广东省佛山市桂城街道2022-2023学年八年级下册数学调研试卷

试卷更新日期：2023-10-11 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 做好“垃圾分类”，倡导绿色健康的生活方式，是我们做为公民应尽的义务，如图所示垃圾分类标志，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 若 $x$ 、 $y$ 的值均扩大为原来的 $5$ 倍，则下列分式的值保持不变的是（）

A、 $\frac{x + y}{x y}$ B、 $\frac{x + y}{x - y}$ C、 $\frac{x + y}{y + 1}$ D、 $\frac{x}{y + 1}$

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3. 下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）

A、 $x^{2} - y^{2}$ B、 $x^{2} - 4 y^{2}$ C、 $- x^{2} - y^{2}$ D、 $(x + y)^{2} - y^{2}$

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4. 如图，在正六边形 $A B C D E F$ 内作正方形 $B C G H$ ，连接 $A H$ ，则 $∠ F A H$ 等于（）

A、 $75 °$ B、 $72 °$ C、 $60 °$ D、 $45 °$

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5. 不等式组 ${\begin{cases} 4 x > 3 x + 4 & ① \\ \frac{2 x - 3}{3} \leq 3 & ② \end{cases}$ 的解集是关于 $x$ 的不等式 $\frac{x}{2} > m - 1$ 解集的一部分，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $m \leq 3$ B、 $m \geq 3$ C、 $m < 3$ D、 $m > 3$

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6. 已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为 $△ A B C$ 的三边长，且 $a^{2} + a c = b^{2} + b c$ ，则 $△ A B C$ 是（）

A、等腰直角三角形 B、直角三角形 C、等边三角形 D、等腰三角形

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7. 已知一次函数 $y = k x + b (k > 0)$ 的图象过点 $(1 ， 0)$ ，则不等式 $k (x + 2) + b > 0$ 的解集是（）

A、 $x > - 2$ B、 $x > - 1$ C、 $x > 0$ D、 $x > 1$

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8. 如图，在平面直角坐标系中，射线 $O B$ 是第一象限的角平分线，线段 $O B = 2 \sqrt{2}$ ，将 $△ O A B$ 绕原点顺时针旋转，每次旋转 $45 °$ ，则第 $2023$ 次旋转结束后，点 $B$ 对应点的坐标为（）

A、 $(- 2 ， - 2)$ B、 $(2 ， 2)$ C、 $(0 ， - 2 \sqrt{2})$ D、 $(0 ， 2 \sqrt{2})$

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9. 已知关于 $x$ 的分式方程 $\frac{x}{x - 3} - \frac{3 a}{3 - x} = 4$ 的解为非负数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \geq - 4$ B、 $a > - 4$ C、 $a \geq - 4$ 且 $a \neq - 1$ D、 $a > - 4$ 且 $a \neq - 1$

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10. 如图， $∠ A B C$ 的平分线 $B D$ 与 $∠ A C B$ 邻补角的平分线 $C D$ 相交于点 $D$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ 于点 $E$ ， $C D / / B A$ ， $D E = 5$ ， $C E = 3$ ，则 $A B$ 的长度为．（）

A、 $\frac{28}{25}$ B、 $\frac{56}{25}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 若分式 $\frac{2 - | x |}{x + 2}$ 的值为零，则x的值为.

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12. 某商家以 $400$ 元 $/$ 件的价格购进一批玩具套装礼品，以高出进价 $60 %$ 标价进行出售，“双十一”搞打折促销，为了保证利润率不低于 $20 %$ ，则每件套装礼品最多可打折 $.$

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13. 如图， $∠ A B C = 30 °$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ，点 $D$ 是射线 $B C$ 上的任意一点，连接 $A D$ ，以 $A D$ ， $B D$ 为邻边作平行四边形 $A D B E$ ，连 $D E$ ，则线段 $D E$ 的最小值为．

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14. 若 $x = 2023 m + 2023$ ， $y = 2023 m + 2022$ ， $z = 2023 m + 2021$ ，则 $\frac{x^{2} + y^{2} + z^{2} - x y - y z - x z}{2}$ 的值为．

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15. 如图，▱ $A B C D$ 中， $A D = 2 \sqrt{2}$ ， $A B = 6$ ， $∠ B C D = 135 °$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 的线段 $E F ⊥ A C$ 交 $C D$ 于点 $E$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，以下说法中： $① A E = A F$ ； $② ∠ D A E = 2 ∠ C A E$ ； $③ E F = \sqrt{5}$ ； $④ △ D O E$ 的面积与 $△ A O D$ 的面积比为 $7$ ： $12 .$ 其中，正确的序号有．

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三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 解不等式组： ${\begin{cases} 2 x - 1 < 3 (x + 1) & ① \\ \frac{2 x - 1}{2} - \frac{x + 1}{3} \leq 1 & ② \end{cases}$ ，在如图所示的数轴上表示它的解集，并写出它的最大整数解．

