，试求出y与x的函数表达式；

(3)、在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于78箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出最少费用．

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26. 甲，乙两同学住在同一小区，是某学校的同班同学，小区和学校在一笔直的大街上，距离为2560米，在该大街上，小区和学校附近各有一个公共自行车取（还）车点，甲从小区步行去学校，乙比甲迟出发，步行到取车点后骑公共自行车去学校，到学校旁还车点后立即步行到学校（步行速度不变，不计取还车的时间）.设甲步行的时间为x（分），图1中的线段OM和折线 $P - Q - R - T$ 分别表示甲、乙同学离小区的距离y（米）与x（分）的函数关系的图象；图2表示甲、乙两人的距离s（米）与x（分）的函数关系的图象（一部分）.根据图1、图2的信息，解答下列问题：

(1)、分别求甲、乙两同学的步行速度与乙骑自行车的速度；

(2)、求乙同学骑自行车时，y与x的函数关系式和a的值；

(3)、补画完整图2，并用字母标注所画折线的终点及转折点，写出它们的坐标.

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目的地	A村（元，辆^-1）	B村（元，辆^-1）
大货车	800	900
小货车	500	700