吉林省白城市大安市2023年中考模拟数学考试试卷（5月份）

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 3的相反数是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、3 C、 $- 3$ D、 $\pm \frac{1}{3}$

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2. 吉林省全力打造国家级能源生产基地，“十四五”期间共 $7$ 个项目纳入国家抽水蓄能选点规划，装机规模 $9200000$ 千瓦 $.$ 数据 $9200000$ 用科学记数法表示为（）

A、 $920 \times 1 0^{4}$ B、 $92 \times 1 0^{5}$ C、 $9.2 \times 1 0^{6}$ D、 $0.92 \times 1 0^{5}$

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3. 不等式 $x + 2 > 3$ 的解集是（）

A、 $x < 1$ B、 $x < 5$ C、 $x > 1$ D、 $x > 5$

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4. 如图是由五个相同的正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，一束光线 $A B$ 先后经平面镜 $O M$ ， $O N$ 反射后，反射光线 $C D$ 与 $A B$ 平行，当 $∠ A B M = 35 °$ 时， $∠ D C N$ 的度数为（）

A、 $55 °$ B、 $70 °$ C、 $60 °$ D、 $35 °$

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 、 $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，若 $∠ C A B = 65 °$ ，则 $∠ A D C$ 的度数为（）

A、 $25 °$ B、 $35 °$ C、 $45 °$ D、 $65 °$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7. 计算： $a^{2} \cdot a^{3} =$ .

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8. 分解因式： $m^{2} + 3 m =$ ．

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9. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹、牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何？”设马每匹 $x$ 两，牛每头 $y$ 两，根据题意可列方程组为.

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10. 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 5 x + m = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m =$ ．

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11. 篮球每个 $m$ 元，排球每个 $n$ 元，如果学校要购买 $10$ 个篮球、 $3$ 个排球，一共需要支付元 $($ 用含有 $m$ 、 $n$ 的代数式表示 $)$ ．

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12. 如图， $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $C$ 在 $A D$ 上，点 $C$ 的对应点 $E$ 在 $B C$ 的延长线上，若 $∠ B A E = 80 °$ ，则 $∠ B =$ ．

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13. 如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB=1.6m，BC=12.4m，则楼高CD为 m．

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14. 如图，以边长为2的等边 $△ A B C$ 顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与 $B C$ 边相切，分别交 $A B ， A C$ 于D，E，则图中阴影部分的面积是．

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三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 先化简，再求值： $(a - 1)^{2} - a (a - 3)$ ，其中 $a = \sqrt{5} - 1$ ．

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16. 如图，已知 $A D$ 平分 $∠ B A C$ ， $A B = A C .$ 求证： $△ A B D$ ≌ $△ A C D$ ．

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17. 九年级某班同学在毕业晚会中进行抽奖活动，在一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3．随机摸出一个小球记下标号后放回搅匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．规定当两次摸出的小球标号相同时中奖，求中奖的概率，请用画树状图或列表法的方法求中奖的概率．

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18. 图 $①$ ，图 $②$ 均是 $8 x 8$ 的正方形网格，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均在格点上，请在给定的网格中用无刻度的直尺作图，并保留作图痕迹．

(1)、在图 $①$ 中，作 $△ A B C$ 的中线 $B M$ ；

(2)、在图 $②$ 中，作 $△ A B C$ 的高线 $C N$ ．

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19. 每年的 $6$ 月 $6$ 日是全国爱眼日，眼睛是人类感官中最重要的器官之一，不当的用眼习惯会影响健康 $.$ 某校在爱眼日到来之际，计划购买 $A$ 、 $B$ 两类护眼用具，已知 $A$ 类护眼用具每个的价格比 $B$ 类护眼用具便宜 $5$ 元，且用 $1000$ 元购买的 $A$ 类护眼用具的个数与用 $1500$ 元购买的 $B$ 类用具的个数相同 $.$ 求 $A$ 、 $B$ 两类护眼用具的单价各是多少元？

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20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = 2 x + b$ 的图象分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ ，与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象交于点 $C$ ，连接 $O C .$ 已知点 $B (0 ， 4)$ ， $△ B O C$ 的面积是 $2$ ．

