【备考2024】2023年高考数学新高考Ⅱ卷真题变式分层精准练：第13题

试卷更新日期：2023-10-09 类型：二轮复习

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一、原题

1. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{3} ， | \vec{a} + \vec{b} | = | 2 \vec{a} - \vec{b} | ，则 | \vec{b} | =$

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二、基础

2. 已知平面向量 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120 °$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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3. 设向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 为单位正交基底，若 $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$ ， $\vec{b} = \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $k =$ .

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4. 已知 $△ A B C$ 外接圆的圆心为 $O ， P$ 是 $△ A B C$ 边上一动点，若 $C A = 2 ， C B = \sqrt{7} ， A = \frac{π}{3}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{O P}$ 的最大值为.

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5. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ， $\vec{a} = (2 ， 0)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的数量投影为.

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6. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} | = 2$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$ ，则 $| 2 \vec{a} - \vec{b} | =$ .

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7. 正六边形 $A B C D E F$ 的边长为4，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = \vec{A B} + \vec{A C}$ ，则 $\vec{B P} \cdot \vec{A B} =$ .

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8. 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ， $A C = 2 \sqrt{37}$ ，则 $\vec{A B} \cdot \vec{A D} =$ .

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9. 设向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 ， | \vec{b} | = 3$ ， $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{3}$ ，则 $| 3 \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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10. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足 $〈 \vec{a} ， \vec{b} 〉 = 60 °$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 3$ ，则 $| \vec{a} - 2 \vec{b} | =$ .

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11. $△ A B C$ 是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则 $\vec{A C} \cdot \vec{A M} =$ ．

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12. 已知夹角为 $6 0^{∘}$ 的非零向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ ， $(2 \vec{a} - t \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $t =$ .

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三、提升

13. 四边形 $A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别是 $A B ， C D$ 的中点， $A B = 2 ， C D = 2 \sqrt{2} ， E F = 1$ ，点 $P$ 满足 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的最大值为．

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14. 如果平面向量 $\vec{a} = (1 ， - 2) ， \vec{b} = (- 6 ， 3)$ ，那么向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为.

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15. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = \sqrt{6}$ ， $| \vec{b} | = \sqrt{2}$ ，且 $| \vec{a} + \vec{b} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ；向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为

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16. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 均为非零向量， $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{4} {\vec{a}}^{2}$ ，且 $| \vec{a} + \vec{c} + 2 \vec{b} | = k | \vec{a} |$ ， $k \in R$ ，则 $k$ 的最小值为.

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17. 已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若 $\vec{B P} = 3 \vec{P D}$ ，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的值为.

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18. 已知等边 $△ A B C$ 的重心为O，边长为3，则 $\vec{C O} \cdot \vec{C A} =$ .

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19. 如图．在直角梯形 $A B C D$ 中． $A D ∥ B C ， ∠ A B C = 90 ° ， A D = 2 ， B C = 1$ ，点P是腰 $A B$ 上的动点，则 $| 2 \vec{P C} + \vec{P D} |$ 的最小值为．

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20. 已知单位向量 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 的夹角为60°，若 $\vec{a} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ ，则记作 $\vec{a} = [x ， y]$ ．已知向量 $\vec{m} = [1 ， 2]$ ， $\vec{n} = [1 ， - 1]$ ，则 $| \vec{m} + \vec{n} | =$ ．

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21. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，经过抛物线上一点 $P$ ，作斜率为 $\frac{3}{4}$ 的直线交 $C$ 的准线于点 $Q$ ， $R$ 为准线上异于 $Q$ 的一点，当 $∠ P Q R = ∠ P Q F$ 时， $| P F | =$ ．

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22. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + 2 \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为120°，且 $| \vec{b} | = | \vec{a} |$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{c}$ 的数量积为．

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23. 如图，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ， $O$ 为 $A B$ 的中点. 当点 $P$ 在 $B C$ 边上时， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{O P}$ 的值为；当点 $P$ 沿着 $B C$ ， $C D$ 与 $D A$ 边运动时， $\overset{⇀}{A B} \cdot \overset{⇀}{O P}$ 的最小值为.

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四、培优

24. 已知平面向量 $\vec{a_{1}}$ 、 $\vec{a_{2}}$ 、 $\vec{a_{3}}$ 、 $\vec{b_{1}}$ 、 $\vec{b_{2}}$ 、 $\vec{b_{3}}$ 两两互不相等，且 $| \vec{a_{1}} - \vec{a_{2}} | = | \vec{a_{2}} - \vec{a_{3}} | = | \vec{a_{3}} - \vec{a_{1}} | = 2$ .若对任意的 $i ， j \in {1 ， 2 ， 3}$ ，均满足 $| {\vec{a}}_{i} - {\vec{b}}_{j} | \in {1 ， \sqrt{3}}$ ，则当 $p ， q \in {1 ， 2 ， 3}$ 且 $p \neq q$ 时， $| \vec{b_{p}} - \vec{b_{q}} |$ 的值为.

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25. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $\vec{c} = λ \vec{a} + (1 - λ) \vec{b} (0 < λ < 1)$ ，且 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，记 $x = \frac{\vec{c} \cdot \vec{a}}{| \vec{a} |}$ ， $y = \frac{\vec{c} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |}$ ，则 $x^{2} + y^{2} - x y$ 的最大值为.

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26. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| 2 \vec{a} - \vec{b} | = 2$ ，则 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{b}$ 的最大值为.

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27. 已知四边形 $A B C D ， \vec{D C} = t \vec{A B} ， A B = 6 ， A D = 4 ， ∠ D A B = 6 0^{∘}$ ，且 $\vec{A D} \cdot \vec{C D} = - 6$ ，点 $E$ 为线段 $B D$ ，上一点，且 $\vec{A E} = (1 + λ) \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{C B}$ ，则 $λ =$ ，过 $E$ 作 $E F$ ∥ $B C$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，则 $\vec{F D} \cdot \vec{F C} =$ .

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28. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， C的左右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，点A在椭圆C上满足 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{2}$ ． $∠ F_{1} A F_{2}$ 的角平分线交椭圆于另一点B，交y轴于点D．已知 $\vec{A B} = 2 \vec{B D}$ ，则 $e =$ ．

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29. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，当 $(\vec{a} - \vec{c}) \cdot (\vec{b} - \vec{c})$ 取到最小值吋，对任意实数 $λ$ ， $| λ \vec{a} + (1 - λ) \vec{b} |$ 的最小值是．

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30. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 满足 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角， $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 2$ ， $| \vec{c} | = 1$ ，且 $| \vec{b} + t \vec{a} |$ 的最小值为 $\sqrt{3}$ ，则实数 $t$ 的值是，向量 $(\vec{c} - \frac{1}{2} \vec{a}) \cdot (\vec{c} - \vec{b})$ 的取值范围是.

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