安徽省滁州市2023年中考二模数学考试试卷

试卷更新日期：2023-10-09 类型：中考模拟

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一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 实数 $a$ 的绝对值是 $\frac{2}{3}$ ， $a$ 的值是（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\pm \frac{2}{3}$ C、 $- \frac{2}{3}$ D、 $\pm \frac{3}{2}$

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2. 计算 $- a^{2} \cdot (- a)^{3}$ 的结果是（）

A、 $a^{5}$ B、 $a^{6}$ C、 $- a^{3}$ D、 $- a^{6}$

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3. 如图是一个三棱柱切去一部分后得到的几何体，则该几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 古往今来，人类逐水而居，守住湿地造福子孙我国陆续将约 $1100$ 万公顷的湿地纳入国家森林体系 $.$ 其中数据 $1100$ 万用科学记数法表示为（）

A、 $1.1 \times 1 0^{3}$ B、 $1.1 \times 1 0^{4}$ C、 $1.1 \times 1 0^{7}$ D、 $0.11 \times 1 0^{8}$

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5. 将一副三角板（ $∠ A = 45 °$ ， $∠ E = 60 °$ ）按如图所示方式摆放，点F在 $C B$ 的延长线上，若 $D E / / C F$ ，则 $∠ B D F =$ （）

A、 $15 °$ B、 $25 °$ C、 $30 °$ D、 $35 °$

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6. 若关于 $x$ 的方程 $k x^{2} - x + 3 = 0$ 有实数根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k \leq 12$ B、 $k \leq \frac{1}{12}$ C、 $k \leq 12$ 且 $k \neq 0$ D、 $k \leq \frac{1}{12}$ 且 $k \neq 0$

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7. 已知 $\frac{1}{4} m^{2} + \frac{1}{4} n^{2} = n - m - 2$ ，则 $\frac{1}{m} - \frac{1}{n}$ 的值等于（）

A、1 B、0 C、 $- 1$ D、 $- \frac{1}{4}$

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8. 如图，四边形 $A B C D$ 是 $⊙ O$ 的内接正方形，直线 $E F ⊥ O A$ 且平分 $O A$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $F .$ 若 $O A = 1$ ，则阴影部分面积为（）

A、 $\frac{π}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$ B、 $\frac{π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{1}{2}$ C、 $\frac{5 π}{12} - \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$ D、 $\frac{π}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2}$

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9. 已知函数 $y = a x^{2} + b x + c$ ，当 $y > 0$ 时， $- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3} .$ 则函数 $y = c x^{2} - b x + a$ 的图象可能是下图中的（）

A、 B、 C、 D、

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10. 如图，在▱ $A B C D$ 中， $∠ B = 60 °$ ， $A B = 9$ ， $A D = 6$ ，点 $E$ 为边 $A B$ 上一动点，连接 $E D$ 并延长至点 $F$ ，使得 $D F = \frac{1}{4} D E$ ，以 $E C$ ， $E F$ 为邻边构造▱ $E F G C$ ，连接 $E G$ 交 $D C$ 于点 $O .$ 当 $E G$ 的长最小时， $A E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $1$ C、 $2$ D、 $1 + \sqrt{3}$

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二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11. 已知 $x + y = 2$ ， $x y = - 3$ ，则 $x^{2} y + x y^{2} =$ ．

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12. 某中学九年级 $(1)$ 班、 $(2)$ 班、 $(3)$ 班、 $(4)$ 班随机分成两批参加公益活动，每批两个班 $.$ 小明所在的九 $(1)$ 班被分在第一批的概率为．

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13. 如图，在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，点 $A$ ， $B$ 在函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象上，过点 $A$ 作 $A D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，过点 $B$ 作 $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，连接 $O A$ ， $A B .$ 若 $O D = C D$ ，且四边形 $O A B C$ 的面积为 $15$ ，则 $k$ 的值为．

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14. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，点 $M$ 是 $C A$ 上的一点，过点 $M$ 作 $M N / / A B$ 交 $C B$ 于点 $N$ ，将 $△ C M N$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转 $α (0 < α < 180 °)$ 得到 $△ C D E$ ，连接 $A D$ ， $B E$ ．

(1)、若 $A D = \sqrt{5}$ ，则 $B E =$ ．

(2)、若 $C A = 2 \sqrt{2}$ ，点 $M$ 是 $C A$ 的中点，且点 $A$ ， $D$ ， $E$ 在一条直线上，则 $B E$ 的长是．

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三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15. 计算 $- 2^{2} + \sqrt[3]{27} - (π - 3)^{0} + (- \frac{1}{2})^{- 2}$ ．

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16. 在由边长为 $1$ 个单位长度的小正方形组成的 $10 \times 10$ 网格中，建立如图所示的平面直角坐标系， $△ A B C$ 是格点三角形 $($ 顶点是网格线的交点 $)$ ．

(1)、画出 $△ A B C$ 关于点 $O$ 成中心对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(2)、画出将 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 向左平移 $4$ 个单位长度得到的 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ；

