山东省烟台市海阳市2022-2023学年八年级下学期数学期末考试试卷（五四学制）

试卷更新日期：2023-10-09 类型：期末考试

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一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若方程 $x^{2} - 3 x + k = 0$ 的一个根是 $2$ ，则常数 $k$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $- 1$ D、 $- 2$

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2. 下列各式化成最简二次根式正确的是（）

A、 $\sqrt{\frac{7}{10}} = \sqrt{0.7}$ B、 $\sqrt{\frac{24}{25}} = \frac{\sqrt{24}}{5}$ C、 $\sqrt{0.1} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ D、 $\sqrt{\frac{2}{3}} = 3 \sqrt{6}$

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3. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C = 8$ ， $∠ B O C = 120 °$ ，则 $A B$ 的长为（）

A、 $4$
B、 $4 \sqrt{3}$
C、 $6$
D、 $6 \sqrt{3}$

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4. 满足 $m > | 1 - \sqrt{10} |$ 的整数 $m$ 的值可能是（）

A、 $0$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $3$

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5. 已知 $△ F H B$ ∽ $△ E A D$ ，它们的面积分别为 $60$ 和 $15$ ，且 $F H = 6$ ，则 $E A$ 的长为（）

A、 $1.5$ B、 $3$ C、 $12$ D、 $24$

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6. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我们古代数学著作 $《$ 九章算术 $》$ 中的“井深几何”问题，其题意可以出示意图表示 $.$ 设井深为 $x$ 尺，所列方程正确的是（）

A、 $\frac{5}{x} = \frac{0.4}{5}$ B、 $\frac{5}{5 + x} = \frac{0.4}{5}$ C、 $\frac{5}{x + 5} = \frac{5}{0.4}$ D、 $\frac{5}{x} = \frac{5 - 0.4}{5}$

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7. 已知如图，点 $C$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点（ $A C > B C$ ），则下列结论中正确的是（）

A、 $A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}$ B、 $B C^{2} = A C \cdot B A$ C、 $\frac{B C}{A C} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ D、 $\frac{A B}{B C} = \frac{A C}{C B}$

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8. 视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“ $E$ ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（）

A、 $①$ 和 $④$
B、 $②$ 和 $③$
C、 $①$ 和 $②$
D、 $②$ 和 $④$

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9. 观察下列表格，一元二次方程

x^{2} - 3 x = 4.6

的一个近似解为（）

$x$	$- 1.13$	$- 1.12$	$- 1.11$	$- 1.10$	$- 1.09$	$- 1.08$	$- 1.07$
$x^{2} - 3 x$	$4.67$	$4.61$	$4.56$	$4.51$	$4.46$	$4.41$	$4.35$

A、

- 1.123

B、

- 1.117

C、

- 1.089

D、

- 1.073

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10. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A D$ 边的中点， $B E ⊥ A C$ 于点 $F$ ，则下列结论： $① △ A E F$ ∽ $△ C A B$ ； $② B F = 2 E F$ ； $③ \frac{C D}{A D} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$ 其中正确结论的个数是（）

A、 $3$ 个 B、 $2$ 个 C、 $1$ 个 D、 $0$ 个

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二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 计算： $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) =$ ．

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12. 三角尺在灯泡 $O$ 的照射下在墙上形成的影子如图所示，若 $O A = 25 c m$ ， $A A' = 50 c m$ ，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．

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13. 如图，将正方形纸片 $A B C D$ 折叠， $A M$ 为折痕，点 $B$ 落在对角线 $A C$ 上的点 $E$ 处，则 $∠ A M E$ 的度数为．

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14. 已知 $m$ 、 $n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 3 x + a = 0$ 的两个解，若 $(m - 1) (n - 1) = - 6$ ，则 $a$ 的值为．

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ，点 $E$ ， $F$ 分别是 $A D$ ， $B C$ 边的中点，连接 $E F$ ，若矩形 $A B F E$ 与矩形 $A B C D$ 相似，则矩形 $A B C D$ 的面积为．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 6 c m$ ， $A C = 12 c m$ ，动点 $D$ 从 $A$ 点出发到 $B$ 点止，动点 $E$ 从 $C$ 点出发到 $A$ 点止，点 $D$ 的运动速度为 $1 c m / s$ ，点 $E$ 的运动速度为 $2 c m / s .$ 若 $D$ ， $E$ 两点同时出发，则当以点 $A$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $△ A B C$ 相似时，运动时间为 $s .$

