（人教版）2023-2024学年八年级数学上册 13.4 课题学习最短路径问题期中专项复习

试卷更新日期：2023-10-11 类型：复习试卷

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一、选择题

1. 小颖的爸爸要在某条街道l上修建一个奶站P，向居民区A，B提供牛奶，要使点P到A，B的距离之和最短，则下列作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上中线且BF＝b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是（）

A、 $\frac{1}{2} a + \frac{2}{3} b$ B、 $\frac{1}{2} a + b$ C、a+ $\frac{1}{2}$ b D、 $\frac{3}{2}$ a

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3. 如图，等边 $△ A B C$ 和等腰 $△ A B D$ ， $A B = B D$ ，点E，F分别为边 $A B$ ， $A D$ 的中点，若 $△ A B D$ 的面积为16， $A D = 4$ ，点M是CE上的动点，则 $△ A M F$ 的周长的最小值为（）

A、6 B、8 C、9 D、10

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4. 如图，过边长为2的等边 $△ A B C$ 的顶点C作直线 $l ⊥ B C$ ，然后作 $△ A B C$ 关于直线l对称的 $△ A^{'} B^{'} C$ ， P为线段 $A^{'} C$ 上一动点，连接 $A P$ ， $P B$ ，则 $A P + P B$ 的最小值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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5. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，点E是 $B C$ 的中点，点P是 $B D$ 上一动点，连接 $P C ， P E$ ，若 $B C = 6$ ， $A B = 10$ ， $S_{△ A B C} = 15 \sqrt{3}$ ，则 $P C + P E$ 的最小值是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、6 C、 $5 \sqrt{3}$ D、10

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6. 如图，等边 $Δ A B C$ 的边长为4， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $F$ 是 $A D$ 边上的动点， $E$ 是 $A C$ 边上一点，若 $A E = 2$ ，当 $E F + C F$ 取得最小值时，则 $∠ E C F$ 的度数为（）

A、 $15 °$ B、 $22.5 °$ C、 $30 °$ D、 $45 °$

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7. 如图，在等边 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $A C$ 中点，点 $P$ ， $Q$ 分别为 $A B$ ， $A D$ 上的点， $B P = A Q = 3$ ， $Q D = 2$ ，在 $B D$ 上有一动点 $E$ ，则 $P E + Q E$ 的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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8. 如图， $△ A B C$ 中， $A B = 3 ， A C = 5 ， B C = 6$ ， $E F$ 垂直平分 $B C$ ，点P为直线 $E F$ 上一动点，则 $A P ＋ B P$ 的最小值为（）

A、3 B、5 C、6 D、7

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 、 $C E$ 是 $△ A B C$ 的两条中线， $C E = 5 ， A D = 7$ ， P是 $A D$ 上一个动点，则 $B P + E P$ 的最小值是（）

A、7 B、3.5 C、5 D、2.5

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10. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $E F$ 是 $A C$ 的垂直平分线，与 $A C$ 交于点 $E$ ，与 $A B$ 交于点F，D为 $B C$ 边的中点，M为线段 $E F$ 上一个动点．若 $B C = 4$ ， $△ A B C$ 的面积为16，则 $△ C D M$ 周长的最小值为（）

A、7 B、8 C、9 D、10

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二、填空题

11. 如图，在ςABC中，AB=AC，直线MN垂直平分AB，点D为BC的中点，点E为线段MN上一动点，若BC=4，等腰△ABC面积为12，则△BDE的周长的最小值为.

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12. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $B C = 6$ ， D为 $A B$ 的中点，P为 $B C$ 上一动点，连接 $A P$ ， $D P$ ，则 $A P + D P$ 的最小值是.

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13. 如图，等腰 $△ A B C$ 的底边 $B C$ 长为4，面积是16，腰 $A C$ 的垂直平分线 $E F$ 分别交 $A C$ ， $A B$ 边于E，F点，若点D为 $B C$ 边的中点，点M为线段 $E F$ 上一动点，则 $△ C D M$ 周长的最小值为.

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14. 如图所示，在边长为2的等边 $△ A B C$ 中，点 $G$ 为 $B C$ 的中点，点 $D$ 为 $A G$ 的中点，过点 $D$ 作 $E F ∥ B C$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，交 $A C$ 于点 $F$ ，点 $P$ 是线段 $E F$ 上一个动点，连接 $B P$ ， $G P$ ，则 $△ B P G$ 的周长的最小值是.

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15. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $B C = 5$ ，直线l是 $B C$ 边的垂直平分线，点P是直线l上的一动点，则 $A P + C P$ 的最小值为．

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三、解答题

16. 某高速公路的同一侧有A，B两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线 $M N$ 的距离分别为 $A E = 2 km$ ， $B F = 3 km$ ， $E F = 12 km$ ，要在高速公路上E、F之间建一个出口Q，使A、B两城镇到Q的距离之和最短，在图中画出点Q所在位置，并求出这个最短距离．

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17. 如图， $Δ A B C$ 三个顶点的坐标分别为A(-2，2)， $B (- 4 ， - 3)$ ， $C (- 1 ， - 1)$ ．

⑴画出 $Δ A B C$ 关于y轴对称的 $Δ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

⑵在y轴上画出点Q，使 $Q A + Q C$ 最小．并直接写出点Q的坐标．

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18. 已知：如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P ，在OB边上求作一点Q ，使得△PMQ的周长最小．

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19. 如图，等边 $Δ A B C$ 的边长为 $4$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的中线， $F$ 是 $A D$ 边上的动点， $E$ 是 $A C$ 边上一点，若 $A E = 2$ ，当 $E F + C F$ 取得最小值时，则 $∠ E C F$ 的度数为多少？

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四、综合题

20. 如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的顶点都在网格格点上，点 $B$ 坐标为 $(3 ， 1)$ ．

(1)、作出 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称的 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，并写出点 $B^{'}$ 的坐标；

(2)、在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使得 $P A + P C$ 最短，并写出点 $P$ 的坐标．

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21. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A（2，4），B（1，1），C（3，2）.

(1)、画出△ABC关于x轴对称的△A₁B₁C₁ ，并写出点A₁的坐标：A₁（，）；

(2)、求△ABC的面积；

(3)、在y轴上找一点P（保留作图痕迹），使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标：P（，）.

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22. 如图，在正方形网格中点 $A ， B ， C$ 均为格点，按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）：

(1)、作出 $△ A B C$ 关于直线l的对称图形 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ；

(2)、在直线l上找一点D，使 $A D + B D$ 最小.

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23. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，∠A＝30°，AC＝ $6 \sqrt{3}$ ， BC＝6，CD平分∠ACB交斜边AB于点D，动点P从点C出发，沿折线CA―AD向终点D运动．

(1)、点P在CA上运动的过程中，当CP＝时，△CPD与△CBD的面积相等；（直接写出答案）

(2)、点P在折线CA―AD上运动的过程中，若△CPD是等腰三角形，求∠CPD的度数；

(3)、若点E是斜边AB的中点，当动点P在CA上运动时，线段CD所在直线上存在另一动点M，使两线段MP、ME的长度之和，即MP＋ME的值最小，则此时CP的长度＝．（直接写出答案）

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二、填空题

三、解答题

四、综合题

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