山东省青岛市青岛大学附中2023-2024学年九年级上学期开学数学试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：开学考试

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一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）

1. 下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 据交通运输部发布消息，某年春节期间，全国共发送旅客29.06亿人次，将29.06亿这个数据用科学记数法可以表示为（　　）

A、29.06×10⁸ B、2.906×10⁸ C、29.06×10⁹ D、2.906×10⁹

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3. 下列运算正确的是（　　）

A、3a²+5a²＝8a⁴ B、（-a³）⁴÷（-a⁴）³＝1 C、（-2a²）³-（-a⁴）（3a）²＝-17a⁶ D、（a-b）（a²+ab+b²）＝a³-b³

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4. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 9 < 5 x + 1 \\ x > m + 1 \end{array}$ 的解集是x＞2，则m的取值范围是（　　）

A、m＜1 B、m＞1 C、m≤1 D、m≥1

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5. 如图，将△ABC向下平移2个单位，再绕点P按逆时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，点A的对应点A′的坐标是（　　）

A、（2，4） B、（1，4） C、（1，3 $\sqrt{2}$ +1） D、（-1，-2）

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6. 如图，AD，AE分别是△ABC的角平分线和中线，CG⊥AD于F，交AB于G，连接EF，若EF=1，AC＝6，则AB的长为（　　）

A、10 B、9 C、8 D、6

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7. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（　　）

A、3cm B、6cm C、3 $\sqrt{2}$ cm D、6 $\sqrt{2}$ cm

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8. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB 边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC=16，BD＝12，则EF的最小值为（　　）

A、8 B、6 C、4.8 D、2.4

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二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分）

9.

(1)、计算：（-1）²⁰²³+（- $\frac{1}{3}$ ）^-¹- $\sqrt{72}$ × $\sqrt{\frac{1}{9}}$ ＝；

(2)、分解因式：3m²-6m+3＝．

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10. 为响应“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵，原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务，则x的值为．

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11. 如图所示，若∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝620°，则∠G+∠H＝．

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12. 一次函数y＝-3x+b和y＝kx+1的图象如图所示，其交点为P（3，4），则不等式（3+k）x≥b-1 的解集是．

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13. 如图，在四边形ABCD中∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD＝56°，则∠BED的度数为．

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14. 对于正数x，规定 $f (x) = \frac{1}{1 + x}$ ，例如 $f (4) = \frac{1}{1 + 4} = \frac{1}{5} ， f (\frac{1}{4}) = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{4}{5}$ ，则 $f (2021) + f (2020) + ⋯ + f (2) + f (1) + f (\frac{1}{2}) + ⋯ + f (\frac{1}{2020}) + f (\frac{1}{2021})$ 的结果是= ．

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三、作图题（本题满分4分）用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.

15. 尺规作图：
已知线段a，b，求作菱形ABCD，使菱形边长等于a，对角线AC=b。

结论：

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四、解答题：（本题满分74分，共有9道小题）

16. 计算：

(1)、化简： $(\frac{a^{2} - b}{a} - a - 1) \div \frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ ；

(2)、解不等式组： ${\begin{array}{l} 2 (- 3 + x) < 3 (x + 2) \\ \frac{x}{2} - \frac{x - 1}{3} ⩾ 1 \end{array}$ ．

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17. 近年来网约车十分流行，初三某班学生对“美团”和“滴滴”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示：

根据以上信息，整理分析数据如下：

	平均月收入/千元	中位数/千元	众数/千元	方差/千元²
“美团”	①____	6	6	1.2
“滴滴”	6	②____	4	③____

(1)、完成表格填空；

(2)、若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由．

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18. 小明同学三次到某超市购买A、B两种商品，其中仅有一次是有折扣的，购买数量及消费金额如下表：

类别
次数
购买A商品数量（件）
购买B商品数量（件）
消费金额（元）
第一次
4
5
320
第二次
2
6
300
第三次
5
7
258
解答下列问题：

(1)、第次购买有折扣；

(2)、求A、B两种商品的原价；

(3)、若购买A、B两种商品的折扣数相同，求折扣数；

(4)、小明同学再次购买A、B两种商品共10件，在（3）中折扣数的前提下，消费金额不超过200元，至少购买A商品多少件？

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19. “节能减排，绿色出行”，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车车行经营的A型自行车去年销售总额为60000元，今年该自行车每辆售价比去年降低100元。若该自行车今年的销售总额与去年相同，那么今年的销售总量需要比去年增加20%．请解答以下问题：

