吉林省吉林市2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列数中最小的是（）

A、 $- 2022$ B、 $2023$ C、 $- 2023$ D、 $2024$

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2. 如图是某些品牌的 $L O G O$ ，其中是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 不等式 $2 x + 1 < 3$ 的解集在数轴上表示为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 解一元一次方程的一般步骤包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化 $1$ 等 $.$ 将一元一次方程 $\frac{x + 1}{2} - 1 = \frac{x}{3}$ 去分母，得（）

A、 $3 (x + 1) - 6 = 2 x$ B、 $3 (x + 1) - 1 = 2 x$
C、 $3 x + 1 - 1 = 2 x$ D、 $2 (x + 1) - 6 = 3 x$

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5. 如图，水面 $M N$ 与底面 $E F$ 平行，光线 $A B$ 从空气射入水里时发生了折射，折射光线 $B C$ 射到水底 $C$ 处，点 $D$ 在 $A B$ 的延长线上，若 $∠ 1 = 65 °$ ， $∠ 2 = 45 °$ ，则 $∠ D B C$ 的度数为（）

A、 $20 °$
B、 $25 °$
C、 $30 °$
D、 $45 °$

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6. 如图，将半径为 $4$ 的圆形纸片折叠使弧 $A B$ 经过圆心 $O$ ，过点 $O$ 作直径 $C D ⊥ A B$ 于点 $E$ ，点 $P$ 是半径 $O D$ 上一动点，连接 $A P$ ，则 $A P$ 的长度不可能是（）

A、 $4$
B、 $5$
C、 $6$
D、 $7$

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二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）

7. 计算： $13 ° 14' + 5 ° 20' =$ ．

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8. 化简： $\sqrt{18} =$ .

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9. 若 $x - y = 2 ， x y = \sqrt{5}$ ，则 $x^{2} y - x y^{2} =$ ．

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10. 小明准备从恒阳大饭店去吉林财富广场，导航提供两条路线，最终小明选择 $A$ 路线其中蕴含的数学道理是．

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11. 如图， $B D$ 是菱形 $A B C D$ 的一条对角线，以点 $D$ 为圆心，适当长为半径画弧，分别交 $D B$ ， $D C$ 于点 $E$ ， $F$ ，分别以点 $E$ ， $F$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} E F$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $G$ ；分别以点 $C$ ， $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径画弧，两弧交于 $M$ ， $N$ 两点，直线 $M N$ 与射线 $D G$ 交于点 $P .$ 若 $∠ A = 56 °$ ，则 $∠ D P N =$ $° .$

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12. 观察下列单项式： $- a$ ， $3 a^{2}$ ， $- 5 a^{3}$ ， $7 a^{4}$ ， $- 9 a^{5}$ ， $\dots$ ，按此规律，第 $6$ 个单项式是．

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13. 如图，在扇形 $A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 2$ ，连接 $B C .$ 若以 $A B$ 中点 $O$ 为圆心， $O A$ 长为半径画弧交 $A C$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N .$ 则图中阴影部分的面积和是．

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14. 如图是某风力发电机示意图，其相同的三个叶片均匀分布，每个叶片长 $30 m$ ，即 $O A = 30 m .$ 水平地面上的点 $M$ 在旋转中心 $O$ 的正下方 $70 m$ ，即 $O M = 70 m .$ 当风力发电机叶片外端点 $A$ 离地面的高度最大时，若垂直于地面的木棒 $E F$ 与影长 $F G$ 的比为 $1$ ： $2$ ，则此刻风力发电机的影长为 $m .$

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三、解答题（本大题共13小题，共87.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 先化简，再求值： $(\frac{2 x}{x - 3} + \frac{x}{x + 3}) \div \frac{x}{x^{2} - 9}$ ，其中 $x = \frac{1}{3}$ ．

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16. 自 $《$ 学校食品安全与营养健康管理规定 $》$ 发布后，多地提出“校长陪餐制”，即校长陪学生吃午餐 $.$ 如图是某校一张餐桌的示意图，学生甲先坐在 $D$ 座位，校长和学生乙在 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个座位中随机选择两个座位 $.$ 请用画树状图或列表的方法求校长和学生乙坐在正对面的概率．

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17. 如图， $A B = A D$ ， $∠ D A C = ∠ B A E$ ， $∠ B = ∠ D$ ，求证 $B C = D E$ ．

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18. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气” $.$ 某图书馆新购进 $《$ 九章算术 $》$ 和 $《$ 周髀算经 $》$ 两种书，已知购买 $1$ 本 $《$ 九章算术 $》$ 和 $2$ 本 $《$ 周髀算经 $》$ 需 $63$ 元；购买 $2$ 本 $《$ 九章算术 $》$ 和购买 $3$ 本 $《$ 周髀算经 $》$ 的价格相同 $.$ 求这两种书的单价．

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19. 图 $1$ 、图 $2$ 、图 $3$ 均是 $6 \times 6$ 的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在格点上，用无刻度的直尺作图．

(1)、在图 $1$ 中，作射线 $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，且点 $D$ 在格点上；