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三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 求代数式 $a + \sqrt{1 - 2 a + a^{2}}$ 的值，其中 $a = 10 .$ 如表是小明和小颖的解答过程：
解：原式 $= a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + l - a = 1$ ．
解：原式 $= a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + a - 1 = 19$ ．

(1)、填空：的解法是错误的；

(2)、求代数式 $a + 2 \sqrt{a^{2} - 6 a + 9}$ 的值，其中 $a = - 2023$ ．

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18. 解下列方程：

(1)、 $- \frac{1}{4} x^{2} - 2 x = 4$ ；

(2)、 $- x (2 x - 5) = - 4$ ．

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19. 如图，在直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 3 ， 2)$ ， $B (- 1 ， 3)$ ， $C (- 1 ， 1)$ ，请按如下要求画图：

(1)、以点 $O$ 为位似中心，在 $x$ 轴下方，画出 $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使它与 $△ A B C$ 的位似比为 $2$ ： $1$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 内部一点 $M$ 的坐标为 $(a ， b)$ ，请直接写出 $M$ 在 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 中的对应点 $M_{1}$ 的坐标．

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20. 如图为一块锐角三角形的余料，它的边 $B C = 60 m m$ ， $A B = 40 m m$ ，工人师傅要把它加工成菱形零件，使菱形 $B G M F$ 的一边 $B G$ 在 $B C$ 上，其余两个顶点 $F$ ， $M$ 分别在边 $A B$ ， $A C$ 上，加工成的零件的高 $E D = 21 m m$ ，求 $△ A B C$ 的高 $A D$ 的长．

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21. “疫情”期间，小颖在家制作一种工艺品，并通过网络进行线上销售 $.$ 经过一段时间后发现：当售价是 $40$ 元 $/$ 件时，每天可售出该商品 $60$ 件，且售价每降低 $1$ 元，就会多售出 $3$ 件 $.$ 若每件工艺品需要 $19$ 元成本，设该工艺品的售价为 $x$ 元 $/$ 件 $(19 \leq x \leq 40)$ ．

(1)、请用含 $x$ 的代数式表示：
$①$ 销售每件工艺品的利润： ▲ 元；
$②$ 每天能售出该工艺品的件数： ▲ ；

(2)、为了支持“抗疫”行动，小颖决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向医疗基金会捐款 $1$ 元，若每天销售该工艺品的纯利润为 $900$ 元，求该工艺品的售价．

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22. 如图，在正方形 $A B C D$ 中， $C D = 4$ ，在 $B C$ 边上取中点 $E$ ，连接 $D E$ ，过点 $E$ 做 $E F ⊥ E D$ 与 $A B$ 交于点 $G$ ，与 $D A$ 的延长线交于点 $F$ ．

(1)、求证： $△ B E G$ ∽ $△ C D E$ ；

(2)、求 $△ A F G$ 的面积．

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23. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 $2$ 倍，则称这样的方程为“倍根方程” $.$ 例如，一元二次方程 $x^{2} - 9 x + 18 = 0$ 的两个根是 $3$ 和 $6$ ，则方程 $x^{2} - 9 x + 18 = 0$ 就是“倍根方程”．

(1)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + k = 0$ 是“倍根方程”，求 $k$ 的值；

(2)、若关于 $x$ 的一元二次方程 $n x^{2} - (3 n + 3 m) x + 8 m = 0 (n \neq 0)$ 是“倍根方程”，求该方程的根．

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24. 已知四边形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $A B$ ， $A D$ 边上的点， $D E$ 与 $C F$ 交于点 $G$ ．

(1)、 $特例解析：$ 如图 $1$ ，若四边形 $A B C D$ 是矩形，且 $D E ⊥ C F$ ，求证： $\frac{C F}{D E} = \frac{A B}{A D}$ ；

(2)、 $类比探究：$ 如图 $2$ ，若四边形 $A B C D$ 是平行四边形，且 $∠ B + ∠ E G C = 180 °$ ，求证： $\frac{C F}{D E} = \frac{A B}{A D}$ ．

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解：原式 $= a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + l - a = 1$ ．	解：原式 $= a + \sqrt{(1 - a)^{2}} = a + a - 1 = 19$ ．