安徽省安庆市2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 实数 $- 2023$ 的相反数是（）

A、 $- 2023$ B、 $- \frac{1}{2023}$ C、 $2023$ D、 $\frac{1}{2023}$

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2. 下列计算不正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{2} = a^{4}$ B、 $(a^{2})^{3} = a^{6}$ C、 $(2 a^{2})^{3} = 6 a^{6}$ D、 $a^{4} \div (- a)^{2} = a^{2}$

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3. 魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率 $π$ 约为 $\frac{355}{113}$ ，其与 $π$ 的误差小于 $0.00000027 .$ 其中 $0.00000027$ 用科学记数法可表示为（）

A、 $2.7 \times 1 0^{- 7}$ B、 $0.27 \times 1 0^{- 6}$ C、 $2.7 \times 1 0^{- 6}$ D、 $2.7 \times 1 0^{7}$

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4. 如图，将一个正方体沿图示四条棱的中点切掉一部分，则该几何体的俯视图是（）

A、
B、
C、
D、

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5. 下列分解因式正确的是（）

A、 $a^{2} - a b + a = a (a - b)$ B、 $a^{2} b - 2 a b + b = b (a^{2} - 2 a + 1)$ C、 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ D、 $4 a^{2} - b^{2} = (4 a + b) (4 a - b)$

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6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2022 m x - 2023 = 0 (m$ 为常数 $)$ ，下列说法正确的是（）

A、方程可能无实数根
B、当 $m = 1$ 时，方程的根为 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2023$
C、若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程的两个实数根，则 $x_{1} \cdot x_{2} = 2023$
D、当 $m = - 1$ 时，方程的根为 $x_{1} = - 1$ ， $x_{2} = 2023$

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7. 将一把直尺和一块含有 $30 °$ 的直角三角板按如图所示的位置摆放，若 $∠ 1 = 33 °$ ，则 $∠ 2$ 为（　　）

A、 $63 °$ B、 $107 °$ C、 $117 °$ D、 $120 °$

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8. 如图是某电路图，随机闭合开关 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 中的任意 $2$ 个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$
B、 $\frac{1}{3}$
C、 $\frac{2}{5}$
D、 $\frac{2}{3}$

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9. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a - 3 b + c = 0$ ， $a + 3 b + c < 0$ ，则下列选项中正确的（）

A、 $b < 0$ ， $b^{2} - \frac{4}{9} a c \leq 0$ B、 $b < 0$ ， $b^{2} - \frac{4}{9} a c \geq 0$ C、 $b > 0$ ， $b^{2} - \frac{4}{9} a c \leq 0$ D、 $b > 0$ ， $b^{2} - \frac{4}{9} a c \geq 0$

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10. 如图，正三角形 $A B C$ 的边长为 $6$ ，点 $P$ 从点 $B$ 开始沿着路线 $B \to A \to C$ 运动，过点 $P$ 作直线 $P M ⊥ B C$ ，垂足为点 $M$ ，连接 $P C$ ，记点 $P$ 的运动路程为 $x$ ， $△ P C M$ 的面积为 $y$ ，则 $y$ 关于 $x$ 的函数图象大致为（）

A、
B、
C、
D、

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二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 不等式 $\frac{2 x - 1}{3} > 0$ 的解集为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ， $D E / / A B$ 交 $B C$ 于点 $E$ ，若 $A B = 9$ ， $B C = 6$ ，则 $C E$ ： $B C$ 为．

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13. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 2 \sqrt{61}$ ， $A C = 12$ ，点 $D$ 是斜边 $A B$ 上一个动点，连接 $C D$ ，过点 $B$ 作 $B E ⊥ C D$ 交直线 $C D$ 于点 $E$ ，则当点 $D$ 从点 $A$ 运动到点 $B$ 时，点 $E$ 的运动路径长为．

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14. 已知抛物线 $C$ ： $y = x^{2} + a x$ 与直线 $A B$ ： $y = - x + 2$ 交于 $x$ 轴上同一点．

(1)、 $a$ 的值为．

(2)、点 $M$ 是直线 $A B$ 上的一个动点，将点 $M$ 向左移动 $4$ 个单位得到点 $N$ ，若线段 $M N$ 与抛物线 $C$ 只有一个公共点，则点 $M$ 的横坐标 $m$ 的取值范围为．

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三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 计算： $(- \frac{1}{2})^{- 2} + | 1 - \sqrt{3} | - \sqrt{12} + (π - 2023)^{0}$ ．

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16. 如图，在 $6 \times 6$ 的方格纸中，每个小正方形的边长为 $1$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ 均为格点， $C D$ ， $B E$ 交于点 $F$ ，过 $A$ ， $B$ ， $F$ 三点的圆如图所示，请利用无刻度直尺找出该圆的圆心 $O$ ，并简要说明点 $O$ 的位置是如何找到的 $($ 不要求证明 $)$ ．

