江苏省南京市鼓楼区树人中学2023年中考三模数学试卷

试卷更新日期：2023-10-11 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 化简 $\sqrt{4} =$ （）

A、 $\pm 2$ B、 $2$ C、 $- 2$ D、 $4$

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2. 截止 $5$ 月中旬，某公司产品订单已经排到了年底，预计年开票收入 $90$ 亿元，用科学记数法表示数据 $90$ 亿是（）

A、 $9 \times 1 0^{4}$ B、 $9 \times 1 0^{5}$ C、 $9 \times 1 0^{8}$ D、 $9 \times 1 0^{9}$

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3. 下面由8个完全相同的小正方体组成的几何体的主视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 用配方法将方程 $2 x^{2} - 4 x - 3 = 0$ 变形，结果正确的是（）

A、 $2 (x - 1)^{2} - 4 = 0$ B、 $(x - 1)^{2} - \frac{5}{2} = 0$ C、 $2 (x - 1)^{2} - \frac{5}{2} = 0$ D、 $(x - 1)^{2} - 5 = 0$

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5. 如图，在半圆 $A C B$ 中， $A B = 6$ ，将半圆 $A C B$ 沿弦 $B C$ 所在的直线折叠，若 $B C$ 恰好过圆心 $O$ ，则 $B C$ 的长是（）

A、 $3 \sqrt{3}$ B、 $π$ C、 $2 π$ D、 $4 π$

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6. 某同学在用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格：

$x$	$\dots \dots$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$\dots \dots$
$y$	$\dots \dots$	$- 1$	$0$	$- 3$	$- 4$	$- 3$	$\dots \dots$

由于粗心，他算错了其中的一个 $y$ 值，那么这个错误的数值是（）

A、

- 3

B、

- 4

C、

0

D、

- 1

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二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7. 若分式 $\frac{x + 1}{x - 2}$ 的值为0，则x＝.

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8. 计算 $\sqrt{8} + \sqrt{18}$ 的结果是．

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9. 如图，已知直线 $A D / / B E / / C F$ ，如果 $\frac{A B}{B C} = \frac{2}{3}$ ， $D E = 4$ ，那么线段 $E F$ 的长是．

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10. 已知扇形的半径为 $4$ ，面积为 $4$ ，则该扇形的弧长为．

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11. 一元二次方程 $x^{2} - 5 x + c = 0$ 的两个实数根是 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} = x_{1} x_{2}$ ，则 $c =$ ．

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12. 数据 $104$ ， $101$ ， $100$ ， $103$ ， $102$ 的方差是．

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13. 分解因式： $2 x^{2} - 8 y^{2}$ =.

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14. 如图， $P A$ 、 $P B$ 是 $⊙ O$ 的切线， $A$ 、 $B$ 为切点，点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙ O$ 上 $.$ 若 $∠ A + ∠ C = 220 °$ ，则 $∠ P$ 的度数 $° .$

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15. 以下对一次函数 $y = - x + 2$ 的图象进行变化的方案中正确的是 $($ 只填序号 $)$ ．
      $①$ 向下平移 $4$ 个单位长度得到一次函数 $y = - x - 2$ 的图象；
      $②$ 向左平移 $4$ 个单位长度得到一次函数 $y = - x - 2$ 的图象；
      $③$ 绕原点旋转 $90 °$ 得到一次函数 $y = x - 2$ 的图象；
      $④$ 先沿 $x$ 轴对称，再沿 $y$ 轴对称得到一次函数 $y = - x - 2$ 的图象．

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16. 在Rt△ABC中，∠BAC=30°，斜边AB=2 $\sqrt{3}$ ，动点P在AB边上，动点Q在AC边上，且∠CPQ=90°，则线段CQ长的最小值= .

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三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

17. 解不等式组： ${\begin{array}{l} x - 1 < \frac{1}{2} x \\ 2 (1 + x) > x \end{array}$ ．

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18. 解方程： $\frac{1}{x + 2} + 1 = \frac{2 x}{x + 2}$ ．

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四、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19. 计算：

(1)、 $(\frac{1}{4})^{- 1} + 2 c o s 45 ° - | - \sqrt{2} | + (2021 - n) °$ ．

(2)、 $(a - \frac{2 a - 1}{a}) \div \frac{a^{2} - 1}{a}$ ．

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20. 如图， $P$ 为正方形 $A B C D$ 对角线 $B D$ 上一点 $($ 不与 $B$ 、 $D$ 重合 $)$ ， $P E ⊥ B C$ 于 $E$ ， $P F ⊥ C D$ 于 $F$ ，连接 $E F$ ．
求证：

(1)、 $A P = E F$ ；

(2)、 $A P ⊥ E F$ ．

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21. 某运动会期间，甲、乙、丙三位同学参加乒乓球单打比赛，用抽签的方式确定第一场比赛的人选．

(1)、若已确定甲参加第一次比赛，求另一位选手恰好是乙同学的概率；

(2)、求选中乙、丙两位同学参加第一场比赛的概率．

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22.

M

市为弘扬“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神，鼓励学生积极参加志愿活动

.

