山东省烟台市招远市2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷（五四学制）

试卷更新日期：2023-10-09 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列方程中，关于 $x$ 的一元二次方程是（）

A、 $3 (x^{2} + 2 x) = 3 x^{2} - 1$ B、 $a x^{2} + b x + c = 0$ C、 $(x + 2)^{2} = 4 x + 1$ D、 $\frac{1}{x^{2}} + x + 1 = 0$

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2. 以下命题中， $①$ 两个直角三角形一定相似； $②$ 两个等边三角形一定相似； $③$ 两个菱形一定相似； $④$ 任意两个矩形一定相似； $⑤$ 两个正六边形一定相似 $.$ 其中真命题的个数是（）

A、 $1$ 个 B、 $2$ 个 C、 $3$ 个 D、 $4$ 个

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3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在横线上 $.$ 若线段 $A B = 5$ ，则线段 $B C$ 的长是（）

A、 $\frac{5}{2}$
B、 $\frac{1}{2}$
C、 $\frac{2}{5}$
D、 $2$

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4. 关于方程 $3 x^{2} - \sqrt{6} x - 4 = 0$ 四种的说法正确的是（）

A、有两个相等的实数根 B、无实数根 C、两实数根的和为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、两实数根的积为 $- \frac{4}{3}$

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5. 如图，在直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ O D E$ 是位似图形，则它们位似中心的坐标是（）

A、 $(0 ， 0)$
B、 $(2 ， 1)$
C、 $(4 ， 2)$
D、 $(5 ， 0)$

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6. 如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为 $5 m$ 时，标准视力表中最大的“ $E$ ”字高度为 $62.7 m m$ ，当测试距离为 $3 m$ 时，最大的“ $E$ ”字高度为（）

A、 $37.62 m m$ B、 $43 m m$ C、 $43.62 m m$ D、 $104.5 m m$

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7. 若两个数的和为 $6$ ，积为 $5$ ，则以这两个数为根的一元二次方程是（）

A、 $x^{2} - 12 x + 5 = 0$ B、 $x^{2} - 5 x - 6 = 0$
C、 $x^{2} - 6 x - 5 = 0$ D、 $x^{2} - 6 x + 5 = 0$

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8. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 边上的点， $∠ B = ∠ A C D$ ， $A C$ ： $A D = 2$ ： $1$ ，则 $△ A D C$ 与 $△ A C B$ 的周长比是（）

A、 $4$ ： $1$
B、 $1$ ： $2$
C、 $1$ ： $4$
D、 $2$ ： $1$

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9. 中国男子篮球职业联赛 $($ 简称： $C B A)$ ，分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制 $($ 也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛 $) . 2022 - 2023 C B A$ 常规赛共要赛 $240$ 场，则参加比赛的队共有（）

A、 $80$ 个 B、 $120$ 个 C、 $15$ 个 D、 $16$ 个

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10. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $E$ 是边 $B C$ 的中点，连接 $A E$ ， $D E$ ，分别交 $B D$ ， $A C$ 于点 $P$ ， $Q$ ，过点 $P$ 作 $P F ⊥ A E$ 交 $C B$ 的延长线于点 $F .$ 以下结论： $① A P = F P$ ； $② A E = \frac{\sqrt{10}}{2} A O$ ； $③$ 若四边形 $O P E Q$ 的面积为 $2$ ，则正方形 $A B C D$ 的面积为 $24$ ； $④ C E \cdot E F = E P \cdot A E .$ 其中结论正确的序号有（）

A、 $① ② ③ ④$ B、 $① ② ③$ C、 $③ ④$ D、 $① ② ④$

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 若 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，则 $\frac{2 a + b}{b}$ 的值是．

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12. 小华在解一元二次方程 $x^{2} = x$ 时，只得出一个根是 $x = 1$ ，则被他漏掉的一个根是．

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13. 如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 都在格点处， $A B$ 与 $C D$ 相交于 $O$ ，则 $\frac{O A}{O B} =$ ．

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14. 如图，已知 $A$ ， $B$ ， $C$ 是数轴上异于原点 $O$ 的三个点，且点 $O$ 为 $A B$ 的中点，点 $B$ 为 $A C$ 的中点．若点 $B$ 对应的数是 $x$ ，点 $C$ 对应的数是 $x^{2} - 3 x$ ，则 $x =$ ．

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A B = 10$ ， $A C = 5$ ，点 $M$ 在边 $A B$ 上，且 $A M = 2$ ，点 $N$ 在 $A C$ 边上．当 $A N =$ 时， $△ A M N$ 与原三角形相似．