(3)、若点 $A$ 的坐标是 $(- 1 ， - 2)$ ，则点 $A$ 经过上述两种变换后的对应点 $A_{2}$ 的坐标是．

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17. 中国古代数学著作 $《$ 张丘建算经 $》$ 中有“百钱买百鸡”问题，大意为：用 $100$ 文钱购买了 $100$ 只鸡，公鸡一只 $5$ 文钱，母鸡一只 $3$ 文钱，小鸡则一文钱 $3$ 只 $.$ 若公鸡买了 $8$ 只，求母鸡、小鸡各买了多少只 $.$ 请你解决上述问题．

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18. 观察下列等式：
第 $1$ 个等式： $1 = 2 \times \frac{0}{1} + 1$ ，
第 $2$ 个等式： $2 = 3 \times \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$ ，
第 $3$ 个等式： $3 = 4 \times \frac{2}{3} + \frac{1}{3}$ ，
第 $4$ 个等式： $4 = 5 \times \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$ ，
$\dots \dots$
按照以上规律，解决下列问题：

(1)、写出第 $6$ 个等式：．

(2)、写出第 $n$ 个等式：，并证明．

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19. 如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成 $37 °$ 角的楼梯 $A D$ 、 $B E$ 和一段水平平台 $D E$ 构成．已知天桥高度 $B C = 4.8$ 米，引桥水平跨度 $A C = 8$ 米．

(1)、求水平平台 $D E$ 的长度；

(2)、若与地面垂直的平台立柱 $M N$ 的高度为 $3$ 米，求两段楼梯 $A D$ 与 $B E$ 的长度之比．
$($ 参考数据：取 $s i n 37 ° = 0.60$ ， $c o s 37 ° = 0.80$ ， $t a n 37 ° = 0.75 .)$

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ ， $D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $\overset{⏜}{A D} = \overset{⏜}{D B}$ ，连接 $C D$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $O C$ ， $D B$ ， $B C$ ．

(1)、若 $∠ A O C = 120 °$ ，求 $∠ B E C$ 的度数；

(2)、用尺规作图作出 $∠ A B C$ 的角平分线交 $C D$ 于点 $F ($ 保留作图痕迹 $)$ ，并求证： $B D = F D$ ．

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21. 某校为了解九年级学生的体质情况举行体育测试，以九年级 $(1)$ 班学生的体育测试成绩为样本，按 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图：
$($ 说明： $A$ 级： $90$ 分 $100$ 分； $B$ 级： $75$ 分 $～ 89$ 分； $C$ 级： $60$ 分 $～ 74$ 分； $D$ 级： $60$ 分以下 $. A$ 级成绩为优秀， $B$ 级成绩为良好， $C$ 级成绩为合格， $D$ 级成绩为不合格 $)$
其中 $B$ 级成绩 $($ 单位：分 $)$ 为： $75$ ； $76$ ， $77$ ， $78$ ， $78$ ， $79$ ， $79$ ， $79$ ， $80$ ， $81$ ， $81$ ， $82$ ， $82$ ， $83$ ， $83$ ， $84$ ， $86$ ， $87$ ， $87$ ， $88$ ， $89$
请你结合所给信息，解决下列问题：

(1)、将条形统计图补充完整；

(2)、扇形统计图中 $C$ 级所在的扇形的圆心角度数是；九年级 $(1)$ 班学生的体育测试成绩的中位数是；

(3)、若该校九年级有 $650$ 名学生，诪你用此样本估计体育测试中达到良好及良好以上的学生人数约为多少人．

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22. 【阅读理解】已知关于 $x$ 、 $y$ 的二次函数 $y = x^{2} - 2 a x + a^{2} + 2 a = (x - a)^{2} + 2 a$ ，它的顶点坐标为 $(a ， 2 a)$ ，故不论 $a$ 取何值时，对应的二次函数的顶点都在直线 $y = 2 x$ 上，我们称顶点位于同一条直线上且形状相同的抛物线为同源二次函数，该条直线为根函数．

(1)、【问题解决】若二次函数 $y = x^{2} + 2 x - 3$ 和 $y = - x^{2} - 4 x - 3$ 是同源二次函数，求它们的根函数；

(2)、已知关于 $x$ 、 $y$ 的二次函数 $C$ ： $y = x^{2} - 4 m x + 4 m^{2} - 4 m + 1$ ，完成下列问题：
$①$ 求满足二次函数 $C$ 的所有二次函数的根函数；
$②$ 若二次函数 $C$ 与直线 $x = - 3$ 交于点 $P$ ，求点 $P$ 到 $x$ 轴的最小距离，请求出此时 $m$ 为何值？并求出点 $P$ 到 $x$ 轴的最小距离．

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23. 如图 $1$ ，在正方形 $A B C D$ 中，点 $G$ 是对角线 $B D$ 上一点 $($ 不与点 $B$ ， $D$ 重合 $)$ ， $E G ⊥ B D$ 交边 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ，过点 $C$ 作 $C F / / D E$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $F G$ ．

(1)、求证： $△ B D E$ ∽ $△ E F G$ ；

(2)、求 $∠ C F G$ 的度数；

(3)、若正方形 $A B C D$ 的边长为 $4$ ，点 $G$ 是 $D B$ 延长线上一点， $E G$ 交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，且 $D E$ 恰好经过 $B C$ 的中点，如图 $2$ ，其他条件不变，求 $\frac{F G}{D G}$ 的值．

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