(1)、A型自行车今年每辆售价为多少？

(2)、该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共80辆，且B型进货数量不超过A型车数量的3倍．A型车和B型车每辆的进价分别为400元和500元，B型车每辆的售价为700元，购进A型车多少辆，购进B型车共多少辆，获利最是多少元？

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数 $y = \frac{2}{3} x + b$ ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与正比例函数y＝kx的图象交点为C（3，4）．

(1)、请直接写出k、b的值；k＝， b＝．

(2)、若D是线段OC上的动点，过D作DE∥y轴交AC于点E．
①设D点的横坐标为x，线段DE的长为y，则y与x的函数关系式为 ▲ ；
②若△AOD为等腰三角形，请求出点D的坐标．

(3)、平面内是否存在一点P，使以O、A、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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21. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E为OC中点，过点O作OH∥BC交BE的延长线与H，连接CH与DH．

(1)、求证：△BCE≌△HOE；

(2)、当四边形ABCD是怎样的特殊四边形时，四边形OCHD为菱形？请说明理由．

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22. 甲、乙两名同学沿直线进行登山，甲、乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶甲同学到达山顶休息1h后再沿原路下山，他们离山脚的距离S（km）随时间t（h）变化的图象如图所示，根据图象中的有关信息回答下列问题：

(1)、甲同学上山过程中S_甲与t的函数解析式为；点D的坐标为．

(2)、若甲同学下山时在点F处与乙同学相遇，此时点F与山顶的距离为0.75km．
①求甲同学下山过程中S与t的函数解析式；

②相遇后甲、乙各自继续下山和上山，求当乙到达山顶时，甲与乙的距离是多少千米．

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23. 【问题提出】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有多少种不同的选择方法？

(1)、【问题探究】
为发现规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的问题入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论
探究一：
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有多少种不同的选择方法？
如图1，当m＝3，n＝2时，显然有2种不同的选择方法；
如图2，当m＝4，n＝2时，有1，2；2，3；3，4这3种不同的选择方法；
如图3，当m＝5，n＝2时，有种不同的选择方法；
……
由上可知：从m个连续的自然数中选择2个连续的自然数，有种不同的选择方法．
探究二：
如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择3个，4个......n（n≤100）个连续的自然数，分别有多少种不同的选择方法？
我们借助下面的框图继续探究，发现规律并应用规律完成填空

1
2
3
…
93
94
95
96
97
98
99
100
从100个连续的自然数中选择3个连续的自然数，有种不同的选择方法；
从100个连续的自然数中选择4个连续的自然数，有种不同的选择方法；
……
从100个连续的自然数中选择8个连续的自然数，有种不同的选择方法；
……
由上可知：如果从1，2，3……100，100个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤100），有种不同的选择方法．

(2)、【问题解决】
如果从1，2，3……m，m个连续的自然数中选择n个连续的自然数（n≤m），有种不同的选择方法．

(3)、【实际应用】
我们运用上面探究得到的结论，可以解决生活中的一些实际问题．
①今年国庆七天长假期间，小亮想参加某旅行社组织的青岛两日游，在出行日期上他共有种不同的选择．
②星期天，小明、小强和小华三个好朋友去电影院观看《我和我的祖国》，售票员李阿姨为他们提供了第七排3号到15号的电影票让他们选择，则一共有种不同的选择方法．

(4)、【拓展延伸】
如图4，将一个2×2的图案放置在8×6的方格纸中，使它恰好盖住其中的四个小正方形，共有种不同的放置方法．

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24. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A，B分别在x轴与y轴上，已知OA＝6，OB=10，点D为y轴上一点，其坐标为（0，2），点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC-CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．

(1)、当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；

(2)、求△OPD的面积S关于t的函数解析式；

(3)、点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

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类别次数	购买A商品数量（件）	购买B商品数量（件）	消费金额（元）
第一次	4	5	320
第二次	2	6	300
第三次	5	7	258