吉林省白城市通榆县2023年中考三模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. $- 8$ 的倒数是（）

A、 $- 8$ B、 $8$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、 $\frac{1}{8}$

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2. 某物体如图所示，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. “ $x$ 与 $\frac{1}{2}$ 的积加上 $2$ 不小于 $5 .$ ”用不等式表示是（）

A、 $\frac{1}{2} x + 2 > 5$ B、 $\frac{1}{2} x + 2 < 5$ C、 $\frac{1}{2} x + 2 \leq 5$ D、 $\frac{1}{2} x + 2 \geq 5$

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4. 同学们做广播操时，为了保证一队同学站成一条直线，先让两个同学站好不动，其他同学依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面同学的后后脑勺，这其中用到的数学原理是（）

A、垂线段最短 B、经过一点有无数条直线
C、两点之间，线段最短 D、经过两点，有且只有一条直线

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5. 如图，将一张长方形纸条沿某条直线折叠，若 $∠ 1 = 116 °$ ，则 $∠ 2 =$ （）

A、 $58$
B、 $68$
C、 $64$
D、 $54$

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6. 如图，在 $⊙ O$ 中， $∠ A O B = 120 °$ ， $C$ 是劣弧 $A B$ 的中点， $P$ 是优弧 $A P B$ 任意一点，连接 $A P$ ， $B P$ ，则 $∠ A P C$ 的度数是（）

A、 $30 °$ 或 $60 °$
B、 $60 °$
C、 $40 °$
D、 $30 °$

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二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

7. 分解因式： $a^{2} + 8 a + 16 =$ ．

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8. 每到春天，人们在欣赏柳绿桃红的同时，也被飞舞的柳絮所烦恼，据了解柳絮纤维的直径约为 $0.00105 c m$ ，把 $0.00105$ 写成科学记数法的形式为．

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9. 计算： $\sqrt{20} - \sqrt{45} =$ ．

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10. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，那么 $a$ 的值可以是．（写出一个 $a$ 值即可）

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11. 如图，该图形绕其中心旋转能与其自身完全重合，则其旋转角最小为度 $.$

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12. 为了营造自觉爱绿、植绿、护绿的浓厚氛围，甲、乙两组学生踊跃参加植树造林活动 $.$ 已知甲组每小时比乙组多植 $2$ 棵树，甲组植 $70$ 棵树用时与乙组植 $50$ 棵树用时相同 $.$ 设甲组每小时植 $x$ 棵树，根据题意列出分式方程：．

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13. 如图 $①$ 是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了 $.$ 在图 $②$ 中，杠杆的 $D$ 端被向上翘起的距离 $B D = 9 c m$ ，动力臂 $O A$ 与阻力臂 $O B$ 满足 $O A = 3 O B (A B$ 与 $C D$ 相交于点 $O)$ ，要把这块石头翘起，至少要将杠杆的 $C$ 点向下压 $c m$ ．

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14. 如图，在 $⊙ O$ 中， $A B$ 为直径，点 $C$ 是 $⊙ O$ 上的一点，连接 $A C$ 、 $B C$ ，以 $C$ 为圆心， $A C$ 的长为半径作弧，恰好经过点 $B$ ，若 $A B = 4$ ，则图中阴影部分的周长是 $($ 结果保留根号和 $π)$ ．

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三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 先化简，再求值： $(1 - \frac{a^{2} - 1}{a^{2} - 3 a}) \div \frac{3 a - 1}{a}$ ，其中 $a = 5$ ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 延长线上的一点， $∠ A = 60 °$ ， $∠ A C D = 120 ° .$ 求证： $△ A B C$ 是等边三角形．

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17. 周末同学们和部分家长代表共 $30$ 人组团到动物园进行春游活动 $.$ 已知动物园的门票销售标准是：家长成人票 $150$ 元 $/$ 张，学生门票是成人票价的五折 $.$ 该团队购门票共花费 $2400$ 元 $.$ 问该团队家长代表和学生分别有多少人？

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18. 一个不透明的口袋中装有 $4$ 个小球，这四个小球上分别标有数字 $- 1$ 、 $- 2$ 、 $3$ 、 $4$ ，这四个小球除了标的数字不同其余完全相同 $.$ 若小刚一次摸出两个球，用画树状图或列表的方法求两个球上的数字之积为负数的概率．

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19. 图 $①$ 、图 $②$ 均是 $4 \times 4$ 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 $1$ ，小正方形的顶点称为格点 $.$ 用直尺在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上．

(1)、在图 $①$ 中，以线段 $A B$ 为一边画一个菱形；

(2)、在图 $②$ 中，以点 $A$ 为顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．

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20. 某校科技小组在一次野外考察中遇到一片烂泥湿地 $.$ 为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时近道 $.$ 每块木板对地面的压强 $p (P a)$ 是木板面积 $S (m^{2})$ 的反比例函数，其图象如图所示．

(1)、请根据图象直接写出反比例函数的解析式；

(2)、如果要求压强不超过 $8000 P a$ ，求选用的木板的面积至少要多大？

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21. 如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成 $37 °$ 角的楼梯 $A D$ ， $B E$ 和一段水平平台 $D E$ 构成， $A D = 10$ 米， $D E = 7$ 米， $B E = 5$ 米 $.$ 求：天桥高度 $B C$ 及引桥水平跨度 $A C$ ．
$($ 参考数据：取 $s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80$ ， $t a n 37 ° \approx 0.75)$