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17. $2023$ 年安庆市为成功创建国家卫生城市，青年志愿者决定义务清除重达 $75$ 吨的垃圾 $.$ 开工后，附近居民主动参与到该项义务劳动中来，使清除垃圾的速度提高了 $1$ 倍，提前 $3$ 小时完成了任务，求青年志愿者原计划每小时清除多少吨垃圾？

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18. 设一个两位数 $\bar{a 3}$ 可表示为 $10 a + 3$ ，当 $a$ 取不同的值时， $\bar{a 3}$ 的平方如下：
第 $1$ 个等式： $13 \times 13 = 169 = (10 \times 1 + 6) \times 10 \times 1 + 9$ ；
第 $2$ 个等式： $23 \times 23 = 529 = (10 \times 2 + 6) \times 10 \times 2 + 9$ ；
第 $3$ 个等式： $33 \times 33 = 1089 = (10 \times 3 + 6) \times 10 \times 3 + 9$ ；
$\dots$

(1)、请写出第 $4$ 个等式：；

(2)、根据上述规律，请写出 $\bar{a 3}$ 的平方的一般性规律，并予以证明．

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19. 如图，某班数学兴趣小组用无人机在操场上开展活动，此时无人机在离地面 $30$ 米的 $D$ 处，无人机测得操控者 $A$ 的俯角为 $30 °$ ，测得点 $C$ 处的俯角为 $45 ° .$ 又经过人工测量得知操控者 $A$ 和教学楼 $B C$ 的水平距离 $A B$ 为 $65.5$ 米，则教学楼 $B C$ 高度为多少米？ $($ 结果精确到米， $)$

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20. 已知反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 与一次函数 $y = - x + b$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $B$ 的纵坐标为 $- 1$ ．

(1)、求一次函数解析式及与 $y$ 轴交点 $C$ 的坐标；

(2)、若点 $A$ 与点 $D$ 关于原点对称，求 $△ B C D$ 的面积．

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21. $2022$ 年 $9$ 月开始，劳动课将正式成为中小学的一门独立课程，安庆市某中学提前尝试建立劳动教育实践基地，将劳动教育纳入日常教育教学中 $.$ 某日，学校从七、八年级班级管理的花圃中，分别随机抽取了 $20$ 个花圃对管理情况进行了评分 $($ 满分 $100$ 分，数据分组为 $A$ 组， $90 < x \leq 100$ ， $B$ 组： $80 < x \leq 90$ ， $C$ 组： $70 < x \leq 80$ ， $D$ 组： $x \leq 70$ ， $x$ 表示评分的分数 $)$ ，现将评分情况绘制成了不完整的统计图：

(1)、补全图 $①$ 中的条形统计图；图 $②$ 中 $C$ 组所对应的圆心角为     ▲    ；

(2)、若八年级 $B$ 组得分情况为 $89$ ， $88$ ， $87$ ， $87$ ， $86$ ， $85$ ．
$①$ 八年级 $B$ 组得分的方差为     ▲    ；
$②$ 八年级 $20$ 个花圃得分的中位数为     ▲    分；

(3)、若 $90$ 分以上为“五星花圃”，七、八年级各有 $200$ 个花圃，估计七、八年级的花圃中“五星花圃”共多少个？

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22. “龙池香尖”是怀宁县一款中国国家地理标志产品，素有：“扬子江心水，蒙山顶上茶”的美誉

.

某茶庄以

600

元

/ k g

的价格收购一批龙池香尖，为保护消费者的合法权益，物价部门规定每千克茶叶的利润不低于

0

元，且不超过进价的

60 %

，经过试销发现，日销量

y (k g)

与销售单价

x (

元

/ k g)

满足一次函数关系，部分数据统计如表：

$x ($ 元 $/ k g)$	$700$	$900$	$\dots$
$y (k g)$	$90$	$70$	$\dots$

(1)、根据表格提供的数据，求出

y

关于

x

的函数关系式．

(2)、在销售过程中，每日还需支付其他费用

9000

元，当销售单价为多少时，该茶庄日利润最大，并求出最大利润．

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23. 正方形 $A B C D$ 中，点 $P$ 是对角线 $B D$ 上一点，连接 $A P$ ，过点 $P$ 作 $A P$ 的垂线分别交边 $A B$ ， $C D$ 于 $E$ ， $F$ ，交 $C B$ 的延长线于点 $G$ ，作 $P H ⊥ B D$ 交 $A B$ 于点 $H$ ．

(1)、求证： $△ A P H$ ≌ $△ G P B$ ；

(2)、连接 $H F$ ， $A G$ ．
$①$ 求证：四边形 $A D F H$ 是矩形；
$②$ 如果点 $E$ 是 $P G$ 的中点， $△ A G E$ 和 $△ P D F$ 的面积分别是 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值．

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