云南省楚雄州楚雄市2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 在 $2021$ 年发布的国际学术杂志 $《 N a t u r e 》$ 上了解到，当前垂直型晶体管已经可以使芯片工艺级别达到 $0.00000000065 m$ ，数据 $0.00000000065$ 用科学记数法可表示为（）

A、 $65 \times l 0 - 9$ B、 $6.5 \times 1 0^{- 10}$ C、 $6.5 \times l 0^{- 11}$ D、 $0.65 \times 1 0^{- 9}$

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2. 下列实数中，是负数的是（）

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $3$

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3. 如图，直线 $A B$ ， $C D$ 交于点 $O .$ 射线 $O M$ 平分 $∠ A O C$ ，若 $∠ B O D = 48 °$ ，则 $∠ B O M$ 等于（）

A、 $96 °$ B、 $132 °$ C、 $146 °$ D、 $156 °$

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4. 如图是某几何体的三视图，则这个几何体是（）

A、圆锥
B、圆柱
C、三棱锥
D、三棱柱

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5. 十边形的内角和为（）

A、1800° B、1620° C、1440° D、1260°

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6. 下列运算正确的是（）

A、 $2 \sqrt{3} - \sqrt{3} = 2$ B、 ${(a + 1)}^{2} = a^{2} + 1$ C、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ D、 $2 a^{2} \cdot a = 2 a^{3}$

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7. 下列说法正确的是（）

A、为了解一批灯泡的使用寿命，采用全面调查
B、掷一枚质地均匀的硬币，一定出现正面朝上
C、若甲、乙两组数据的平均数相同，两组数据的方差 $S_{甲}^{2} = 4.5$ ， $S_{乙}^{2} = 1.03$ ，则乙组数据较稳定
D、某位同学投篮球的命中率为 $0.6$ ，说明他投篮 $10$ 次，一定能命中 $6$ 次

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8. 按一定规律排列的单项式： $\frac{a}{3}$ ， $- \frac{a^{2}}{5}$ ， $\frac{a^{3}}{9}$ ， $- \frac{a^{4}}{17}$ ， $\dots$ ，第 $n$ 个单项式是（）

A、 $\frac{(- 1)^{n} a^{n}}{2^{n} + 1}$ B、 $\frac{(- 1)^{n} a^{n}}{2^{n + 1} + 1}$ C、 $\frac{(- 1)^{n + 1} a^{n}}{2^{n} + 1}$ D、 $\frac{(- 1)^{n + 1} a^{n}}{2^{n + 1} + 1}$

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9. 如图，在正方形网格中 $.$ 每个小正方形的边长都是 $1$ ，小正方形的顶点称为格点， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，则 $∠ B A C$ 的正切值是（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$
B、 $\frac{1}{5}$
C、 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
D、 $\frac{1}{2}$

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $A D = 3$ ， $E$ 是 $C D$ 上一点， $B E ⊥ A C$ 于点 $F$ ，则 $C F$ 的长是（）

A、 $\frac{9}{5}$ B、 $\frac{9}{4}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{5}{4}$

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11. 若扇形的圆心角为 $120 °$ ，半径为 $\frac{3}{2}$ ，则它的弧长为（）

A、 $\frac{3}{2} π$ B、 $2 π$ C、 $3 π$ D、 $π$

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12. 已知 $m^{2} + \frac{1}{m^{2}} = 2 (m > 0)$ ，则代数式 $m^{2} - 2 m + 5 =$ （）

A、 $3$ B、 $4$ C、 $5$ D、 $6$

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二、填空题（本大题共4小题，共8.0分）

13. 要使分式 $\frac{5}{3 x + 6}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围为．

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14. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，点 $B$ 的坐标是 $(3 ， 4)$ ， $A B ⊥ y$ 轴， $△ O A B$ 的面积为 $16$ ，则 $k$ 的值是．

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15. 分解因式： $x^{3} - 2 x^{2} + x =$ ．

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16. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $m x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 有两个实数根，则实数 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题（本大题共8小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算： $\frac{1}{3} \sqrt{27} - 2^{- 2} + (π - 5)^{0} + | \sqrt{3} - 3 |$ ．

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18. 如图，点 $B$ ， $F$ ， $C$ ， $E$ 在同一条直线上， $B F = E C$ ， $A B = D E$ ， $∠ B = ∠ E .$ 求证： $∠ A = ∠ D$ ．

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19. 二十四节气起源于黄河流域，是古代汉族劳动人民长期经验的积累和智慧的结晶，以二十四节气为核心形成了独具特色的传统文化 $.$ 某校七年级开展了一次“二十四节气知识竞赛”，从 $800$ 名学生成绩中随机抽取了若干名学生的成绩，用得到的数据绘制了如图所示的统计图．
请回答下列问题：

(1)、共抽取七年级名学生的成绩；

(2)、抽取学生成绩的众数和中位数各是多少？

(3)、若得分 $6$ 分及以上为合格，请估计七年级 $800$ 名学生中竞赛成绩达到“合格”的人数．

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20. 为激励学生鼓足备战中考的信心与干劲，某校举行中考百日誓师大会，决定从小明、小聪、小甜、小欣四名同学中通过抽签的方式选取两人担任大会主持人，已知小明、小聪为男生，小甜、小欣为女生，抽签规则：将四人的名字分别写在四张完全相同不透明的卡片正面，将卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．

(1)、“小明被选中”是事件 $($ 填“随机”或“不可能”或“必然” $)$ ；

(2)、请你用列表法或画树状图法表示出这次抽签所有可能的结果，并求出抽到一男一女的概率．

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边的中线， $A G$ 平分 $△ A B C$ 的外角 $∠ B A F$ ， $B E ⊥ A G$ ，垂足为 $E$ ．

(1)、求证：四边形 $A D B E$ 是矩形；

(2)、连接 $D E$ ，交 $A B$ 于点 $O$ ，若 $B C = 8$ ， $A O = \frac{5}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的面积是：．

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22. 近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动.据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的 $\frac{5}{4}$ 倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.

(1)、求菜苗基地每捆A种菜苗的价格.

(2)、菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数.菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠.求本次购买最少花费多少钱.

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23. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $A B ⊥ C D ，$ 连接 $A C ， O D .$

(1)、求证： $∠ B O D = 2 ∠ A ；$

(2)、连接 $D B$ ，过点 $C$ 作 $C E ⊥ D B ，$ 交 $D B$ 的延长线于点 $E$ ，延长 $D O ，$ 交 $A C$ 于点 $F$ ，若 $F$ 为 $A C$ 的中点，求证：直线 $C E$ 为 $⊙ O$ 的切线．

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24. 综合与探究
如图，二次函数 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点 $($ 点 $A$ 在点 $B$ 的左侧 $)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C .$ 点 $P$ 是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点 $P$ 的横坐标为 $m .$ 过点 $P$ 作直线 $P D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，作直线 $B C$ 交 $P D$ 于点 $E$ ．

(1)、求 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的坐标，并直接写出直线 $B C$ 的函数表达式；

(2)、当 $△ C E P$ 是以 $P E$ 为底边的等腰三角形时，求点 $P$ 的坐标；

(3)、连接 $A C$ ，过点 $P$ 作直线 $l / / A C$ ，交 $y$ 轴于点 $F$ ，连接 $D F .$ 试探究：在点 $P$ 运动的过程中，是否存在点 $P$ ，使得 $C E = F D$ ，若存在，请直接写出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

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