(1)、求 $b$ 、 $k$ 的值；

(2)、求 $△ A O C$ 的面积．

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21. 如图，艘轮船位于灯塔 $P$ 的北偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔 $80$ 海里的 $A$ 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 $P$ 的南偏东 $34 °$ 方向上的 $B$ 处 $.$ 这时， $B$ 处距离灯塔 $P$ 有多远？
$($ 结果保留整数，参考数据： $s i n 34 ° \approx 0.56$ ， $c o s 34 ° \approx 0.83$ ， $t a n 34 ° \approx 0.67$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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22. 为落实“双减”政策，优化作业管理，某中学从全体学生中随机抽取部分学生，调查他们每天完成书面作业的时间 $t ($ 单位：分钟 $) .$ 按照完成时间分成五组： $A$ 组“ $t \leq 45$ ”， $B$ 组“ $45 < t \leq 60$ ”， $C$ 组“ $60 < t \leq 75$ ”， $D$ 组“ $75 < t \leq 90$ ”， $E$ 组“ $t > 90$ ” $.$ 将收集的数据整理后，绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

(1)、这次调查的样本容量是，请补全条形统计图；

(2)、在扇形统计图中， $B$ 组的圆心角是度，本次调查数据的中位数落在组内；

(3)、若该校有 $1800$ 名学生，请你估计该校每天完成书面作业不超过 $90$ 分钟的学生人数．

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23. 已知A、B两地之间有一条长440千米的高速公路．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿此公路相向而行，甲车先以100千米/时的速度匀速行驶200千米后与乙车相遇，再以另一速度继续匀速行驶4小时到达B地；乙车匀速行驶至A地，两车到达各自的目的地后停止．两车距A地的路程y（千米）与各自的行驶时间x（时）之间的函数关系如图所示．

(1)、m= ， n=；

(2)、求两车相遇后，甲车距A地的路程y与x之间的函数关系式；

(3)、当乙车到达A地时，求甲车距A地的路程．

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24. 某数学活动小组在学完特殊的平行四边形之后，针对矩形中的折叠问题进行了研究．
如图 $①$ ，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 a$ ， $B C = 4 a$ ，点 $P$ 为 $A B$ 边上一点，将矩形 $A B C D$ 沿 $P C$ 折叠，点 $E$ 为点 $B$ 折叠后的对应点，过点 $E$ 作 $E F / / A B$ ，交折痕 $P C$ 于点 $F$ ，连接 $B F$ ．

(1)、猜想四边形 $P B F E$ 的形状，并证明你的结论；

(2)、如图 $②$ ，连接 $A C$ ，当点 $E$ 落在 $A C$ 上时， $B P$ 的长为 $($ 用含 $a$ 的代数式表示 $)$ ；

(3)、如图 $③$ ，当点 $E$ 落在 $A D$ 上时，若 $a = 2$ ，请直接写出 $A E$ 的长．

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25. 如图，在等腰 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 6 c m$ ，动点 $P$ 由点 $A$ 出发，沿 $A B$ 边以 $\sqrt{2} c m / s$ 的速度运动到点 $B$ 停止，过 $P$ 作 $P M ⊥ A B$ 交 $A C$ 或 $B C$ 边于点 $M$ ，过点 $P$ 作 $A C$ 的平行线与过点 $M$ 作 $A B$ 的平行线交于点 $N$ ．

(1)、填空： $A B =$ $c m$ ；

(2)、当点 $N$ 在 $B C$ 边上时，求 $t$ 的值；

(3)、 $△ P M N$ 与 $△ A B C$ 重合部分图形的面积为 $s / c m^{2}$ ，用含 $t$ 的代数式表示 $s$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围．

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26. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，二次函数 $y = x^{2} - b x + b$ 的图象经过点 $A (3 ， 5) .$ 点 $P$ 是抛物线上一点 $($ 不与点 $A$ 重合 $)$ ，其横坐标为 $m .$ 以 $A P$ 为对角线作矩形 $A B P C$ ， $A B$ 垂直于 $y$ 轴．

(1)、求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)、当矩形 $A B P C$ 内部的图象从左到右逐渐上升时，求 $m$ 的取值范围；

(3)、当矩形 $A B P C$ 内部的图象 $($ 包括边界 $)$ 的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为 $4$ 时，求 $m$ 的值；

(4)、设点 $P$ 的纵坐标为 $n$ ，当该抛物线上有四个点到直线 $A B$ 的距离是到直线 $P C$ 距离的 $2$ 倍时，直接写出 $n$ 的取值范围．

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