(2)、在图 $2$ 中，作线段 $B E$ 平分 $A C$ ，且点 $E$ 在格点上；

(3)、在图 $3$ 中，作直线 $B F$ 垂直 $A C$ ，且点 $F$ 在格点上．

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20. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=520m，∠D=50°.另一边开挖点E在直线AC上，求BE的长（结果保留整数）.（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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21. 为继承和弘扬中国优秀传统文化，学校开展了传统文化知识竞赛 $.$ 现从该校七、八年级中各随机抽取 $20$ 名学生的竞赛成绩 $($ 单位：分 $)$ ，将数据进行整理和分析 $($ 竞赛成绩均为整数，满分为 $10$ 分， $9$ 分及 $9$ 分以上为优秀 $)$ ，下面给出部分信息：
七年级学生的竞赛成绩
$5$ ， $5$ ， $5$ ， $6$ ， $6$ ， $6$ ， $7$ ， $7$ ， $7$ ， $7$ ， $8$ ， $8$ ， $8$ ， $9$ ， $9$ ， $9$ ， $9$ ， $9$ ， $10$ ， $10$ ．
八年级学生的竞赛成绩统计图

七、八年级学生的竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
          $a$
          $7.9$
中位数
          $7.5$
          $b$
众数
          $9$
          $c$
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、 $a =$   ， $b =$   ， $c =$   ；

(2)、该校七年级有 $400$ 名学生参加知识竞赛，八年级有 $390$ 名学生参加知识竞赛，请估计两个年级本次知识竞赛成绩为优秀的学生总人数．

(3)、结合以上数据，评价该校哪个年级知识竞赛的成绩更优异，并给出理由．

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22. 如图，一次函数 $y = x + 2$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $C (m ， 4)$ ，与 $x$ 轴， $y$ 轴分别交于点 $A$ ， $B$ ．

(1)、求 $m$ 的值及反比例函数的解析式；

(2)、将线段 $A B$ 沿 $x$ 轴向右平移得到 $A' B'$ ，当点 $B'$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 图象上时，直接写出四边形 $A B B' A'$ 的面积．

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23. 为了解某新能源汽车的充电速度，某数学兴趣小组经研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量 $y_{1} ($ 单位： $%)$ 与充电时间 $x ($ 单位： $h)$ 的函数图象是折线 $A B C$ ；用普通充电器时，汽车电池电量 $y_{2} ($ 单位： $%)$ 与充电时间 $x ($ 单位： $h)$ 的函数图象是线段 $A D .$
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、普通充电器对该汽车每小时的充电量为 $%$ ；

(2)、求 $y_{1}$ 与 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围；

(3)、若将该汽车电池电量从 $20 %$ 充至 $90 %$ ，快速充电器比普通充电器少用 $h .$

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24. 【问题背景】
在一次数学实践活动中，张老师将班级学生分成“扶摇”、“惊鸿”、“骐骥”三个小组，运用直角三角尺测量三个不同直尺的宽度 $. ($ 直尺的每两个长刻度之间的长度是 $1 c m)$
【实践探究】

(1)、扶摇组同学用含 $45 °$ 的三角尺，提出按照图 $1$ 的方案，直尺与直角三角尺 $A B C$ 的边 $A C$ 重合，另一边分别交 $A B$ ， $B C$ 于点 $E$ ， $F .$ 点 $A$ ， $C$ ， $E$ ， $F$ 的读数分别为 $13$ ， $20$ ， $4.2$ ， $0$ ，则该直尺的宽度 $F C$ 的长为 $c m$ ；

(2)、惊鸿组同学用含 $45 °$ 的三角尺，提出按照图 $2$ 的方案，直尺与直角三角尺 $A B C$ 的斜边 $A B$ 重合，另一边分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $M$ ， $N .$ 点 $A$ ， $B$ ， $M$ ， $N$ 的读数分别为 $20$ ， $10$ ， $3$ ， $7$ ，求该直尺的宽度；

(3)、骐骥组同学用含 $30 °$ 的三角尺，提出按照图 $3$ 的方案，直尺与直角三角尺 $A B C$ 斜 $A B$ 平行，直分别交 $A C$ ， $B C$ 于点 $S$ ， $P$ ， $T$ ， $Q .$ 点 $S$ ， $T$ ， $P$ ， $Q$ 的读数分别为 $20$ ， $10$ ， $1.8$ ， $4.6$ ， $∠ B = 30 °$ ，直接写出该直尺的宽度 $. ($ 结果精确到 $0.1 c m) . � ($ 参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73)$

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25. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，连接 $B D . P$ ， $Q$ 两点同时分别从点 $A$ ， $D$ 出发，点 $P$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿折线 $A \to B \to C$ 向终点 $C$ 运动，点 $Q$ 以每秒 $a$ 个单位长度的速度沿线段 $D B$ 向终点 $B$ 运动， $P$ ， $Q$ 两点同时到达终点，连接 $A P$ ， $A Q$ ， $P Q .$ 设点 $P$ 的运动时间为 $x$ 秒 $(x > 0)$ ， $△ A P Q$ 的面积为 $y$ ．

(1)、 $a =$ ；

(2)、当 $A$ ， $P$ ， $Q$ 三点共线时， $x =$ ；

(3)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出 $x$ 的取值范围．

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26. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点 $.$ 点 $P$ 为抛物线上任意一点，其横坐标为 $m (m \neq 0)$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ y$ 轴，点 $Q$ 的横坐标为 $- 2 m$ ．

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、当点 $Q$ 在抛物线上时，求 $m$ 的值；

(3)、当线段 $P Q$ 与抛物线有两个公共点时，直接写出 $m$ 的取值范围；

(4)、过点 $P$ 作 $P M ⊥ x$ 轴，点 $M$ 的纵坐标为 $m + 1$ ，且点 $M$ 与点 $P$ 不重合 $.$ 连接 $M Q$ ，当抛物线在 $△ P Q M$ 内的部分对应的函数值 $y$ 随 $x$ 的增大而减小时，直接写出 $m$ 的取值范围．

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年级	七年级	八年级
平均数	$a$	$7.9$
中位数	$7.5$	$b$
众数	$9$	$c$