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16. 已知 $y = \sqrt{(x - 5)^{2}} - x + 6$ ，当 $x$ 分别取 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $\dots$ ， $2023$ 时，所对应 $y$ 值的总和是．

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三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 计算：

(1)、 $3 x^{2} - 5 x - 3 = 0$ ；

(2)、 $3 x (x - 1) = 2 (x - 1)$ ．

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18. 如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 是中线，点 $E$ 在 $A D$ 上，且 $C E = C D = 3$ ， $∠ B A D = ∠ A C E$ ．

(1)、请直接写出图中所有的相似三角形；

(2)、求线段 $A C$ 的长．

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19. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 2 m x + m^{2} - m = 3$ 的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} > x_{2}$ ．

(1)、求 $m$ 的取值范围；

(2)、若 $m$ 取负整数，求 $x_{1} - 3 x_{2}$ 的值；

(3)、若该方程的两个实数根的平方和为 $18$ ，求 $m$ 的值．

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20. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 6$ ， $∠ B A C = 120 °$ ．

(1)、尺规作图：以 $C$ 为位似中心将 $△ A B C$ 作位似变换得到 $△ D C E$ ，要求 $\frac{A C}{D C} = \frac{C B}{C E} = \frac{A B}{D E} = \frac{1}{2}$ ， $B C = \frac{1}{3} B E . ($ 要求：不写作法，保留作图痕迹 $)$

(2)、在 $(1)$ 的条件下，求 $△ D C E$ 的面积．

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21. 随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，以维护老百姓的利益 $.$ 某种药品原价 $600$ 元 $/$ 瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖 $384$ 元 $/$ 瓶 $.$ 求该种药品平均每次降价的百分率．

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22. 如图，矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $E F ⊥ B D$ ，分别交边 $A D$ 、 $B C$ 于点 $E$ 、 $F$ ，连接 $B E$ 、 $D F$ ．

(1)、求证：四边形 $B E D F$ 是菱形；

(2)、若 $∠ A O B = 60 °$ ， $A B = 3$ ，求 $F C$ 的长．

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23. 某社区在开展“美化社区，幸福家园”活动中，计划利用如图所示的直角墙角 $($ 阴影部分，两边足够长 $)$ ，用 $50$ 米长的篱笆围成一个矩形花园 $A B C D ($ 篱笆只围 $A B$ ， $A D$ 两边 $)$ ．

(1)、若花园的面积为 $400$ 平方米，求 $A B$ 的长；

(2)、若在直角墙角内点 $P$ 处有一棵桂花树，且与墙 $B C$ ， $C D$ 的距离分别是 $10$ 米， $30$ 米，要将这棵树围在矩形花园内 $($ 含边界，不考虑树的粗细 $)$ ，则花园的面积能否为 $625$ 平方米？若能，求出 $A B$ 的值；若不能，请说明理由．

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24. 在“五一”期间，某水果超市调查两种新疆干枣 $A$ 、 $B$ 的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：干枣 $A$ 的进价是每千克 $8$ 元，售价 $16$ 元，干枣 $B$ 的进价是每千克 $14$ 元，售价 $20$ 元．
小张：当干枣 $B$ 销售价每千克 $20$ 元时，每天可售出 $30$ 千克，若每千克降低 $1$ 元，平均每天可多售出 $10$ 千克．
根据他们的对话，解决下面所给的问题：

(1)、该水果店第一次用 $2500$ 元直接购进这两种干枣共 $200$ 千克，问这两种干枣各购进多少千克？若全部售出，共获得多少利润？

(2)、为了给顾客优惠，将销售价定为每千克多少元时，才能使干枣 $B$ 平均每天的销售利润为 $200$ 元？

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25. 如图，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 5 c m$ ， $B C = 12 c m$ ，点 $P$ 从点 $C$ 出发，沿线段 $C B$ 以 $2 c m /$ 秒的速度运动，同时点 $Q$ 从点 $B$ 沿线段 $B A$ 以 $1 c m /$ 秒的速度运动 $.$ 设运动时间为 $t$ 秒 $(0 < t < 6)$ ．

(1)、 $($ 填空 $)$ 线段 $A B$ 的长为 $c m$ ；当 $t = 2$ 秒时，线段 $P B$ 的长为 $c m$ ；

(2)、当 $t$ 为何值时， $P Q / / A C$ ？

(3)、当 $t$ 为何值时， $△ B P Q$ 为等腰三角形？

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