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22. 某学校举办了以“生态文明与环境保护”为主题的相关知识测试，为了了解学生对“生态文明与环境保护”相关知识的掌握情况，随机抽取 $80$ 名学生的测试成绩 $($ 百分制，成内绩 $x$ 取整数 $)$ 并进行整理，数据分成 $6$ 组，分别为 $40 \leq x < 50$ ， $50 \leq x < 60$ ， $60 \leq x < 70$ ， $70 \leq x < 80$ ， $80 \leq x < 90$ ， $90 \leq x \leq 100 .$ 信息如下：

信息 $1$ ： $80$ 名学生的测试成绩的频数分布直方图如图所示．
信息 $2$ ：在 $70 \leq x < 80$ 这一组的成绩如下： $($ 单位：分 $) 70 72 73 73 74 74 75 76 76 76 77 77 78 78 78 78 78 79$ 根据以上信息，解答下列问题．

(1)、在这次测试中，成绩的中位数是分，成绩低于 $70$ 分的人数占测试人数要的百分比为；

(2)、这次测试成绩的平均数是 $74.3$ 分，小颖的测试成绩是 $76$ 分 $.$ 小亮说：“小颖的成绩高于平均数，所以小颖的成绩高于一半学生的成绩 $.$ ”你认为小亮的说法正确吗？请说明理由．

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23. 某车间甲、乙两台机器共生产 $9200$ 个零件，两台机器同时加工一段时间后，甲机器出现故障，维修一段时间后仍按原来的效率加工，已知甲机器每天加工 $150$ 个零件，如图是表示未生产零件的个数 $y ($ 个 $)$ 与乙机器工作时间 $x ($ 天 $)$ 之间的函数图象．

(1)、乙机器每天加工个零件，甲机器维修了天；

(2)、求未生产零件的个数 $y ($ 个 $)$ 与乙机器工作时间 $x ($ 天 $)$ 之间的函数关系式；

(3)、当甲、乙两台机器共生产 $7600$ 个零件时，乙机器加工了多少天？

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24.

(1)、【探究问题】阅读并补全解题过程
如图 $①$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ，点 $E$ 是边 $A B$ 的中点， $C E ⊥ D E$ ，求证： $D E$ 平分 $∠ A D C$ ．
张某某同学受到老师说过的“有中点，延长加倍构造全等”的启发，延长 $D E$ 交射线 $C B$ 于点 $F$ ，请你依据该同
学的做法补全证明过程．
证明：延长 $D E$ 交射线 $C B$ 于点 $F$ ．

(2)、【应用】如图 $②$ ，在长方形 $A B C D$ 中，将 $△ A B F$ 沿直线 $A F$ 折叠，若点 $B$ 恰好落在边 $C D$ 的中点 $E$ 处，直接写出 $∠ A F B$ 的度数；

(3)、【拓展】如图 $③$ ，在正方形 $A B C D$ 中， $E$ 为边 $A D$ 的中点，将 $△ A B E$ 沿直线 $B E$ 折叠，点 $A$ 落在正方形 $A B C D$ 内部的点 $F$ 处，延长 $B F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，延长 $E F$ 交 $C D$ 于点 $H$ ，若正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，直接写出 $F G$ 的值．

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25. 如图 $①$ ，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 5$ ， $B C = 4 .$ 动点 $P$ 从点 $B$ 出发，沿折线 $B C - C A$ 以每秒 $5$ 个单位长度的速度向终点 $A$ 运动，当点 $P$ 不与点 $B$ 和点 $A$ 重合时，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A B$ 于点 $Q .$ 设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒．

(1)、用含 $t$ 的代数式表示线段 $P Q$ 的长．

(2)、当线段 $P Q$ 将 $△ A B C$ 分成的两部分图形中存在轴对称图形时，求 $t$ 的值．

(3)、设线段 $P Q$ 扫过图形的面积为 $S (S > 0)$ ，求 $S$ 与 $t$ 之间的函数关系式．

(4)、如图 $②$ ，以 $P Q$ 为斜边向上作等腰直角三角形 $P Q M .$ 连结 $C M$ ，当线段 $C M$ 的垂直平分线平行于 $△ A B C$ 的一边时，直接写出 $t$ 的值．

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26. 如图，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，点 $D$ 在射线 $C O$ 上运动，过点 $D$ 作直线 $E F / / x$ 轴，交抛物线于点 $E$ ， $F ($ 点 $E$ 在点 $F$ 的左侧 $)$ ．

(1)、求该抛物线的解析式和对称轴；

(2)、若 $E F = 2 O C$ ，求点 $E$ 的坐标；

(3)、若抛物线的顶点关于直线 $E F$ 的对称点为点 $P$ ，当点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于 $1$ 时，求出所有符合条件的线段 $E F$ 的长；

(4)、以点 $D$ 为旋转中心，将点 $B$ 绕点 $D$ 顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $B'$ ，直接写出点 $B'$ 落在抛物线上时点 $D$ 的坐标．

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