为了解九年级未入团学生参加志愿活动的情况，从

A

、

B

两所学校九年级未入团学生中，各随机抽取

20

名学生，他们参加志愿活动的时长

.

部分数据如下：

$a .$ 两校志愿活动时长 $($ 小时 $)$ 如下：

$A$ 校：

$17$	$39$	$39$	$2$	$35$	$28$	$26$	$48$	$39$	$19$
$46$	$7$	$17$	$13$	$48$	$27$	$32$	$33$	$32$	$44$

$B$ 校：

$30$	$21$	$31$	$42$	$25$	$18$	$26$	$35$	$30$	$28$
$12$	$40$	$30$	$29$	$33$	$46$	$39$	$16$	$33$	$27$

$b .$ 两校志愿活动时长频数分布直方图 $($ 数据分成 $5$ 组： $0 \leq x < 10$ ， $10 \leq x < 20$ ， $20 \leq x < 30$ ， $30 \leq x < 40$ ， $40 \leq x < 50)$ ；

$c .$ 两校志愿活动时长的平均数、众数、中位数如下：

学校	平均数	众数	中位数
$A$ 校	$29.55$	$m$	$32$
$B$ 校	$29.55$	$30$	$n$

根据以上信息，回答下列问题：

(1)、补全

A

校志愿活动时长频数分布直方图；

(2)、直接写出表中

m

，

n

的值；

(3)、根据

M

市共青团团委要求，参加志愿活动时长不够

20

小时不能提出入团申请，若

B

校九年级未入团学生有

180

人，从志愿活动时长的角度看，估计

B

校有资格提出入团申请的人数．

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23. 已知二次函数的图象顶点坐标是 $(2 ， 3)$ ．

(1)、 $h =$ ， $k =$ ；

(2)、点 $P (x_{1} ， y_{1})$ ，点 $Q (x_{2} ， y_{2})$ 在函数图象上， $x_{1} < x_{2}$ 且 $x_{1} + x_{2} > 4$ ，比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小；

(3)、若该二次函数的图象与一次函数 $y = x + 2$ 的图象有 $2$ 个公共点，结合图象，直接写出 $a$ 的取值范围．

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24. 如图，公园内有一个垂直于地面的立柱 $A B$ ，其旁边有一个坡面 $C Q$ ，坡角 $∠ Q C N = 30 ° .$ 在阳光下，小明观察到 $A B$ 在地面上的影长为 $120 c m$ ，在坡面上的影长为 $180 c m .$ 同一时刻，小明测得直立于地面长 $60 c m$ 的木杆的影长为 $90 c m ($ 其影子完全落在地面上 $) .$ 求立柱 $A B$ 的高度．

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25. 如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ ， $D$ 为 $⊙ O$ 上两点， $\overset{⏜}{B D} = \overset{⏜}{A D}$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ， $A D$ ， $B D$ ，过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交 $C B$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 6$ ，求 $A D$ ， $B E$ 的长．

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26.

(1)、已知：如图， $A$ 、 $B$ 是 $⊙ O$ 内两点，求作： $⊙ O$ 的直径 $C D$ ，使 $A C = B D$ ．

(2)、已知：如图， $O A$ 、 $O B$ 是 $⊙ O$ 的半径，求作：弦 $C D$ ，使其与 $O A$ 、 $O B$ 的交点是 $C D$ 的三等分点 $. ($ 要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明 $.)$

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27. 课本呈现：
直觉的误差
有一张 $8 c m \times 8 c m$ 的正方形纸片，面积是 $64 c m^{2} .$ 把这张纸片按图 $1$ 所示剪开成四小块，其中两块是三角形，另外两块是四边形，把剪出的 $4$ 个小块按图 $2$ 所示重新拼合，这样就得到了一个 $13 c m \times 5 c m$ 的长方形，面积是 $65 c m^{2}$ ，面积多了 $1 c m^{2}$ ，这是为什么？
小明给出如下证明：如图 $2$ ，可知， $t a n ∠ C E F = \frac{8}{3}$ ， $t a n ∠ E A B = \frac{5}{2}$ ，
      $∵ t a n ∠ C E F > t a n ∠ E A B$ ，
      $∴ ∠ C E F > ∠ E A B$ ．
      $∵ ∠ E F / / A B$ ，
      $∴ ∠ E A B + ∠ A E F = 180 °$ ，
      $∴ ∠ C E F + ∠ A E F > 180 °$ ．
因此 $A$ 、 $E$ 、 $C$ 三点不共线 $.$ 同理 $A$ 、 $G$ 、 $C$ 三点不共线，所以拼合的长方形内部有空隙，故面积多了 $1 c m^{2}$ ．

问题探究：

(1)、小红给出的证明思路为：以 $B$ 为原点， $B C$ 所在的直线为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，证明三点不共线 $.$ 请你帮小红完成证明；

(2)、如图，将正方形沿图中虚线剪成 $① ② ③ ④$ 四块图形 $($ 其中 $x < y)$ ，用这四块图形恰能拼成一个矩形 $($ 非正方形 $)$ ，求 $\frac{y}{x}$ 的值．

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