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17. 先化简，再求值： $(\frac{x^{2}}{x + 1} - x + 1) \div \frac{x}{x^{2} - 1}$ ，已知 $x$ 是满足 $- 2 < x \leq 2$ 的整数，选择一个合适的 $x$ 代入求值．

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18. 如图，在 $12 \times 12$ 正方形网格中建立直角坐标系，每个小正方形的边长为 $1$ 个单位长度， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标依次为： $A (0 ， 2)$ ， $B (- 3 ， 5)$ ， $C (- 2 ， 2)$ ．
⑴将 $△ A B C$ 以点 $A$ 为旋转中心旋转 $180 °$ ，得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ，点 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $B_{1}$ 、 $C_{1}$ 请在网格图中画出 $△ A B_{1} C_{1}$ ．
⑵将 $△ A B C$ 平移至 $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，其中点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对应点分别为点 $A_{2}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{2}$ ，且点 $C_{2}$ 的坐标为 $(- 2 ， - 4)$ ，请在图中画出平移后的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ．
⑶在第(1)、(2)小题基础上，若将 $△ A B_{1} C_{1}$ 绕某一点旋转可得到 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，则旋转中心的坐标为 ▲ $. ($ 直接写出答案 $)$

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19. 利用完全平方公式进行因式分解，是我们常用的一种公式法 $.$ 我们有些时候也会应用完全平方公式进行二次根式的因式分解．
例如： $7 + 4 \sqrt{3} = 4 + 4 \sqrt{3} + 3 = 2^{2} + 2 \times 2 \times \sqrt{3} + (\sqrt{3})^{2} = (2 + \sqrt{3})^{2}$ ；仿照例子完成下面的问题 $($ 参考例题要把结果进行化简 $)$ ．

(1)、若 $a^{2} = 9 - 4 \sqrt{5}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $∠ C = 15 °$ ，点 $D$ 为 $B C$ 上的点，满足 $A D = C D = 4$ ，求 $A C$ 的长．

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20. 已知一次函数： $y_{1} = (m + 1) x - 2 m - 1$ ，其中 $m \neq - 1$ ．

(1)、若一次函数： $y_{1} = (m + 1) x - 2 m - 1$ 的图象过点 $(1 ， - 2)$ ，求当 $y_{1} \leq 0$ 时， $x$ 的取值范围；

(2)、若对于一次函数： $y_{2} = n x + 2 - n$ ，其中 $n \neq 0$ ，若对任意实数 $x$ ，总有 $y_{1} > y_{2}$ ，求 $n$ 的取值范围．

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21. 已知，如图 $1$ ，在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $△ A B C$ 的中线， $E$ 为 $A D$ 上一个动点 $($ 不与点 $A$ ， $D$ 重合 $) .$ 分别过点 $E$ 和点 $C$ 作 $A B$ 与 $A D$ 的平行线交于点 $F$ ，连 $A F$ ．

(1)、求证： $A F = B E$ ；

(2)、如图 $2$ ，延长 $B E$ 交 $A C$ 于点 $G$ ，若 $B G ⊥ A C$ ，且 $A D = B G$ ，请判断 $E G$ 与 $A E$ 的数量关系，并说明理由．

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22. 某果园实验基地推广甲、乙两种芒果苗，已知乙种芒果苗比甲种芒果苗每株贵 $2$ 元，且用 $240$ 元钱购买甲种芒果苗的株数与用 $360$ 元钱购买乙种芒果苗的株数刚好相同．

(1)、求甲、乙两种芒果苗每株的价格；

(2)、果农 $A$ 准备从甲、乙两种芒果苗中选购一种，已知购买数量相同且数量不少于 $500$ 株，该果园实验基地负责人可给予以下优惠：购买甲种芒果苗每株按原售价九折优惠；购买乙种芒果苗，不多于 $500$ 株按原售价付款不优惠，超过 $500$ 株每株按原售价五折优惠 $.$ 请帮助果农 $A$ 判断购买哪种芒果苗更省钱．

(3)、果农 $B$ 计划购买甲、乙两种芒果苗共 $300$ 株 $.$ 调查统计发现，甲、乙两种芒果苗的成活率分别为 $90 %$ 、 $95 %$ ，要使这批芒果苗的成活率不低于 $93 %$ ，且使购买芒果苗的费用最低，应如何选购芒果苗？最低费用是多少？

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23. 已知，在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 45 °$ ，点 $M$ 为 $B C$ 边上一点，连接 $A M$ ，将线段 $A M$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转 $α$ 得到 $A N$ ，连接 $M N$ ．

(1)、如图 $1$ ，当 $∠ B A C = α = 90 °$ 时，
①求证： $M N^{2} = C M^{2} + B M^{2}$ ；
②当 $△ A M N$ 的周长取最小值为 $4 + 2 \sqrt{2}$ 时，求 $△ A B C$ 的周长；

(2)、如图 $2$ ，当 $∠ A C B = 30 °$ ， $α = 120 °$ 时，若 $C N = A N$ ，求 $\frac{B M}{B C}$ 的值．

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